时间序列分析课件

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1、时间序列分析第一节第一节 时间序列分析的基本概念时间序列分析的基本概念 经济分析通常假定所研究的经济理论中涉及的变量之间存在着长期均衡关系。按照这一假定，在估计这些长期关系时，计量经济分析假定所涉及的变量的均值和方差是常数，不随时间而变。 然而，经验研究表明，在大多数情况下，时间序列变量并不满足这一假设，从而产生所谓的“伪伪回归回归”问题(spurious regression problem)。 为解决这类问题，研究人员提出了不少对传统估计方法的改进建议，其中最重要的两项是对变量的非平稳性非平稳性 (non-stationarity) 的系统性检验和协和协整整(cointegration)。

2、 协整协整 协整分析被认为是上世纪八十年代中期以来计量经济学领域最具革命性的进展。简单地说，协整分析涉及的是一组变量，它们各自都是不平稳的（含义是随时间的推移而上行或下行），但它们一起漂移。这种变量的共同漂移使得这些变量之间存在长期的线性关系，因而使人们能够研究经济变量间的长期均衡关系。如果这些长时间内的线性关系不成立，则对应的变量被称为是“非协整的” (not cointegrated)。 误差修正模型误差修正模型 一般说来，协整分析是用于非平稳变量组成的关系式中长期均衡参数估计的技术。它是用于动态模型的设定、估计和检验的一种新技术。 此外，协整分析亦可用于短期或非均衡参数的估计，这是因为短

3、期参数的估计可以通过协整方法使用长期参数估计值，采用的模型是误差修正模型误差修正模型 (error correction model)。 在介绍上述方法之前，下面先介绍所涉及的一些术语和定义。一一 平稳性（平稳性（Stationarity）1.严格平稳性严格平稳性 (strict stationarity) 如果一个时间序列Xt的联合概率分布不随时间而变，即对于任何n和k，X1,X2,，Xn的联合概率分布与X1+k,X2+k,Xn+k 的联合分布相同，则称该时间序列是严格平稳的。2. 弱平稳性弱平稳性 (weak stationarity) 由于在实践中上述联合概率分布很难确定，我们用随机变量

4、Xt（t=1,2,）的均值、方差和协方差代替之。一个时间序列是“弱平稳的”，如果： （1）均值 E(Xt) =，t=1,2, （7.1） （2 ）方差 Var(Xt) = E(Xt -)2 =2，t =1,2,（7.2） （3）协方差 Cov(Xt, Xt+k）= E (Xt -)(Xt+k -) rk， t=1,2,，k0 （7.3）3. 平稳性和非平稳性平稳性和非平稳性 通常情况下，我们所说的平稳性指的就是弱平稳性。一般来说，如果一个时间序列的均值和方差在任何时间保持恒定，并且两个时期t和t+k之间的协方差仅依赖于两时期之间的距离（间隔或滞后）k，而与计算这些协方差的实际时期t无关，则该时

5、间序列是平稳的。 只要这三个条件不全满足，则该时间序列是非平稳的。事实上，大多数经济时间序列是非平稳的。例如，在图7.1中，某国的私人消费（CP）和个人可支配收入（PDI）这两个时间序列都有一种向上的趋势，几乎可以断定它们不满足平稳性条件（7.1），因而是非平稳的。二二 几种有用的时间序列模型几种有用的时间序列模型1、白噪声（、白噪声（ White noise） 白噪声通常用t表示，是一个纯粹的随机过程，满足:（1）E(t) = 0 , 对所有t成立；（2）V ar(t) = 2，对所有t成立；（3）Cov (t, t+k) = 0，对所有t和k0成立。 白噪声可用符号表示为： tIID(0,

6、 2) （7.4）注：这里IID为Independently Identically Distributed（独立同分布)的缩写。2、随机漫步（、随机漫步（Random walk） 随机漫步是一个简单随机过程，由下式确定： Xt = Xt1+t （7.5） 其中t为白噪声。 Xt的均值： E(Xt）= E(Xt-1+t）= E(Xt1) + E(t) = E(Xt1)这表明Xt的均值不随时间而变。 为求Xt的方差，对（7.5）式进行一系列置换： Xt = Xt1+t = Xt2+t-1+t = Xt3+t-2+t-1+t = = X0+1+2+t = X0+t 其中X0是Xt的初始值，可假定为

