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1、1.4 次序统计量及其分布次序统计量及其分布 一、次序统计量一、次序统计量。定义定义 设设 X1, X2, , Xn 是取自总体是取自总体X的样本的样本, , X(i) 称为称为该样本的第该样本的第i 个次序统计量，它的取值是将样本观测个次序统计量，它的取值是将样本观测值由小值由小到大排列后得到的第到大排列后得到的第 i 个观测值。其中个观测值。其中X(1)=min X1, X2, , Xn 称为该样本的称为该样本的最小次序统计量最小次序统计量， X(n)=max X1, X2, , Xn 称为该样本的称为该样本的最大次序统计量最大次序统计量。1.例例 设总体设总体X 的分布为仅取的分布为仅取
2、0,1,2的离散均匀分布的离散均匀分布,分分 布列为布列为0 0 1 1 2 2 1/31/3 1/3 1/31/3 1/3 样本样本X1, X2,Xn 是独立同分布的，而次序统计是独立同分布的，而次序统计量量 X(1), X(2), X(n) 则既不独立，分布也不相同。则既不独立，分布也不相同。现从中抽取容量为现从中抽取容量为现从中抽取容量为现从中抽取容量为3 3的样本，其一切可能取值有的样本，其一切可能取值有的样本，其一切可能取值有的样本，其一切可能取值有3 33 3=27=27种，下表列出了这些值，由此种，下表列出了这些值，由此种，下表列出了这些值，由此种，下表列出了这些值，由此2.一一
3、二二三三一一二二三三一一二二三三0001002000011012010021022020101102100111112110121122120201202200211212210221222223. 0 1 2 0 1 2这三个次序统计量的分布是不相同的。这三个次序统计量的分布是不相同的。可给出的可给出的可给出的可给出的 X X(1) (1) , , X X(2)(2), , X X(3) (3) 分布列如下：分布列如下：分布列如下：分布列如下： 0 1 24. 进一步进一步, 给出两个次序统计量的联合分布给出两个次序统计量的联合分布, 如如:X(1) 和和X(2) 的联合分布列为的联合分布列
4、为01207/279/273/27104/273/272001/27X(1)X(2)因为因为 P(X(1) = 0, X(2) = 0) =7/27 ，5.因为因为 P( X(1) = 0, X(2) = 0) =7/27 ，二者不等，由此可看出二者不等，由此可看出X(1) 和和 X(2)是不独立的。是不独立的。而而 P( X(1) = 0)*P( X(2) = 0) = (19/27)*(7/27)，6.定理定理1 1：次序统计量是充分统计量：次序统计量是充分统计量. .证明：证明：7.二、单个次序统计量的分布二、单个次序统计量的分布定理定理2 设总体设总体X的密度函数为的密度函数为f(x)
5、, 分布函数为分布函数为F(x), X1, X2, Xn为样本为样本, 则第则第k个次序统计量个次序统计量X(k)的密度函的密度函数为数为8.9.10.三、多个次序统计量的联合分布三、多个次序统计量的联合分布对任意多个次序统计量可给出其联合分布，对任意多个次序统计量可给出其联合分布，以以两两个为例说明：个为例说明：定理定理3 次序统计量次序统计量 (x(i), x(j), (i j) 的联合分的联合分布密度函数为布密度函数为11.12.对对n个次序统计量也可给出其联合分布，个次序统计量也可给出其联合分布，定理：定理：设总体设总体 的密度函数为的密度函数为 分布分布 函数为函数为F F( (x),), 为样本，则次序为样本，则次序统计量统计量 的联合分布密度函数为的联合分布密度函数为13.样本中位数和样本极差样本中位数和样本极差设设 是来自总体是来自总体 的样本，的样本， 是次序统计量，则样本中位数定义为是次序统计量，则样本中位数定义为14.15.
