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1、定理. 连续单调递增(dzng) 函数的反函数在其定义域内连续(linx)一、连续函数的运算一、连续函数的运算(ynsun)法则法则定理. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明，见书 定理 1.22)商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .例如,例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).(见书 定理1.24)在 1 , 1 上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共19页第一页，共20页。定理定理3.连续函数连续函数(hnsh)的复合函数的复合函数(hnsh)是连续的是连续的.在上连续(
2、linx) 单调 递增,其反函数在上也连续单调(dndio)递增.证: 设函数于是故复合函数又如, 且即机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共19页第二页，共20页。例如例如(lr),是由连续函数链因此(ync)在上连续(linx) .复合而成 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共19页第三页，共20页。二、初等二、初等(chdng)函函数的连续性数的连续性基本初等函数在定义(dngy)区间内连续连续函数经四则运算(s z yn sun)仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而机动 目
3、录 上页 下页 返回 结束 第4页/共19页第四页，共20页。例例2.求求解:原式例3. 求解: 令则原式说明(shumng): 当时, 有机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共19页第五页，共20页。例例4.求求解:原式说明(shumng): 若则有机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共19页第六页，共20页。内容内容(nirng)小结小结基本初等函数在定义区间(q jin)内连续连续函数的四则运算(s z yn sun)的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.
4、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共19页第七页，共20页。思考思考(sko)与练习与练习续? 反例 x 为有理数 x 为无理数处处(chch)间断,处处(chch)连续 .反之是否成立?提示:“反之” 不成立 .第十节 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共19页第八页，共20页。四、闭区间四、闭区间(q jin)(q jin)上连续上连续函数的性质函数的性质 一、有界性 机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、最值性 三、零点(ln din)定理 四、介值性第9页/共19页第九页，共20页。注意: 若函数(hnsh)在开区间上连续,结论不一定(ydng)成立
5、 .一一、最值性、最值性定理1.1.在闭区间(q jin)(q jin)上连续的函数即: 设则使值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共19页第十页，共20页。例如(lr),无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共19页第十一页，共20页。定理定理.在闭区间在闭区间(qjin)上连续的函数在该区上连续的函数在该区间间(qjin)上有界上有界.定理(dngl). ( 零点定理(dngl) )至少(zhsho)有一点且使机动 目录 上页 下页 返回 结束 (
6、 证明略 )二、有界性第12页/共19页第十二页，共20页。定理定理(dngl).(介值性介值性)设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点(y din)证: 作辅助(fzh)函数则且故由零点定理知, 至少有一点使即推论:使至少有在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共19页第十三页，共20页。例例1.证明证明(zhngmng)方程方程一个(y )根 .证: 显然(xinrn)又故据零点定理, 至少存在一点使即说明:内必有方程的根 ;取的中点内必有方程的根 ;可用此法求近似根.二分法在区间内至少有机动 目录 上页 下页
7、返回 结束 则则第14页/共19页第十四页，共20页。在例例2.证证明明(zhngmng)：方程(fngchng)内至少(zhsho)有例3. 小结 目录 上页 下页 返回 结束 有一个实根。(见书P68页)第15页/共19页第十五页，共20页。内容内容(nirng)小结小结在上达到(d do)最大值与最小值;上可取(kq)最大与最小值之间的任何值;4. 当时,使必存在上有界;在在机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共19页第十六页，共20页。则证明(zhngmng)至少存在使提示(tsh): 令则易证1.设设作业(zuy)P68 2(1)(3)(5)(6)(8)P69 3总复习题
8、2;9;10； 选做：11(提示：反证法);12一点习题课 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习第17页/共19页第十七页，共20页。备用备用(biyng)题题至少有一个(y )不超过 4 的 证：证明(zhngmng)令且根据零点定理 ,原命题得证 .内至少存在一点在开区间显然正根 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共19页第十八页，共20页。感谢您的观看(gunkn)！第19页/共19页第十九页，共20页。内容(nirng)总结定理. 连续单调递增 函数的反函数。( 利用极限的四则运算法则证明，见书 定理 1.22)。商(分母不为 0) 运算,。第1页/共19页。上连续 单调 递增,。证: 设函数。例4. 求。连续函数的四则运算的结果连续。说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其。注意(zh y): 若函数在开区间上连续,。证: 作辅助函数。故由零点定理知, 至少有一点。大值之间的任何值 .。例1. 证明方程第二十页，共20页。
