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1、第六节第六节:二次函数与幂函数一、常用幂函数的图象与性质一、常用幂函数的图象与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图象定义域RRRx|x0xR|x0值域Ry|y0Ry|y0yR|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0减(0，)增增增(，0)减(0，)减定点(1,1)二、二次函数的表示形式二、二次函数的表示形式1一般式：yax2bxc(a0)；2顶点式：ya(xm)2n，其中(m，n)为抛物线的顶点坐标；3零点式(两根式)：ya(xx1)(xx2)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标三、二次函数的图象及其性质三、二次函数的图象及其性质1二次函数、一元二次方程、一元二次不等式即“三个
2、二次”三者之间的关系b24ac000)方程ax2bxc0的解无解ax2bxc0的解集x|xx2x|xx0Rax2bxc0的解集x|x1x0在R上恒成立的条件是(2)f(x)0而yax2bxc开口向下，矛盾；选项B，a0，b0，对称轴x0，矛盾；选项D，a0，b0Bx|xR，xf(x1)的解集为_解析：解析：f(x) 在0，)上是增函数，f(2x)f(x1) 得x1.答案答案：x|x15(文)已知幂函数f(x)xm22m3的图象过原点，则实数m的取值范围是_解析：解析：由幂函数的性质知m22m30，故m3.答案：答案：(，1)(3，)(理)(2009年山东临沂一模)当1， ，1,3时，幂函数yx
3、的图象不可能经过第_象限解析：解析：当x0时，y0，故不过第四象限；当x0时，y0，由（1），当m=2时，-5m-3=-130.当m=-1时，f(x)在（0，+)上是增函数.(3)y=kx(k为非零常数）为正比例函数，因此要使f(x)为正比例函数，只要(k为非零常数）为反比例函数. 故应有【变式探究变式探究】1.已知函数f(x)= 的定义域是非零实数，且在(-,0)上是增函数，在(0,+)上是减函数，则最小的自然数a等于 A0 B1 C2 D3解析：解析：f(x) 的定义域为xR|x0， 1，又f(x)在(，0)上是增函数，在(0，)上是减函数，a1为正偶数，且a12，即a3时符合题意答案：答
4、案：D方法技巧：方法技巧：1.幂函数是指形如y=x(R)的函数，它的形式非常严格，须同时满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）幂的系数为1.2.幂函数的单调性： (1)当0时，y=x在(0,+)上为增函数；（2）当y(3)=2,显然矛盾.综上可知t=1.【答案答案】1方法技巧：方法技巧：给定区间上二次函数最值问题的解题步骤：（1）配方，确定对称轴；（2）判断轴与所给区间的相对位置，确定函数在所给区间上的单调性；（3）画出草图；(4)结合草图，利用单调性得出结论.与二次函数有关的综合问题与二次函数有关的综合问题【变式探究变式探究】3.(2008年福建卷改编)已知函数f(x)x3mx2
5、nx2的图象过点(1，6)，且函数g(x)f(x)6x的图象关于y轴对称求m，n的值及函数yf(x)的单调区间解：解：由函数f(x)图象过点(1，6)，得mn3，由f(x)x3mx2nx2，得f(x)3x22mxn.则g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn，而g(x)图象关于y轴对称，所以 0，所以m3.代入得n0，于是f(x)3x26x3x(x2)由f(x)0得x2，或x0，故f(x)的单调递增区间是(，0)，(2，)由f(x)0得0x2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)【例1】(2010年天津卷)设函数f(x)x21，对任意x ，)，f( )4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立，
6、则实数m的取值范围是_【解析解析】原不等式可变形为：【例2】(2009年山东省名校联考信息优化卷)已知幂函数yxm22m3(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，求满足(a1) (32a) 的a的取值范围【解解】幂函数yxm22m3在(0，)上是减函数，m22m30.1m0对任意xR恒成立，求a的取值范围【正解正解】令f(x)ax2ax1，不等式对任意xR恒成立，函数f(x)的图象恒在x轴上方(1)当a0时，f(x)1显然满足条件；(2)当a0时，a24a0，解得0a4.(3)当a0时，显然不合题意综上，得a的取值范围是a|0a0，即y0恒成立，但值域是 ，)，而不是非负实数集.
