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1、 玩转数学玩转数学 中学数学的故事中学数学的故事 涡阳四中涡阳四中 杜志伟杜志伟2021/3/101一、认识数学一、认识数学1、数学的起源？、数学的起源？结绳记事结绳记事土地测量土地测量2021/3/102结绳记事是文字发明前，人们结绳记事是文字发明前，人们所使用的一种记事方法。即在所使用的一种记事方法。即在一条绳子上打结，用以记事。一条绳子上打结，用以记事。事大大结其绳，事小小结其绳事大大结其绳，事小小结其绳计数计数古埃及尼罗河洪水过后的土地古埃及尼罗河洪水过后的土地测量，金字塔的建设等对几何测量，金字塔的建设等对几何的发展。的发展。几何几何2021/3/103一、认识数学一、认识数学代数代
2、数几何几何2、数学是什么？、数学是什么？数学（数学（mathematics）是研究空间形式和数）是研究空间形式和数量关系的一门学科。量关系的一门学科。2021/3/104二、我们所认识的数二、我们所认识的数1、从小学到初中，我们学过哪些数？、从小学到初中，我们学过哪些数？整数整数分数分数正整数正整数负整数负整数零零正分数正分数负分数负分数无理数无理数实实 数数规律数规律数2021/3/105古希腊对数的认识古希腊对数的认识古希腊的毕达哥拉斯学派认为古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数万物皆数”，数，数是万物之是万物之“本本”，只有通过数字才能对万物现象，只有通过数字才能对万物现象进行解释。进行
3、解释。三角形数三角形数正方形数正方形数2021/3/106考题回顾考题回顾1、（、（2010安徽安徽 9）下面两个多位数）下面两个多位数1248624、6248624，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以以2，若，若积为一位数，将其写在第一位数，将其写在第2位上，若位上，若积为两位数，两位数，则将其个位数字写在第将其个位数字写在第2位位对第第2位数字再位数字再进行如上操行如上操作得到第作得到第3位数字位数字，后面的每一位数字都是由前一位数，后面的每一位数字都是由前一位数字字进行如上操作得到的当第行如上操作得到的当第1位数字是位数字是3时，仍按如上，仍
4、按如上操作得到一个多位数，操作得到一个多位数，则这个多位数前个多位数前100位的所有数字位的所有数字之和是（）之和是（）A495B497C501D5032021/3/107解：当第解：当第1位数字是位数字是3时，按如上操作得到一个多位数时，按如上操作得到一个多位数36 2486 2486 2486 2486 仔细观察仔细观察3 6248 6 248 6248 62486 中的规律，中的规律， 994=24余余3， 这个多位数前这个多位数前100位的所有数字之和位的所有数字之和= 3+（2+4+8+6）24+（6+2+4）=495考题回顾考题回顾2021/3/1082、（、（2013安徽省安徽省
5、 18）我们把正六边形的顶点及其对称中心称）我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图作如图1所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征个特征点，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边点，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图重合，这样得到图2，图，图3，考题回顾考题回顾猜想：在猜想：在图（n）中，特征点的个数）中，特征点的个数为 （用（用n表示）；表示）；如如图，将，将图（n）放在直角坐）放在直角坐标系中，系中，设其中第一个基本其中第一个基本图的的对称中心称中心O1的的坐坐标为（x1，2），），则x1= ；图
6、（2013）的）的对称中心的横坐称中心的横坐标为 2021/3/1093、（、（2014安徽省安徽省 16） 观察下列关于自然数的等式：察下列关于自然数的等式：（1）32 241412 2=5 =5 （1 1）（2 2）5 52 242422 2=9 =9 （2 2）（3 3）7 72 243432 2=13 =13 （3 3）根据上述根据上述规律解决下列律解决下列问题：（1 1）完成第四个等式：）完成第四个等式：9 92 244（ ）2 2= =（ ）；）；（2 2）写出你猜想的第）写出你猜想的第n n个等式（用含个等式（用含n n的式子表示），的式子表示），并并验证其正确性。其正确性。考题
