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1、主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞高等数学 第二十讲1第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用 第十一章 2引例：引例：计算积分路径沿着圆周的正向。解法：解法：应用格林公式由于二重积分和平面的曲线那么它们两者之间能否通过定积分而联系起来？本节介绍格林公式将指出，二重积分可以化为沿区域 D 的边界曲线 L 正向的曲线积分，在平面闭区域 D 上的这就沟通了曲线积分和二重积分之间的联系。积分都是化为定积分来计算的，3区域 D 分类单连通区域 ( 无“洞”区域 )多连通区域 ( 有“洞”区域 )域 D 边界L 的正向正
2、向: 域的内部靠左域的内部靠左定理定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有( 格林公式格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数,一、一、 格林公式格林公式证明证明：即要证4证明证明:则5即同理可证、两式相加得:62) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域 , 如图证毕7引例：引例：计算积分路径沿着圆周的正向。解法解法：应用格林公式8例例1：利用格林公式计算L由曲线解：解：画出闭曲线及其所围成的区域D。1. 1. 简化曲线积分简化曲线积分简单应用简单应用9例例2 计算：其中L 为折线 OABO, O(0,0) A(1,0) B(1,2).解：
3、解：10所以由格林公式 例例311例例4 4. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明证证: 令则利用格林公式 , 得12例例5. 计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解: 令设 L 所围区域为D,由格林公式知13在D 内作圆周取逆时针方向, 对区域应用格记 L 和 l 所围的区域为林公式 , 得14解解例例615统一变量化成定积分取顺时针方向。16其中L为上半圆周解解: :沿逆时针方向.例例7 计算172. 2. 计算平面面积计算平面面积18推论推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积格林公式格林公式例如例如, 椭圆所围面积19解解例例820例例9. 计算其中D 是以
4、O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解解: 令, 则利用格林公式 , 有3. 3. 简化二重积分简化二重积分21例例10：用两种方法计算L由曲线解法解法122例例10：用两种方法计算L由曲线解法解法2轮换对称法23例例11. 计算其中L为(1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 解解: (1) 原式(2) 原式(3) 原式此题的特点：24二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内具有一阶连续偏导数,(2) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有(3) 对D 中任一分段光滑曲线
5、L, 曲线积分(4)与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 (1) 在 D 内每一点都有25证明证明 (1) (2)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图) ,利用格林公式格林公式 , 得所围区域为证毕26说明说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 证明证明 (2) (3)设为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线,则(根据条件(2)27证明证明 (3) (4)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B( x, y ),与路径无关,有函数 28证明证明 (4) (1)设存在函数 u ( x , y ) 使得则P, Q 在 D 内具
6、有连续的偏导数,从而在D内每一点都有29说明说明: 根据定理2 , 若在某区域内则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;30例例1. 计算其中L 为上半从 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解:它与L圆周所围区域为D , 则为了使用格林公式, 添加辅助线段31解：解：因为 即不含原点的单连通域，积分与路径无关。 取新路径 例例232其参数方程为 例例233例例3：计算解：解：积分与路径无关统一变量化
7、成定积分34 例例4 4 设 C 为沿从点依逆时针的半圆, 计算解解:添加辅助线如图 ,利用格林公式 .原式 =到点35例例5. 验证是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证证: 设则由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使。36例例6： 验证在整个平面内是全微分式，并求出它的一个原函数。解：解：在整个平面上都成立则所给出的微分式是全微分式。 利用公式：取为起点，动点为方法方法137方法方法2例例6： 验证在整个平面内是全微分式，并求出它的一个原函数。38方法方法3 取 注：注：积分的起点不同，结果相差一个常数。应该选择某些特殊的点方便计算。例例6： 验证平面内是全微分式，并求出它
8、的一个原函数。39方法方法4 例例6： 验证在整个平面内是全微分式，并求出它的一个原函数。40例例7. 验证在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函数 , 并求出它. 证证: 令则由定理定理 2 可知存在原函数41或422. 设提示提示:43例例8. 设质点在力场作用下沿曲线 L :由移动到求力场所作的功W解解:令则有可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.44思考思考: 积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意： 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 !45例例9. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到点B(3, 4),到原点的距离,解解: 由图知 故所求功为锐角,其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为求变力 F 对质点M 所作的功. ( 90考研 ) F 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用,46内容小结内容小结1. 格林公式2. 等价条件在 D 内与路径无关.在 D 内有对 D 内任意闭曲线 L 有在 D 内有设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有统一变量化为定积分加辅助线后用格林公式将积分重新组合47思考与练习思考与练习1. 设且都取正向, 问下列计算是否正确 ?提示提示:48作业P213 22 ；3 ；4 2 ； 5 2 3 6 449