7、任何常数或取初值为0，则 这表明Xt的方差随时间而增大，平稳性的第二个条件（7.2）不满足，因此，随机漫步时间序列是非平稳时间序列。可是，若将（7.5）式写成一阶差分形式： Xt=t （7.6) 这个一阶差分新变量Xt是平稳的，因为它就等于白燥声t，而后者是平稳时间序列。3、带漂移项的随机漫步、带漂移项的随机漫步 (Random walk with drift) Xt=+Xt1+t （7.7） 其中是一非0常数，t为白燥声。 之所以被称为“漂移项”，是因为（7.7）式的一阶差分为 Xt = XtXt-1 =+t 这表明时间序列Xt向上或向下漂移，取决于的符号是正还是负。显然，带漂移项的随机漫步

8、时间序列也是非平稳时间序列。4、自回归过程、自回归过程 随机漫步过程（7.5）（ Xt = Xt1+t）是最简单的非平稳过程。它是 Xt=Xt1+t （7.8）的特例，（7.8）称为一阶自回归过程（AR(1），该过程在11时是平稳的，其他情况下，则为非平稳过程。 更一般地，（7.8）式又是 Xt=1Xt1+2Xt2+qXt-q+t （7.9）的特例，（7.9）称为q阶自回归过程（AR(q）。可以证明，如果特征方程 11L2L23L3qLq = 0 （7.10）的所有根的绝对值均大于1，则此过程（7.9）是平稳的，否则为非平稳过程。三三 单整的时间序列（单整的时间序列（Integrated se

9、ries） 从（7.6）可知，随机漫步序列的一阶差分序列Xt = XtXt-1是平稳序列。在这种情况下，我们说原非平稳序列Xt是“一阶单整的”，表示为I(1)。与此类似，若非平稳序列必须取二阶差分(2Xt=XtXt-1)才变为平稳序列，则原序列是“二阶单整的”，表示为I(2)。 一般地，若一个非平稳序列必须取d阶差分才 变 为 平 稳 序 列 ， 则 原 序 列 是 “d阶 单 整 的”(Integrated of order d)，表示为I(d)。 由定义不难看出，I(0）表示的是平稳序列，意味着该序列无需差分即是平稳的。另一方面，如果一个序列不管差分多少次，也不能变为平稳序列，则称为“非单

10、整的”。 第二节第二节 平稳性的检验平稳性的检验 平稳性检验的方法可分为两类：传统方法和现代方法。前者使用自相关函数(Autocorrelation function)，后者使用单位根(Unit roots)。单位根方法是目前最常用的方法，因此本节中，我们仅介绍单位根方法。一一 单位根单位根 考察（7.8）式的一阶自回归过程，即 Xt=Xt1+t （7.11） 其中t为白噪声，此过程可写成 XtXt1=t 或（1L）Xt = t （7.12） 其中L为滞后运算符，其作用是取时间序列的滞后，如Xt 的一期滞后可表示为L(Xt），即 L(Xt）= Xt1 Xt平稳的条件是特征方程1L=0的根的绝对

11、值大于1。方程 (7.12) 仅有一个根L=1/ ，因而平稳性要求11。 检验Xt的平稳性的原假设和备择假设为： H0：1 Ha：1 接受原假设H0表明Xt是非平稳序列，而拒绝原假设（即接受备择假设Ha）则表明Xt是平稳序列。 在=1的情况下，即若原假设为真，则（7.11）就是随机漫步过程（7.5），从上节得知，它是非平稳的。因此，检验非平稳性就是检验=1，或者说，就是检验单位根。换句话说，单位根是表示非平稳性的另一方式。这样一来，就将对非平稳性的检验转化为对单位根的检验，这就是单位根检验方法的由来。一般来说，Xt的任何自回归模型可以用滞后运算符L写成 A(L)Xt =t 其中A(L)是L的一

