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1、位位 似似本课内容本节内容3.6 如何把一个图形放大或缩小如何把一个图形放大或缩小？下面我们来下面我们来学学习习一种简单可行的方法一种简单可行的方法 动脑筋动脑筋 下图是运用幻灯机（点下图是运用幻灯机（点O表示光源）把幻灯片上表示光源）把幻灯片上的一只小狗放映到屏幕上的示意图，这两个图形之间的一只小狗放映到屏幕上的示意图，这两个图形之间有什么关系有什么关系？ 这两个图形的形状这两个图形的形状相同，但大小不同，它相同，但大小不同，它们是相似图形们是相似图形. 在图中的左边小狗的头顶上和狗尾巴尖上分别在图中的左边小狗的头顶上和狗尾巴尖上分别取点取点A，B. 右边小狗的头顶和狗尾巴尖上的点右边小狗的
2、头顶和狗尾巴尖上的点A，B分别为点分别为点A和点和点B的对应点的对应点. 此时我们会发现点此时我们会发现点A ，A与点与点O在一条直线上，在一条直线上， 点点B ， B与点与点O也在一条直线上也在一条直线上. 分别量出线段分别量出线段OA，OA，OB，OB的长度，计的长度，计算算( (精确到精确到0.1) )： ， . 继续在左、右两只小狗上找出一些对应点，我们继续在左、右两只小狗上找出一些对应点，我们会发现每一对对应点都与点会发现每一对对应点都与点O在一条直线上，且每一在一条直线上，且每一对对应点与点对对应点与点O所连线段的比与上述所连线段的比与上述 ， 的值的值相等相等. 那么称图形那么称
3、图形G与图形与图形G是位似图形，这个是位似图形，这个点点O叫作叫作位似中心位似中心，常数，常数k叫作叫作位似比位似比.结论结论 一般地，取定一个点一般地，取定一个点O，如果一个图形如果一个图形G上每一个点上每一个点P对应于对应于另一个图形另一个图形G上的点上的点P，且满足：，且满足： （1）直线）直线PP经过同一点经过同一点O， （2） 其中其中k 是非零常数，当是非零常数，当k0时，点时，点P在射线在射线 OP上，当上，当k0时，点时，点P在射线在射线OP的反向延长线上的反向延长线上. ， 在上图中，连接在上图中，连接AB， AB，可以得到下图，可以得到下图， 则则AB AB吗吗？议一议议一
4、议议一议议一议议一议议一议 OAB OAB. OAB = OAB. . ABAB.AOB=AOB， 两个图形位似，则这两个图形不仅相似，两个图形位似，则这两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上）平行（或在同一直线上）. .利用位似，可以把一个图形进行放大或缩小利用位似，可以把一个图形进行放大或缩小. .O连接连接OA，OB，OC， 例如，如下图，要把例如，如下图，要把ABC放大放大为原来的为原来的2 2倍，倍，我们可以在三角形外任意取一点我们可以在三角形外任意取一点O，分别在线段分别在线段OA，OB，OC 的延长线的延
5、长线上取点上取点 ， ， ，使得使得CBA依次连接点，依次连接点， ， ，所得到的所得到的 就是所要求的图形就是所要求的图形. .O我我们们也也可可以以分分别别在在线线段段OA，OB，OC的的反反向向延延长长线线上上取点取点 ， ， ，使得，使得 ，依次连接点，依次连接点， ， ，所得到的，所得到的 也是也是所要求的图形，如图所示所要求的图形，如图所示.CBA做一做做一做如图，已知如图，已知ABC外一点外一点O，以点，以点O为位似中心，为位似中心， 将将ABC缩小为原图形的缩小为原图形的 . .O1.1.如图，已知如图，已知DEBC，则，则ADE 与与ABC 是位似图形是位似图形吗？若是，找出
6、它们的位似中心吗？若是，找出它们的位似中心. .练习练习 答：答：ADE 与与ABC 是位似图形，是位似图形， 位似中心是点位似中心是点A.答：答：连结连结AC与与BD，则，则AC与与BD相交于相交于O，在射线，在射线 OA，OB， OC，OD上取上取OA=2OA，OB=2OB，OC=2OC，OD=2OD. 连结连结 则菱形则菱形 即为所求作即为所求作 的图形的图形.（图略）（图略）练习练习2.2.把下图中的菱形把下图中的菱形ABCD放大为原图形的放大为原图形的2倍倍. .DBCA动脑筋动脑筋 如如图图，在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中，已已知知AOB的的顶顶点点坐坐标分别为标分别为A（2
7、，4），O（0，0），B（6，0）.将各个顶点坐标分别扩大为原来的将各个顶点坐标分别扩大为原来的2倍，画出所得到的图形；倍，画出所得到的图形；（1）（2）以点）以点O为位似中心，分别在线段为位似中心，分别在线段OA，OB的延长线的延长线 上取点上取点 ， ，使，使 依次连接点依次连接点 ，O， ，画出所得到的图形，你发现了什么？，画出所得到的图形，你发现了什么？将各顶点的坐标分别都乘将各顶点的坐标分别都乘2，依次得点，依次得点 （4，8），O（0，0）， （12，0）， 如图，依次连接点如图，依次连接点 ，O， ，得到，得到 （1） 由图可知，由图可知，AOB与与AOB是以坐标原点是以坐标原点
8、O为位似中心，位似比为为位似中心，位似比为2的位似图形的位似图形.做一做做一做 如如图图，在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中，已已知知AOB的的顶顶点点坐坐标分别为标分别为A（3，6），O（0，0），B（6，0）.将各个顶点坐标分别缩小为原来的将各个顶点坐标分别缩小为原来的 ，画出所得到的图形；，画出所得到的图形；（1）（2）以点）以点O为位似中心，分别在线段为位似中心，分别在线段OA，OB上取点上取点 ， ， 使使 依次连接点依次连接点 ，O， ，画出所得到，画出所得到 的图形，你发现了什么？的图形，你发现了什么？ 数学上可以证明，一个多边形的顶点坐标分别数学上可以证明，一个多边形的顶点坐
