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1、第七节一一、最大值最小值定理、最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理 闭区间上连续函数的性质 第二二章 定定义义例如例如, ,一一、最大值最小值定理、最大值最小值定理定理定理( (最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在在闭区间闭区间上连续的上连续的即即: 设设则则使使函数在该区间上一定有最大函数在该区间上一定有最大值和最小值值和最小值. .(证明略证明略) 1 若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2 若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.注注f (x)在在0, 2上无最大值和最小值上无最大值和最小值 推论推
2、论 (有界性定理有界性定理) 在闭区间上连续的函数在该区在闭区间上连续的函数在该区 间上一定有界间上一定有界.例例1证证yxoAA -1A +1- XX定理定理 ( 零点定理零点定理 )至少存在一点至少存在一点使使( 证明略证明略 )定义定义 如果如果则称则称为为 f (x) 的零的零点点.二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理定定 ( 介值定理介值定理 )设设 且且则对则对 A 与与 B 之间的之间的任一数任一数 C , 至少有一点至少有一点证证 作辅助函数作辅助函数则则且且故由零点定理知故由零点定理知, 至少有一点至少有一点使使即即使使推论推论 在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函
3、数必取得介于最大值必取得介于最大值 M与最小值与最小值 m 之间的一切值之间的一切值 .例例2 至少有一个不超过至少有一个不超过 4 的的 证证证明方程证明方程令令且且由零点定理由零点定理 , 知知原命题得证原命题得证 .显然显然正根正根 .使使例例3证证由于由于 f (x)在在a, b上连续上连续,有最大值有最大值 M 和最小值和最小值 m，故故 f (x) 在在由介值定理的推论知，由介值定理的推论知，则则使得使得内容小结内容小结在在上达到最大值与最小值上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的一切上可取最大与最小值之间的一切值值; ;4. 当当时时,使使必存在必存在上有界上有界;在在在
4、在1. 任给一张面积为任给一张面积为 A 的纸片的纸片(如图如图),证明必可将它证明必可将它思考与练习思考与练习一刀剪为面积相等的两片一刀剪为面积相等的两片.提示提示: 建立坐标系如图建立坐标系如图.则面积函数则面积函数因因故由介值定理可知故由介值定理可知:则则证明至少存在证明至少存在使使提示提示: 令令则则易证易证2. 设设一点一点备用题备用题例例2-1证明方程证明方程证证 显然显然又又故据零点定理故据零点定理, 至少存在一点至少存在一点使使即即在区间在区间内至少有一个根内至少有一个根 .例例2-2证证证明任一奇数次代数方程至少有一个实根证明任一奇数次代数方程至少有一个实根.设奇数次代数方程
5、为设奇数次代数方程为由于由于又又由零点定理知由零点定理知,即方程至少有一个实根即方程至少有一个实根.例例2-3证证令令由零点定理，知由零点定理，知 (0, a + b), 使使证证由零点定理由零点定理, ,例例2-4上连续上连续 , 且且恒为正恒为正 ,例例2-5在在证明证明:对任意的对任意的必存在一点必存在一点使使分析分析证证 令令, 则则使使故由零点定理知故由零点定理知, 即即当当时时,取取或或则有则有当当时时,例例2-6证证令令方法方法1 (用反证法用反证法)假设：假设：这与题设条件这与题设条件矛盾！矛盾！方法方法2从而从而要么要么此时，命题成立；此时，命题成立；要么要么则由零点定理，知则由零点定理，知