12、个多项式。如果A(L)的一个根是（1L），则Xt有一个单位根。（7.11）式两端各减去Xt-1，我们得到 XtXt1= Xt1Xt1+t即 Xt= Xt1+t （7.13） 其中是差分运算符，=1。 假设为正（绝大多数经济时间序列确实如此），前面的假设可写成如下等价形式： H0：0 Ha：0 在=0的情况下，即若原假设为真，则相应的过程是非平稳的。换句话说，非平稳性或单位根问题，可表示为=1或=0。从而我们可以将检验时间序列Xt的非平稳性的问题简化成在方程（7.11）的回归中，检验参数=1 是否成立或者在方程（7.13）的回归中，检验参数=0是否成立。这类检验可分别用两个t检验进行： t= 或

13、 t= （7.14）其中， 和 分别为参数估计值 和 的标准误差，即 = Se( )， = Se( )。 这里的问题是，（7.14）式计算的t值不服从t分布，而是服从一个非标准的甚至是非对称的分布。因而不能使用t分布表，需要用另外的分布表。二二 Dickey-Fuller检验（检验（DF检验）检验） 迪奇（Dickey） 和福勒（Fuller）以蒙特卡罗模拟为基础，编制了（7.14）中t统计量的临界值表，表中所列已非传统的t统计值，他们称之为统计量。这些临 界 值 如 表 7.1所 示 。 后 来 该 表 由 麦 金 农（Mackinnon）通过蒙特卡罗模拟法加以扩充。 将表7.1中临界值与标

14、准t分布表中临界值相比较（按绝对值比），值要比相应的t值大得多。 有了表，我们就可以进行DF检验了，DF检验按以下两步进行： 第一步：对（7.13）式执行OLS回归，即估计 Xt=Xt-1+t （7.15） 得到常规t值。 第二步：检验假设 H0：= 0 Ha：0 用上一步得到的t值与表7.1中查到的临界值比较，判别准则是： 若 t， 则接受原假设H0，即Xt非平稳。 若t，则拒绝原假设H0，Xt为平稳序列。 Dickey和Fuller注意到临界值依赖于回归方程的类型。因此他们同时还编制了与另外两种类型方程中相对应的统计表，这两类方程是： Xt=+Xt-1+t （7.16）和 Xt=+t+Xt

15、-1+t （7.17） 二者的临界值分别记为和T。这些临界值亦列在表7.1中。尽管三种方程的临界值有所不同，但有关时间序列平稳性的检验依赖的是Xt-1的系数，而与、无关。 例7.1 检验某国私人消费时间序列的平稳性。 用表7.2中的私人消费（Ct）时间序列数据，估计与（7.16）和（7.17）相对应的方程，分别得到如下估计结果：(1) =12330.48-0.01091 Ct-1 R2=0.052 (t:) (5.138) (-1.339) DW=1.765(2) =15630.83+346.4522t-0.04536Ct-1 R2=0.057 (t:) (1.966) (0.436) (-0

16、.5717) DW=1.716 两种情况下，t值分别为 -1.339和 -0.571，二者分别大于表7.1中从0.01到0.10的各种显著性水平下的值和值。因此，两种情况下都不能拒绝原假设，即私人消费时间序列有一个单位根，或换句话说，它是非平稳序列。 下面看一下该序列的一阶差分（Ct）的平稳性。做类似于上面的回归，得到如下结果：(3) 2 = 7972.671-0.85112Ct-1 R2=0.425 (t:) (4.301) (-4.862) DW=1.967(4) 2 =10524.35-114.461t-0.89738Ct-1 R2=0.454 (t:) (3.908) (-1.294)

17、 (-5.073) DW=1.988其中2Ct=Ct-Ct-1。两种情况下，t值分别为 -4.862和-5.073，二者分别小于表7.1中从0.01到0.10的各种显著性水平下的值和T值。因此，都拒绝原假设，即私人消费一阶差分时间序列没有单位根，或者说该序列是平稳序列。 综合以上结果，我们的结论是：Ct是平稳序列，CtI(0）。而Ct是非平稳序列，由于CtI(0），因而CtI(1）。第三节第三节 协整协整 让我们考察弗里德曼的持久收入假设：私人总消费（Ct）是持久私人消费和暂时性私人消费（t）之和，持久私人消费与持久个人可支配收入（Yt）成正比。则消费函数为： (7.18) 其中011。 用表

