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1、2024/9/172024/9/171 14.3 正交矩阵及其性质1正交矩阵及其性质2024/9/172024/9/172 2定义6 设A为n阶方阵, 如果ATA=I或AAT=I, 就 称A为正交矩阵.(A-1=AT )定理4 A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A 的列（行）向量组为Rn的一组标准正交基.证 设按列分块为a1,a2,.,an,2正交矩阵及其性质2024/9/172024/9/173 3于是因此因此A AT TA A= =I I的充分必要条件是的充分必要条件是此定理可作为判定正交矩阵的一种方法此定理可作为判定正交矩阵的一种方法3正交矩阵及其性质2024/9/172024/9/174
2、 4定理5 设A,B皆是n阶正交矩阵, 则: (i) det A=1或-1; (ii) A-1=AT（充要条件）; (iii) AT(即A-1)也是正交矩阵; (iv) AB也是正交矩阵.证 (i) det(ATA)=det(I)=1=(det(A)2, 所以成立, (ii) ATA=I, 当然就是A-1=AT, (iii) (AT)TAT=AAT=AA-1=I, 所以AT(即A-1)也是正交矩阵, 从而A的行向量组也是Rn的一组标准正交基, (iv) 由(AB)T(AB)=BT(ATA)B=BTB=I, 即得AB也是正交矩阵.4正交矩阵及其性质2024/9/172024/9/175 5定理定
3、理方阵方阵A A为正交矩阵的充分必要条件是为正交矩阵的充分必要条件是A A的列的列向量构成标准正交组向量构成标准正交组。推论推论1 1方阵方阵A A为正交矩阵的充分必要条件是为正交矩阵的充分必要条件是A A的行的行向量构成标准正交组。向量构成标准正交组。A A是正交矩阵是正交矩阵方阵方阵A A的列向量构成的列向量构成标准正交组标准正交组方阵方阵A A的行向量构成的行向量构成标准正交组标准正交组是正交矩阵是正交矩阵5正交矩阵及其性质2024/9/172024/9/176 6例例例例现有标准正交组现有标准正交组求三维向量求三维向量 使得矩阵使得矩阵为正交矩阵为正交矩阵解解是标准正交组是标准正交组6
4、正交矩阵及其性质2024/9/172024/9/177 7或或定义定义 若若A A为正交矩阵，则线性变换为正交矩阵，则线性变换 称为称为正交变换正交变换。 定定理理 正正交交变变换换不不改改变变向向量量的的内内积积，从从而而不不改改变变向量的模、夹角和距离。向量的模、夹角和距离。7正交矩阵及其性质2024/9/172024/9/178 8 也就是说，若列向量X,YRn在n阶正交矩阵A作用下变换为AX, AYRn, 则向量的内积与长度及向量间的夹角都保持不变, 即(AX,AY)=(X,Y), |AX|=|X|,AX,AY=X,Y.证 (AX,AY)=(AX)T(AY)=XT(ATA)Y=XTY=(X,Y). 当Y=X时, 有(AX,AX)=(X,X), 即|AX|=|X|, 因此所以所以AXAX与与AYAY夹角与夹角与X X, ,Y Y的夹角相同的夹角相同. .8正交矩阵及其性质