7、回顾考题回顾2021/3/1010二、我们所认识的数二、我们所认识的数1、从小学到初中，我们学过哪些数？、从小学到初中，我们学过哪些数？整数整数分数分数正整数正整数负整数负整数零零正分数正分数负分数负分数无理数无理数实实 数数规律数规律数2021/3/1011无理数的发现无理数的发现 古希腊的毕达哥拉斯学派认为古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数万物皆数”，由于当，由于当时条件有限，他们理解的数都是整数，即世上的一切事时条件有限，他们理解的数都是整数，即世上的一切事物都可以用整数来表示，即使分数也可以用两个整数的物都可以用整数来表示，即使分数也可以用两个整数的比来表示。有一天，该学派一个叫西帕
8、索斯的学员发现比来表示。有一天，该学派一个叫西帕索斯的学员发现边长为边长为1的正方形的对角线的长不能用两个整数的比来的正方形的对角线的长不能用两个整数的比来表示，这使西帕索斯陷入无比的困惑中，我要不要将这表示，这使西帕索斯陷入无比的困惑中，我要不要将这个违背学派信条的事公之于众呢？个违背学派信条的事公之于众呢？”愤怒的毕达哥拉斯愤怒的毕达哥拉斯学派人员为了维护自己所谓的学派人员为了维护自己所谓的“真理真理”，在一次海上航，在一次海上航行中把西帕索斯偷偷地投到了大海里。行中把西帕索斯偷偷地投到了大海里。无理数的发现使人们对现有的无理数的发现使人们对现有的“公理公理”产生产生了疑惑，于是产生了第一
9、次数学危机。了疑惑，于是产生了第一次数学危机。2021/3/1012二、我们所认识的数二、我们所认识的数1、从小学到初中，我们学过哪些数？、从小学到初中，我们学过哪些数？整数整数分数分数正整数正整数负整数负整数零零正分数正分数负分数负分数无理数无理数实实 数数规律数规律数要善于发现大自然的要善于发现大自然的规律，数学的美规律，数学的美2021/3/1013引申：善于思考的引申：善于思考的“古希腊学派古希腊学派”1、“芝诺悖论芝诺悖论”（1）“二分法二分法”（运动不存在）（运动不存在）你要到达终点，必须首先到达全程的你要到达终点，必须首先到达全程的 1/2 处；而要处；而要到达到达 1/2 处，
10、必须要先到处，必须要先到 1/4 处处每当你想到达一每当你想到达一个点，总有一个中点需要先到，因此你是永远也到个点，总有一个中点需要先到，因此你是永远也到不了终点的。其实，你根本连动都动不了，运动是不了终点的。其实，你根本连动都动不了，运动是不可能的。不可能的。2021/3/1014引申：善于思考的引申：善于思考的“古希腊学派古希腊学派”（2）阿基里斯追龟）阿基里斯追龟在跑步比赛中，如果跑得最慢的乌龟一开始领在跑步比赛中，如果跑得最慢的乌龟一开始领先跑得最快的希腊勇士阿基里斯，那么乌龟永先跑得最快的希腊勇士阿基里斯，那么乌龟永远也不会被阿基里斯追上。因为要想追到乌龟，远也不会被阿基里斯追上。因
11、为要想追到乌龟，阿基里斯必须先到达乌龟现在的位置；而等阿阿基里斯必须先到达乌龟现在的位置；而等阿基里斯到了这个位置之后乌龟已经又前进了一基里斯到了这个位置之后乌龟已经又前进了一段距离。如此下去，阿基里斯永远追不上乌龟。段距离。如此下去，阿基里斯永远追不上乌龟。2021/3/1015引申：善于思考的引申：善于思考的“古希腊学派古希腊学派”（3）飞矢不动）飞矢不动设想一支飞行的箭。在每一时刻，它位于空间中的设想一支飞行的箭。在每一时刻，它位于空间中的一个特定位置。由于时刻无持续时间，箭在每个时一个特定位置。由于时刻无持续时间，箭在每个时刻都没有时间而只能是静止的。鉴于整个运动期间刻都没有时间而只能
12、是静止的。鉴于整个运动期间只包含时刻，而每个时刻又只有静止的箭，所以芝只包含时刻，而每个时刻又只有静止的箭，所以芝诺断定，飞行的箭总是静止的，它不可能在运动。诺断定，飞行的箭总是静止的，它不可能在运动。2021/3/1016三、图形三、图形孟子曰：孟子曰：“离娄之明、公输子之巧，不以规离娄之明、公输子之巧，不以规矩，不能成方圆。矩，不能成方圆。1、尺规作图、尺规作图“三等分任意角三等分任意角”（即任意给一个角（即任意给一个角，求作一角，求作一角等于等于/3）；）；“倍立方体倍立方体”（即求作一立方体，使其体积等于（即求作一立方体，使其体积等于已知立方体体积的二倍）；已知立方体体积的二倍）；“化
