§5. 极限运算法则极限运算法则 一、无穷小的运算法则一、无穷小的运算法则定理定理 1. 有限个无穷小的和也是无穷小有限个无穷小的和也是无穷小证（证略）略）说明：说明：(1) 和和 指指 代数和 (2) 无限个无穷小的和不一定是无穷小无限个无穷小的和不一定是无穷小定理定理 2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小推理推理1.常数与无穷小的乘积为无穷小常数与无穷小的乘积为无穷小推理推理2. 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小 例：例：？？—— “ 不定型不定型 ”一般：一般： 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则(P. 43 — 45 定理定理3，推论，推论1，，2)若若 lim f (x) = A , lim g (x) = B 存存在在，，则则 (1) lim [ f (x) ±g (x) ] = lim f (x) ±lim g (x) = A + B.(2) lim f (x) g (x) = lim f (x) lim g (x) = ABC:常数常数对数列对数列{ xn }, { yn } 有类似运算规律有类似运算规律 ( 定理定理4 ) 补定理补定理5 例题讨论例题讨论例例1：：设设多项式多项式解：解：同理，设有理分式函数同理，设有理分式函数P(x),Q(x)均为多项式，均为多项式，Q(x0) ≠0, 例例2：：分子分母同除分子分母同除 x2: 例例3：：(分母为无穷小分母为无穷小,分子极限为常数分子极限为常数)(分子分母均为无穷小分子分母均为无穷小)例例4：： 例例5：：例例6：：？？ 例例7：：同除同除 x :例例8：：同除同除 e x :— 不定型不定型 例例9：：例例10：： 定理定理 6. ( 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 )( 证略证略 )例例1：： 例例2：：例例3：：一般：一般：—— 幂指函数幂指函数—— 不定型不定型 课外作业课外作业习题习题 1 -5 习题习题 1 - 5 (B) 1（双），（双），2，，4 1(双数双数)，，2(双数双数)，，3(单数单数)，，4（双数）（双数） §6. 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限准则准则 I .（（夹逼定理）夹逼定理） 证：证：同时成立，即同时成立，即 例题讨论例题讨论例：求下列极限：例：求下列极限：1.解：解：→0→0则则 2.解：解： 推广到函数极限，相应有推广到函数极限，相应有准则准则 I´ .以下用此准则证明两个重要极限之一以下用此准则证明两个重要极限之一 重要极限重要极限(1)证：证：作作单位圆如图，单位圆如图，∠∠AOB = x x显然：显然：OBCDA两边同除两边同除 sinx :→1→1 = 1.重要极限（重要极限（1）） 例题讨论例题讨论求求下列极限：下列极限：= 1.= 5 . = 1.令令 u = arcsin x , 准则准则 II .单调有界数列必有极限。
单调有界数列必有极限注意：注意：单调有界是数列收敛的充分条件，单调有界是数列收敛的充分条件，但非但非必要条件必要条件以下用此准则证明两个重要极限之一以下用此准则证明两个重要极限之一（证（证略）略） (2) 重要极重要极限限证：证：先先证明证明显然显然 yn > 1,∴∴{yn} ↘ ↘ 又又 y1 = 4 ,{ yn } 为单调有界数列，为单调有界数列，由准则由准则 II，，记其极限值记其极限值 2.71828 …= e又由夹逼定理，又由夹逼定理， 注意：它们的类型都是注意：它们的类型都是 “ 1∞ ” 型 例题讨论例题讨论1 . 求下列极限：求下列极限： 同理：同理： 2. 利用准则利用准则 II 证明证明:并求此并求此极限值证：证：即证即证数列数列 { xn }:单调有界，单调有界，由由数学归纳法：数学归纳法：即数列即数列 { xn } 有界；有界； 现现证证 xn - xn-1 > 0:由准则由准则 II ，， 课堂练习课堂练习求求下列极限：下列极限： 练习解答练习解答：： 课外作业课外作业习题习题1-6(A)1(单数单数)，，2(双数双数)1(双双)、、2（单数）（单数）习题习题 1--6(B) 。