18、7.2中数据对此消费函数进行OLS估计，假定持久个人收入等于个人可支配收入，我们得到： = 0.80969Yt R2=0.9924 (t:) (75.5662) DW=0.8667 除DW值低以外，估计结果很好。t值很高表明回归系数显著，R2也很高，表明拟合很好。可是，由于方程中的两个时间序列是趋势时间序列或非平稳时间序列，因此这一估计结果有可能形成误导。结果是，OLS估计量不是一致估计量，相应的常规推断程序不正确。 这种结果看上去非常好但涉及的变量是趋势时间序列的回归被Granger 和 Newbold 称为“伪回归” (Spurious regression)。 事实上，他们指出，如果在时

19、间序列的回归中DW值低而R2高，则应怀疑有伪回归的可能。我们上面的结果正是如此（R2 = 0.9924 DW = 0.8667）。 考虑到经济学中大多数时间序列是非平稳序列，则我们得到伪回归结果是常见的事。避免非平稳性问题的常用方法是在回归中使用时间序列的一阶差分。可是，使用变量为差分形式的关系式更适合描述所研究的经济现象的短期状态或非均衡状态，而不是其长期或均衡状态，描述所研究经济现象的长期或均衡状态应采用变量本身。 由上面的讨论，自然引出了一个明显的问题：我们使用非均衡时间序列时是否必定会造成伪回归？ 对此问题的回答是，如果在一个回归中涉及的趋势时间序列“一起漂移”，或者说“同步”，则可能

20、没有伪回归的问题，因而取决于t检验和F检验的推断也没有问题。这种非均衡时间序列的“同步”，引出了我们下面要介绍的“协整”概念。一协整的概念一协整的概念 在方程（7.18）中，持久收入假设要求两时间序列Ct和Yt的线性组合，即时间序列Ct1Yt必须是平稳的，这是因为此序列等于t，而暂时性私人消费（t）按定义是平稳时间序列。 可是，Ct和Yt都是非平稳时间序列，事实上，不难验证：CtI(1），YtI(1）。 也就是说，尽管CtI(1），YtI(1），但持久收入假设要求它们的线性组合t=Ct1Yt是平稳的，即t=Ct1YtI (0）。在这种情况下，我们说时间序列Ct和Yt是协整的(Cointegra

21、ted)。下面给出协整(Cointegration)的正式定义。定义：如果两时间序列YtI(d)，XtI(d)，并且这两个时间序列的线性组合a1Yt+a2Xt 是(d-b)阶单整的，即a1Yt+a2XtI(d-b）（db0），则Yt 和Xt被称为是（d, b）阶协整的。记为Yt, XtCI(d , b）这里CI是协整的符号。构成两变量线性组合的系数向量（a1，a2）称为“协整向量”。 下面给出本节中要研究的两个特例。 1、Yt, XtCI(d, d） 在这种情况下，d=b，使得a1Yt+a2XtI(0），即两时间序列的线性组合是平稳的，因而 Yt, XtCI(d, d）。 2、Yt, XtCI

22、(1, 1) 在这种情况下，d=b=1，同样有a1Yt+a2XtI(0)，即两时间序列的线性组合是平稳的，因而Yt, XtCI(1, 1）。 让我们考虑下面的关系 Yt = 0+1Xt （7.19） 其中，YtI(1），XtI(1）。 当0= Yt01Xt时，该关系处于长期均衡状态。 对长期均衡的偏离，称为“均衡误差”，记为t： t = Yt01Xt 若长期均衡存在，则均衡误差应当围绕均衡值0波动。也就是说，均衡误差t应当是一个平稳时间序列，即应有tI(0），E(t）= 0。按照协整的定义，由于YtI(1），XtI(1），且线性组合t=Yt01XtI(0），我们可以说Yt 和Xt是（1，1）阶

23、协整的，即Yt，XtCI(1, 1），协整向量是（1, 0, 1） 综合以上结果，我们可以说，两时间序列之间的协整是表示它们之间存在长期均衡关系的另一种方式。因此，若Yt 和Xt是协整的, 并且均衡误差是平稳的且具有零均值，我们就可以确信，方程 Yt =0+1Xt+t （7.20）将不会产生伪回归结果。 Stock证明了对于大样本，方程（7.20）的OLS估计量是“超一致”估计量，即它是一致估计量，并且非常有效，因为它向回归系数真值的收敛速度比涉及平稳变量的OLS估计量要快。但对于小样本，OLS估计量是有偏的，偏倚的水平依赖于R2的值，R2越高，偏倚的水平越低。 由上可知，如果我们想避免伪回归

