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1、3.5 晶体的比热晶体的比热3.5.1 3.5.1 比热的量子理论比热的量子理论比较比较1气体的定容摩尔热容量气体的定容摩尔热容量返回返回22. 高温极限情况33.低温极限情况在kBThi时，由于频率为i的格波的平均声子数为因而声子能量hi比格波的平均能量i还要大，量子效应十分明显。当T0时， CVT3经典理论无法解释。通常采用爱因斯坦模型或德拜模型给予说明。43.5.2 爱因斯坦模型爱因斯坦模型5原因1 晶体中的原子不是互相独立的，而是互相作用2 原子是以格波的形式运动的，格波的频率是有分布的。若E=300K，则=E/2=61012Hz。处于红外光频率，相当于长光学波频率。由公式可以看出频率
2、越高，其热振动能越小 。爱因斯坦模型中格波的频率很高，其热振动能很小，当温度很低时，就更小了。而实际上，在甚低温下，晶体的热容量主要由长声学波决定。l爱因斯坦模型中把所有的波视为光学波，没考虑长声学波的贡献，因此导致低温下理论的偏差。63.5.3 德拜模型德拜模型7矢量球矢量球89波波 矢矢 示示 意意 图图 1 每个q点所占据的空间为:单位体积内q的密度分布为：10波波 矢矢 示示 意意 图图 2返回返回球壳体积为4q2dq11对于弹性波，振动模式没有限制，因为理想介质包含无限个自由度，而对于原子个数是N的晶体，其自由度为3N。故振动模式数也是3N。为此引入德拜截止频率m。123.6 非谐效
3、应与热导率3.6.1 热传导的物理本质l由简谐近似可以得到晶体热容的理想结果,3pN个独立的简谐振子，没有相互作用，没有能量交换，声子之间也不会发生碰撞而互相转换。l系统就不能改变原来的状态，原来的非平衡体系就不能平衡，与事实不符。l简谐近似理论不能解释热传导现象，因未考虑声子碰撞，导致热导无穷大。晶体中热传导主要由声子完成。简谐振动近似条件下，声子是互相独立的，彼此之间没有相互作用，因而可以毫无阻挡地在晶体中运动。这时，晶体的热导无穷大。l不能解释晶体热膨胀及喇曼散射中的多声子现象。13l热膨胀、热传导等由非平衡态向平衡态的转变，不能用简谐振动近似，必须用热能展开式中的三次和更高次的非谐项。
4、l晶体中原子间作用力不是严格地与位移成正比，即其势能展开式中，还存在的高次项。它们对格波由非平衡态向平衡态的转变起主要作用。l把简谐近似看作是晶格振动的一级近似，而把高次项的非谐作用看作是微扰。因此哈密顿量中还包含简正坐标的交叉项。14晶体的热传导l热传导：晶体中存在温度梯度时，导致热能由高温区向低温区流动，直到处处相等。15晶体的热传导（2）l当晶体存在温度梯度时，声子气体的密度是不均匀的，温度高处声子密度大，温度低处声子密度小。l声子在无规则运动的基础上产生平均的定向运动，即扩散运动。l由于声子是格波的能量量子，即能量的最小单元，因此声子的定向运动形成热流，其方向就是声子的平均定向运动方向
5、。晶格热传导就是声子扩散运动的结果。l晶格热导率：l其中CV是热容，和分别是声子的平均自由程和速度，一般可取固体中的声速值。16 声子受到碰撞和散射决定了它的平均自由程。 声子的散射机制有很多种：声子间散射声子受到晶体缺陷的散射声子受样品边界的散射173.6.2 正常过程与倒逆过程 声子间碰撞满足能量守恒与动量守恒定律。 设两个声子的频率和波矢分别为1、2、q1、q2。 碰撞后产生第三个声子3、q3。 则有： G为倒格矢。正常过程（N过程）：当碰撞后产生的声子3、q3位于第一布里渊区时，则G等于0。N过程中，声子碰撞前后系统准动量相等，因此不会改变热流方向而产生热能。即N过程中对热阴没有贡献。
6、 18l如果q3超出第一布里渊区，则可回到第一布里渊区，用l q4 =q3-Gl表示简约到第一布里渊区，形成q4 和q3反向，因此lG0，的声子碰撞过程称为倒逆过程。l如果把晶格的热运动系统看作是声子气体，则平均声子数为193.7 非谐效应与晶体的热膨胀在简谐近似下，晶体不会有热膨胀，热膨胀是由非谐效应引起的。203.7.1 晶体的状态方程晶格自由能：两部分只和晶格的体积有关，而和温度无关 F1=U(V)和晶格振动有关。F2=kBlnZ Z： 晶格振动的配分函数由于非谐效应，当晶格体积变化时，各格波频率也发生变化。因此i也是参量V的函数。由上式对V求导，得到：21例题 试计算一维单原子链的格律乃森常数22晶体的热膨胀l在不施加压力的情况下，晶体体积随温度的变化。若是简谐近似，则不存在热膨胀。膨胀由非谐作用引起。23作业：1 利用德拜理论建立晶体的比热模型。24