13、圆为方化圆为方”（即求作一正方形，使其面积等于（即求作一正方形，使其面积等于已知圆的面积）。已知圆的面积）。古希腊三大作图难题：古希腊三大作图难题：2021/3/1017四、数形结合四、数形结合（1）无理数的发现）无理数的发现1、由来已久、由来已久（2）数轴的价值）数轴的价值数轴实现了点与数的一一对应数轴实现了点与数的一一对应2021/3/1018四、数形结合四、数形结合（3）平面直角坐标系）平面直角坐标系法国哲学家、数学家、物理学家笛卡尔有一天，法国哲学家、数学家、物理学家笛卡尔有一天，生病卧床，但他头脑一直没有休息，在反复思生病卧床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观
14、的，而代数方程考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的蜘蛛的“表演表演”，使笛卡尔思路豁然开朗。他想，可以把蜘，使笛卡尔思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？用一组数（能把蜘蛛的每个位置用一组数
15、确定下来呢？用一组数（a， b）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创组二个有顺序的数来表示。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。建了直角坐标系。2021/3/10191232134323542473571、（、（2012安徽省安徽省 17）在由在由mmn（mmn1）个小正方形）个小正方形组成的矩形网格中，研成的矩形网格中，研究它的一条究它的一条对角角线所穿所穿过的小正方形个数的小正方形个数f，（1）当）当m、n互互质（m、n除除1外无其他公因数）外无其他公因数）时，观察下列
16、察下列图形并完成下表：形并完成下表：猜想：当猜想：当m、n互互质时，在，在mmn的矩形网格中，一条的矩形网格中，一条对角角线所穿所穿过的小正方形的小正方形的个数的个数f与与m、n的关系式是的关系式是_（不需要（不需要证明）；明）；（2）当）当m、n不互不互质时，请画画图验证你猜想的关系式是否依然成立。你猜想的关系式是否依然成立。考题回顾考题回顾2021/3/1020考题回顾考题回顾3、（、（2010安徽）某企安徽）某企业15月份利月份利润的的变化情况化情况图所示，以所示，以下下说法与法与图中反映的信息相符的是（）中反映的信息相符的是（）A12月份利月份利润的增的增长快于快于23月份利月份利润的
17、增的增长B14月份利月份利润的极差于的极差于15月份利月份利润的极差不同的极差不同C15月份利月份利润的众数是的众数是130万元万元D15月份利月份利润的中位数的中位数为120万元万元2021/3/10213、（、（2010安徽）甲、乙两个准安徽）甲、乙两个准备在一段在一段长为1200米的笔米的笔直公路上直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4m/s和和6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米米处，若同，若同时起跑，起跑，则两人从起跑至其中一人先到达两人从起跑至其中一人先到达终点的点的过程中，甲、乙两之程中，甲、乙两之间的距离的距离y
18、（m）与）与时间t（s）的函数）的函数图象是（）象是（）考题回顾考题回顾2021/3/1022值得探究的问题值得探究的问题1、概率统计、概率统计2、函数与方程、函数与方程3、几何证明、几何证明4、问题解决的策略、问题解决的策略2021/3/1023我们为什么要学习数学我们为什么要学习数学1、知识层面：、知识层面： 文化文化（1）数学思想、方法、语言、内容等；）数学思想、方法、语言、内容等；（2）数学与哲学的关系：逻辑）数学与哲学的关系：逻辑柏拉图、泰勒斯、达芬奇、罗素柏拉图、泰勒斯、达芬奇、罗素（3）升学考试的需要）升学考试的需要2021/3/1024我们为什么要学习数学我们为什么要学习数学2
19、、潜移默化层面：、潜移默化层面： 影响影响日本数学家米山国臧说过：日本数学家米山国臧说过：“作为知识的数学出校门作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地地发生作用，使人终身受益。随地地发生作用，使人终身受益。”你现在的气质里，藏着你走过的路、你现在的气质里，藏着你走过的路、读过的书和爱过的人。读过的书和爱过的人。2021/3/1025欢迎大家来涡阳四中欢迎大家来涡阳四中与我交流、学习与我交流、学习! 涡阳四中涡阳四中 2021/3/1026