24、问题，就应该在进行回归之前检验一下所涉及的变量是否协整。二协整的检验二协整的检验 我们下面介绍用于检验两变量之间协整的两种简单方法。1、Engle-Granger法法 步骤1.用上一节介绍的单位根方法求出两变量的单整的阶，然后分情况处理, 共有三种情况：（1）若两变量的单整的阶相同，进入下一步；（2）若两变量的单整的阶不同，则两变量不是协整的；（3）若两变量是平稳的，则整个检验过程停止，因为你可以采用标准回归技术处理。 步骤2. 若两变量是同阶单整的，如I(1），则用OLS法估计长期均衡方程（称为协整回归）： Yt=0+1Xt+t并保存残差et，作为均衡误差t的估计值。 应注意的是，虽然估计出

25、的协整向量（1， ， ）是真实协整向量（1，0，1）的一致估计值，这些系数的标准误差估计值则不是一致估计值。由于这一原因，标准误差估计值通常不在协整回归的结果中提供。步骤3. 对于两个协整变量来说，均衡误差必须是平稳的。为检验其平稳性，对上一步保存的均衡误差估计值（即协整回归的残差et）应用单位根方法。具体作法是将DickeyFuller检验法用于时间序列et，也就是用OLS法估计形如下式的方程： et =et-1 + +t （7.21） 有两点须提请注意：（1）（7.21）式不包含常数项，这是因为OLS残差et应以0为中心波动。（2）DickeyFuller统计量不适于此检验，表7.3提供了

26、用于协整检验的临界值表。 由表7.3中可见，Ct和Yt都是非平稳的，而Ct和Yt都是平稳的。这就是说， CtI(1），YtI(1）因而我们可以进入下一步。 第四步，得出有关两变量是否协整的结论。 用 t 3.150与 表 7 3中 的 临 界 值 相 比 较（m=2），采用显著性水平=0.05，t大于临界值，因而接受et非平稳的原假设，意味着两变量不是协整的，我们不能说在私人消费和个人可支配收入之间存在着长期均衡关系。 可是，如果采用显著性水平=0.10，则3.150与表73 中的临界值大致相当，因而可以预期，若=0.11，t将小于临界值，我们接受et为平稳的备择假设，即两变量是协整的，或者说

27、两变量之间存在着长期均衡关系。2、Durbin-Watson法法 此方法非常简单，步骤如下：步骤1. 估计协整回归方程 Yt=0+1Xt+t 保存残差et，计算DW统计值（现称为“协整回归”DurbinWatson统计值（CRDW）， 即 CRDW= 其中 为残差的算术平均值。步骤2. 根据下述原假设和备择假设得出有关两变量协整的结论： H0：et非平稳，即非协整 Ht： et平稳， 即协整 若CRDWd，则接受原假设H0； 若CRDWd，则拒绝原假设H0。 Sargan、 Enger和Granger等人计算了原假设为d = 0的情况下的临界值，对应于显著性水平为0.01，0.05和0.10的

28、临界值分别为 0.511，0.386和0.322。例7.3 某国私人消费和个人可支配收入的协整 将CRDW应用于上例。 第一步：由上例中（7.26）式知CRDW=1.021 第二步：因为CRDW=1.021大于上面提到的临界值, 故拒绝原假设，接受备择假设，因此得出结论： 私人消费和个人可支配收入可以协整。三误差修正模型（三误差修正模型（ECM）的估计）的估计 协整分析中最重要的结果可能是所谓的“戈林格尔代表定理”（Granger representation theorem）。按照此定理，如果两变量Yt和Xt是协整的，则它们之间存在长期均衡关系。 当然，在短期内，这些变量可以是不均衡的，扰动

29、项是均衡误差t。两变量间这种短期不均衡关系的动态结构可以由误差修正模型（error correction model）来描述，ECM模型是由Sargan提出的。这一联系两变量的短期和长期行为的误差修正模型由下式给出： Yt = 滞后的（Yt，Xt）+t-1 + vt （7.28） 10 其中 YtI(1），XtI(1），Yt ，XtCI (1，1），t= Yt01XtI（0），vt=白噪声，为短期调整系数。不难看出，在（7.28）中，所有变量都是平稳的，因为 YtI (1)，XtI (1)YtI (0)，XtI (0)； Yt, XtCI (1, 1) tI (0)因此，有人或许会说，该式可用

