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1、第五章第五章魏玉清卡方测验卡方测验第一节 2的定义和分布卡方测验卡方测验uiN(0,1)n一、一、 2的定义和分布的定义和分布1、连续性资料的、连续性资料的2定义定义： 多个相互独立的正态离差平方值的总和。多个相互独立的正态离差平方值的总和。多个相互独立的正态离差平方值的总和。多个相互独立的正态离差平方值的总和。 卡方测验卡方测验卡方测验卡方测验数量性状数量性状(计数资料计数资料)质量性状质量性状2、次数资料的、次数资料的2定义定义其中：其中：Oi观察次数观察次数 Ei理论次数理论次数 k观察值类型数（或状态数）观察值类型数（或状态数）次数资料次数资料卡方测验卡方测验 2统计量的意义统计量的意
2、义为了便于理解，现结合一实例说明为了便于理解，现结合一实例说明 2 2 ( (读作卡方读作卡方) ) 统计量的意义。根据遗传学理论，动物的性别比例是统计量的意义。根据遗传学理论，动物的性别比例是1:11:1。统计某羊场一年所产的。统计某羊场一年所产的876876只羔羊中，有公羔只羔羊中，有公羔428428只，母羔只，母羔448448只。按只。按1:11:1的性别比例计算，公、母羔均应的性别比例计算，公、母羔均应为为438438只。以只。以A A表示实际观察次数，表示实际观察次数，T T表示理论次数，可表示理论次数，可将上述情况列成表将上述情况列成表5-15-1。表表5.1 5.1 羔羊性别实际
3、观察次数与理论羔羊性别实际观察次数与理论性性别别实际观实际观察次数察次数A A理理论论次数次数T TA-TA-T（A A- -T T）2 2/ /T T公公428428（ A A 1 1）438438（ T T 1 1）-10-100.22830.2283母母448448（A A 2 2）438438（T T2 2）10100.22830.2283合合计计8768768768760 00.45660.4566 卡方测验卡方测验卡方测验卡方测验二、 2 检验的应用 方差同质性测验方差同质性测验 适合性测验适合性测验 独立性检验独立性检验卡方测验卡方测验第二节 方差的同质性检验1、一个样本方差的同
4、质性检验【例【例4.20】（P71）卡方测验卡方测验 例例5.1 硫酸铵施于水田表层试验，得硫酸铵施于水田表层试验，得4个小区的稻谷个小区的稻谷产量为产量为517、492、514、522(kg)，计得样本方差为计得样本方差为175.6(kg)2。现要测验。现要测验H0: 对对HA: ，采用显著水平，采用显著水平 =0.05。据据 可算得：可算得： 查附表查附表4，在，在 v =n1=3时，时， /2和和(1 /2)水平的水平的 临界值为：临界值为： ， 。现。现 ，大，大于于 ，在，在0.229.35范围外，符合范围外，符合H0的概率小的概率小于于0.05，H0被否定。被否定。结论结论:这一样
5、本并非从这一样本并非从 的总体中所抽取的。的总体中所抽取的。卡方测验卡方测验 若测验该样本总体方差是否小于某给定总体方差若测验该样本总体方差是否小于某给定总体方差C，则作一尾测验，即则作一尾测验，即H0： C对对HA： C , 如果算得的如果算得的 ，则否定，则否定H0，否则接受，否则接受H0；这里应用分布的右；这里应用分布的右边一尾。边一尾。 如果测验其是否大于如果测验其是否大于C，则，则H0： C对对HA： C，若，若算得的算得的 ，则否定，则否定H0；这里应用分布的左边一；这里应用分布的左边一尾。尾。卡方测验卡方测验假设两个样本的样本容量分别为n1和n2方差分别为S12和S22 ，总体方