7、 Zx x k一、选择题一、选择题1若函数y(x1)(xa)为偶函数，则a等于() A2 B1 C1 D2解析：解析：yx2(1a)xa为偶函数，x的系数1a0，a1.答案：答案：C2(2010年广州模拟)设b0，二次函数yax2bxa21的图象为下列之一，则a的值为() A1 B1解析：解析：二次函数yax2bxa21的对称轴为x ，b0，x 0，排除图象、，由、知，图象过原点， a210，a1当a1时，对称轴x 0) 不合图、.a1.答案：答案：B3(文)(2009年广东五校)满足“对任意实数x，y，f(xy)f(x)f(y)都成立”的函数可以是()Af(x)3x Bf(x)log3x C
8、f(x)x3 Df(x)解析：解析：易验证f(x)x3时，f(xy)(xy)3x3y3f(x)f(y)答案：答案：C(理)给出下列三个函数图象：它们对应的函数表达式分别满足下列性质中的至少一条：对任意实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)成立；对任意实数x，y都有 f(y)成立；对任意实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)成立则下列对应关系最恰当的是()Aa和，b和，c和 Bc和，b和，a和Cc和，a和，b和 Db和，c和，a和解析：解析：图a直线，对应一次函数f(x)mx(m0)，它满足f(xy)f(x)f(y)，即式，即a对应；图b可视为指数曲线yf(x)ax(0a1)，它满足f(xy
9、)f(x)f(y)，即式，图b对应.图c可视为幂函数f(x)x的图象，它满足f(xy)f(x)f(y)，即式：c对应，故选B.答案：答案：B4已知(0.71.3)m(1.30.7)m，则实数m的取值范围是() A(0，) B(1，) C(0,1) D(，0)解析：解析：0.71.30.7011.301.30.7，0.71.30.答案：答案：A5(文)(2010年山东泰安一模)设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)0，则关于x的不等式f(x)1的解集为()A(，31，) B3，1C3，1(0，) D3，)解析：解析：由f(4)f(0)，f(2)0，得解得bc4，f(x)当x0时，f(x)1恒
10、成立；当x0时，由f(x)1得x24x41，解得3x1.不等式f(x)1的解集为3，1(0，)答案：答案：C(理)已知函数f(x)ax22ax4(0a3)若x1x2，x1x21a，则() Af(x1)f(x2) Df(x1)与f(x2)的大小不能确定解析：解析：f(x1)f(x2)(ax2ax14)(ax2ax24)a(x1x2)(x1x2)2a(x1x2)a(1a)(x1x2)2a(x1x2)(x1x2)(3aa2)a(3a)(x1x2)0a3，x1x2，f(x1)601,00.760.701，log0.76log0.710，log0.760.7660.7.答案：答案：log0.760.76
11、60.78已知函数f(x)x2mx1的两零点为，且(0，)，(1,2)，则实数m的取值范围是_解析：解析：由题意，有9(文)已知幂函数f(x)的部分对应值如下表：x1f(x)1则不等式f(x)2的解集为_答案：答案：0,4(理)已知二次方程x2ax20的两根都小于1，则实数a的取值范围是_解析：解析：令f(x)x2ax2，则f(x)的图象与x轴的交点在(1,0)左侧，从而三、解答题三、解答题10已知幂函数f(x)x m22m3 (mZ)是偶函数，且在区间(0，)上是减函数(1)求函数f(x)的解析式；(2)讨论F(x) a 的奇偶性，其中a，bR.解：解：(1)f(x)是偶函数，m22m3是偶
12、数又f(x)在(0，)上是减函数，m22m30，即1m3. mZ，m0,1,2.当m0时，m22m33不是偶数，舍去；当m1时，m22m34为偶数，符合题意；当m2时，m22m33不是偶数，舍去m1，故f(x)x4.(2)f(x)x4，F(x) bx3，F(x) bx3.当a0，b0时，F(x)为非奇非偶函数；当a0，b0时，F(x)为奇函数；当a0，b0时，F(x)为偶函数；当a0，b0时，F(x)既是奇函数又是偶函数11(文)设函数f(x)ax22x2，对于满足1x0，求实数a的取值范围Z xx k(理)已知函数f(x)x2，g(x)x1.(1)若存在xR使f(x)bg(x)，求实数b的取
13、值范围；(2)设F(x)f(x)mg(x)1mm2，且|F(x)|在0,1上单调递增，求实数m的取值范围解：解：(1)xR，f(x)bg(x)xR，x2bxb0b4.(2)F(x)x2mx1m2，m24(1m2)5m24.综综 合合 应应 用用12设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令anlog2xn，则a1a2a1 023的值为_解析：解析：点(1,1)在函数yxn1(nN*)的图象上，(1,1)为切点，yxn1的导函数为y(n1)xny|x1n1切线方程是y1(n1)(x1)，令y0得切点的横坐标：xn.a1a2anlog2(x1x2xn)a1a2a1 023log2(x1x2x1 023)log221010.答案：答案：10