30、OLS法估计。但事实上不行，因为均衡误差t不是可观测变量。因而在估计该式之前，要先得到这一误差的值。Engle 和 Granger建议采用下述两步方法估计方程。第一步：估计协整回归方程 Yt=0+1Xt+t得到协整向量的一致估计值（1， ， ），用它得出均衡误差t的估计值 et= Yt Xt第二步：用OLS法估计下面的方程 Yt = 滞后的（Yt，Xt）+et-1+vt （7.29）例7.4 估计某国私人消费和个人可支配收入之间的误差修正模型。第一步 ：由例7.2 中7.26式协整回归的结果： = 11907.23 + 0.779585Yt (7.30) (t:) (3.123) (75.56

31、6) R2=0.994 DW=1.021 我们得到残差et。 第二步：估计误差修正模型，结果如下： = 5951.557+0.28432Yt 0.19996et-1 (7.31) (t:) (7.822) (6.538) (2.486) R2=0.572 DW=1.941 （7.31）中的结果表明个人可支配收入Yt的短期变动对私人消费存在正向影响。此外，由于短期调整系数是显著的，表明每年实际发生的私人消费与其长期均衡值的偏差中的20%（0.19996）被修正。小结小结 本章重点介绍了时间序列分析中用到的一些基本概念和方法。一.平稳性和非平稳性 一般来说，如果一个时间序列的均值和方差在任何时间保

32、持恒定，并且两个时期t和t+k之间的协方差仅依赖于两时期之间的距离（间隔或滞后）k，而与计算这些协方差的实际时期t无关，则该时间序列是平稳的。只要这三个条件不全满足，则该时间序列是非平稳的。事实上，大多数经济时间序列是非平稳的。 若一个非平稳序列Xt必须取d阶差分才变为平稳序列，则Xt是“d阶单整的”，表示为XtI(d）。二 .平稳性检验 平稳性检验的方法有自相关函数法和单位根方法两类，本章中介绍了单位根方法。单位根是表示非平稳性的另一方式，单位根方法将对非平稳性的检验转化为对单位根的检验，本章介绍的DF检验法简单实用，是目前最常用的单位根方法。DF检验按以下两步进行：第一步：用 OLS法估计

33、 Xt=Xt-1+t ， 得到常规t值。第二步：检验假设 H0：= 0 Ha：0 若接受原假设H0，则Xt非平稳。三协整分析 协整分析是用于非平稳变量组成的关系式中长期均衡参数估计的技术。协整分析涉及的是一组变量，它们各自都是不平稳的，但它们同步。这种变量的同步使得这些变量之间存在长期的线性关系，因而使人们能够研究经济变量间的长期均衡关系。如果这种长期线性关系不成立，则对应的变量被称为是“非协整的”。 协整的定义是： 如果两时间序列YtI(d），XtI(d），并且这两个时间序列的线性组合a1Yt+a2Xt 是(d-b)阶单整的，即a1Yt+a2XtI(d-b）（db0），则Yt 和Xt被称为是

34、（d，b）阶协整的。记为Yt，XtCI(d，b）。 当回归方程中涉及的时间序列是非平稳时间序列时，OLS估计量不再是一致估计量，相应的常规推断程序会产生误导。这就是所谓的“伪回归”问题。可是，如果Yt 和Xt是协整的, 并且均衡误差是平稳的且具有零均值，我们就可以确信，方程Yt =0+1Xt+t 将不会产生伪回归结果。 因此，要避免伪回归问题，就应该在进行回归之前检验一下所涉及的变量是否协整。本章介绍了两种检验协整的方法：Engle-Granger法和Durbin-Watson法。 协整分析亦可用于短期或非均衡参数的估计，按照戈林格尔代表定理，如果两变量Yt和Xt是协整的，则它们之间存在长期均衡关系。当然，在短期内，这些变量可以是不均衡的，扰动项是均衡误差t。两变量间这种短期不均衡关系的动态结构可以由误差修正模型来描述。