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1、题目：讨论平面静电场中的复变函数方法n n报告人：李利萍 PB04005036n n指导老师：翁惠民一、引言n n（1 1）在电磁学中，我们对电场的问题总是在一个）在电磁学中，我们对电场的问题总是在一个三维的空间进行讨论，而电场中诸多的对称性让三维的空间进行讨论，而电场中诸多的对称性让我们想到在一个剖切面进行考虑问题我们想到在一个剖切面进行考虑问题n n(2)(2)复变函数有时在平面解决问题的一个很好的工复变函数有时在平面解决问题的一个很好的工具。本文正是把电场中的问题变换成复变函数模具。本文正是把电场中的问题变换成复变函数模型，进而进行分析。型，进而进行分析。二、把静电场中的一些问题化为复变
2、函数模型 对于一般的平面静电场，我们选取一个有代表性的平面作为z平面，设D是电场中的一大单连通区域，如果D内每一点电场强度 的散度： (1)以C表示一光滑曲线，是D所围的有界区域， 且 ，由格林公式： 上式表示沿闭曲线C的电通量，确定单值函数： (2) 称为电场的力函数，等值线 =a（常数）叫电力线。电场的旋度 ： (3) 类似有： 上式表示沿闭曲线C所作的功，确定单值函数： (4) 称为电场的势函数，其等值线 =b（常数）叫 电势线。由(1)(3)得 (5) 满足C-R方程，故 是D内的全纯函数同理，复势 是D内的全纯函数且知 与E满足如下关系: (6) 应当指出:在多连同区域内,复势可能是
3、一个多值函数,对于 此区域内任意一条光滑曲线C,有 (7)其中 Q分别是平面静电场沿C的所做的功与电通量.三、简单初等函数表示平面静电场的几个例子（一）考虑一足够长(可以看成无限长)的均匀带电直线所产生的电场,以表电荷的线密度,任取垂直于的一个平面为平面,且原点在平面上,现来求此平面静电场的电场强度和复势.分析如下:库伦定理知，点电荷q在相距其r处产生的电场: 则本题中 其中是点电荷的线密度，dh是直线上的长度微元， 是真空介电常数所以， |dE|在z平面的投影为推出由于E的方向与z相同，其单位向量为 所以电场强度E的初等复变函数的表示为: -(8) 而根据(6)复势为： (9) 为了方便,上
4、式中取常数c=0.这不影响电场强度E所以 为力函数. （常数）表示电力线(虚线).为势函数. 表示等势线（实线）.（如右图所示）以C表示一原点为中心的一个圆周,则由(7)式得 令 ，则 即易知: 因此,该点电荷C的环量为0,沿C的电通量为这与电场的环路定理和高斯定理相吻合.(二)在Z平面的点 . 处分别有电量为 的点电荷.求这些点电荷所形成的电场的电场强度和复势.分析如下:由上计算知根据电路的叠加原理,上述电荷所组成的电场的电场强度为: 复势为： 特别地,当 ， （即电偶极子），且在的点 电荷的电量为 ，则由这两异性的点电荷所形成的复势为： 而力函数 ，当( 为常数)，电力线是经过 的圆周又势
5、函数 ，当 （b为常数），等势线是以 为对称的 圆周.（见下图）四.用复变的方法处理静电场的具体问题-平行板电容器所形成的电场.考虑在平行板电容器内部,而不是两端附近的静电场,那么可以近似的把电场看成是均匀的.在两端附近是不均匀的.但我们考虑一端附近的静电场,可以忽略另一端的影响,那么可以把平行板电容器表示成两个半平面的形状,下图就是垂直与一平行板的剖面图.以表示平行板间的距离2h,又设它们的电势分别为因此,要求出此平面静电场的复势 ,只有解如下边值问题.即上图中所示区域内的解析函数,使它满足边界条件： 且使 实际上,这只要找出区域D到W平面上宽为2b的带形区域G的共形映射（见下图） ? ?
6、? 施瓦兹-科利斯多费尔定理这样我们就找到了从映射G到D的单叶解析函数：将上式分成实部和虚部得：分别在上式中取 常数，与 常数，便得电力线和等势线的参数方程由上式及(6)还求的电场强度：在此平行板电容器的内部,即z接近A点，又w接近 ，故电场强度 也就是接近匀强电场.当z在平行板电容器一端附近,即接近B或E， ，此时,E趋于 。上式的E值反映了电容器所形成的电场强度的大小情况.五.总结n n本文先把平面静电场的一些问题化为复变函数的问题,然后用共形映射与边值问题的方法处理这些问题.n n通过着篇论文我学到了很多知识，对电场问题有了更多地了解，也更深刻地了解到变函数这个工具的强大力量参考资料:n n张玉民,戚伯云,电磁学.科学出版社中国科学技术大学出版社 2000n n郑建华,复变函数.清华大学出版社n n闻国椿,殷慰萍,复变函数的应用.首都师范大学出版社谢谢 谢谢