9、标分别扩大或缩小相同的倍数，所得到的图形与原图形是扩大或缩小相同的倍数，所得到的图形与原图形是以坐标原点为位似中心的位似图形以坐标原点为位似中心的位似图形. . 在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，位似比为中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比，那么位似图形对应点的坐标的比等于等于k. .举举例例例例 如下图，如下图，在平面直角坐标系中，已知平行四边在平面直角坐标系中，已知平行四边形形OABC的顶点坐标分别为的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（4，2）， C（1，2）. . 以坐标原点以坐标原点O为位似中心，为位似中心，将平
10、行四边形将平行四边形OABC放大为原图形的放大为原图形的3倍倍. .分析分析 为了将平行四边形为了将平行四边形OABC放大为原图形的放大为原图形的3倍，我们可倍，我们可以将原四边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘以将原四边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘3，或都乘，或都乘- -3. .解 （方法一） 将平行四边形将平行四边形OABC各顶点的坐标分别乘各顶点的坐标分别乘3， 得得O（0，0）， （9，0），（12，6）， （3，6），依次连接点，依次连接点O， ， ， 则四边形即为所要求的图形，如图所示：则四边形即为所要求的图形，如图所示： 将平行四边形将平行四边形OABC各顶点的坐标分别乘各顶点的坐
11、标分别乘- -3， 得得O（0，0）， （- -9，0）， （- -12，- -6）， （- -3，- -6），依次连接点，依次连接点O， ， ， 则四边形则四边形 即为所要求的图形，如图所示：即为所要求的图形，如图所示：（方法二）练习练习 如图，已知正方形如图，已知正方形OABC的顶点坐标依次为的顶点坐标依次为O（0,0）， A（3,0）， B （3,3）， C（0,3）. .（1）在平面直角坐标系中，以坐标原点）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为位似中心，为位似中心， 将正方形将正方形OABC放大为原图形的放大为原图形的2倍；倍；（2）在平面直角坐标系中，以坐标原点）在平面直角坐标系中，以
12、坐标原点O为位似中心，为位似中心，将正方形将正方形OABC缩小为原图形的缩小为原图形的 . .24682468-2-4-6-8-2-4-6-8O1012-9-10-12解解（1）ABC（2）B1A1C1 1. 比例的基本性质有哪些比例的基本性质有哪些？什么是比例线段什么是比例线段？ 2. 平行线分线段成比例的基本事实是什么平行线分线段成比例的基本事实是什么？ 3. 试举例说明什么是相似的图形试举例说明什么是相似的图形. 4. 如何判定两个三角形相似如何判定两个三角形相似？全等三角形相似吗全等三角形相似吗？ 小结与复习小结与复习5. 相似三角形有哪些性质相似三角形有哪些性质？举例说明相似三角形在
13、举例说明相似三角形在 日常生活中的应用日常生活中的应用.6. 举例说明什么叫位似图形举例说明什么叫位似图形. 在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中， 将一个多边形的顶点坐标扩大或缩小后所得到的将一个多边形的顶点坐标扩大或缩小后所得到的 图形与原图形有什么关系图形与原图形有什么关系？比例的基本性质比例的基本性质比例线段比例线段平行线分线段成比例平行线分线段成比例相似图形相似图形相似多边形相似多边形相似三角形相似三角形比例线段比例线段判定判定应用应用位似位似性质性质 1.在判定两个三角形相似时要注意角、边的对应关系在判定两个三角形相似时要注意角、边的对应关系. 全等三角形是相似比为全等三角形是相
14、似比为1的特殊的相似三角形的特殊的相似三角形. 2. 利用相似三角形的知识解决实际问题时，首先要将利用相似三角形的知识解决实际问题时，首先要将 实际问题抽象为数学问题，并通过构造相似三角形实际问题抽象为数学问题，并通过构造相似三角形 来解决，最后对所得的结果做出符合实际意义的解释来解决，最后对所得的结果做出符合实际意义的解释. 3. 位似图形是相似图形的特殊情形位似图形是相似图形的特殊情形. 两个图形位似，则两个图形位似，则 除相似之外，在位置上也有一定的要求：两个位似的除相似之外，在位置上也有一定的要求：两个位似的 图形，其对应顶点的连线都相交于同一点，对应边互图形，其对应顶点的连线都相交于
15、同一点，对应边互 相平行相平行.中考中考 试题试题例例 如图，图中的小方格都是边长为如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，的正方形， ABC与与 是关于点是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上顶点上.（1）画出位似中心点）画出位似中心点O；（2）求出）求出 ABC与与 的位似比；的位似比；（3）以点）以点O为位似中心，再画一个为位似中心，再画一个 A1B1C1，使它与，使它与 ABC的的 位似比等于位似比等于1.5.（1）、（）、（3）的解答如图）的解答如图2所示所示. .（2）因为）因为ABC与与 是位似图形，所以其位似比是位似图形，所以其位似比 实际上就是这两个三角形的相似比实际上就是这两个三角形的相似比. .又由勾股定理又由勾股定理 可得：可得：AC= ， ，所以，所以 ABC与与 的位似比的位似比= = 1 :2.解解图图2图图1结结 束束