6、差分别为12和22 ，当检验总体方差12和22是否同质时，可用F检验：当FF时，p,接受H0： 12=22，即认为两个样本的方差是同质的；当FF时， p,否定H0，接受HA： 1222，即认为两个样本的方差不是同质的。【例【例4.21】（P71）卡方测验卡方测验第三节 适合性检验一、适合性测验的定义适合性测验适合性测验是指是指根据调查结果测验未根据调查结果测验未知总体是否符合已知理论规律的统计方法。知总体是否符合已知理论规律的统计方法。卡方测验卡方测验二、适合性测验的步骤1 提出提出假设假设:确定显著水平确定显著水平 检验计算检验计算 求卡平方值，然后与标准的卡方值进行比较求卡平方值，然后与标
7、准的卡方值进行比较v=1(即即k=2)时时v2(即即k 3)时时卡方测验卡方测验注意：适合性检验一般为否定区在右尾的测验。注意：适合性检验一般为否定区在右尾的测验。统计推断接受或否定无效假设，并作统计推断接受或否定无效假设，并作出专业上的解释出专业上的解释卡方测验卡方测验 例例:玉米花粉粒中形成淀粉粒或糊精是一对相对性状。玉米花粉粒中形成淀粉粒或糊精是一对相对性状。淀粉粒遇碘呈蓝色反应，因而可以用碘试法直接观察花粉淀粉粒遇碘呈蓝色反应，因而可以用碘试法直接观察花粉粒的分离现象。某项实验观察淀粉质与非淀粉质玉米杂交粒的分离现象。某项实验观察淀粉质与非淀粉质玉米杂交的的F1代花粉粒，经碘处理后有代
8、花粉粒，经碘处理后有3437粒呈蓝色反应，粒呈蓝色反应，3482粒粒呈非蓝色反应。根据遗传学理论可假设玉米花粉粒碘反应呈非蓝色反应。根据遗传学理论可假设玉米花粉粒碘反应为为11，由此可以计得，由此可以计得3437+3482=6916粒花粉中，蓝色反粒花粉中，蓝色反应与非蓝色反应的理论次数应各为应与非蓝色反应的理论次数应各为3459.5粒。设以粒。设以O代表观代表观察次数，察次数，E代表理论次数，可将上列结果列成表代表理论次数，可将上列结果列成表7.2。卡方测验卡方测验表表5.2 玉米花粉粒碘反应观察次数与理论次数玉米花粉粒碘反应观察次数与理论次数碘反碘反碘反碘反应应应应观观观观察次数察次数察次
9、数察次数( (O O) )理理理理论论论论次数次数次数次数( (E E) )O OE E( (O OE E) )2 2/ /E E蓝蓝蓝蓝色色色色3437(3437(O O1 1) )3459.5(3459.5(E E1 1) )22.522.50.14630.1463非非非非蓝蓝蓝蓝色色色色3482(3482(O O2 2) )3459.5(3459.5(E E2 2) )22.522.50.14630.1463总总总总数数数数69196919691969190 00.29260.2926卡方测验卡方测验 此处要推论是否符合此处要推论是否符合11分离，只要看观察次数与理论分离，只要看观察次数
10、与理论次数是否一致，故可用次数是否一致，故可用 测验，可分为四个步骤：测验，可分为四个步骤： （1）设立无效假设，即假设观察次数与理论次数的差）设立无效假设，即假设观察次数与理论次数的差异由抽样误差所引起，即异由抽样误差所引起，即H0：花粉粒碘反应比例为：花粉粒碘反应比例为11与与HA：花粉粒碘反应比例不成：花粉粒碘反应比例不成11。 （2）确定显著水平）确定显著水平 =0.05。 （3）在无效假设为正确的假定下，计算超过观察）在无效假设为正确的假定下，计算超过观察 值值的概率，这可由的概率，这可由 计得计得 值后，按自由度值后，按自由度查附表查附表6得到。试验观察的得到。试验观察的 值愈大，
11、观察次数与理论次值愈大，观察次数与理论次数之间相差程度也愈大，两者相符的概率就愈小。数之间相差程度也愈大，两者相符的概率就愈小。卡方测验卡方测验 （4）依所得概率值的大小，接受或否定无效假设）依所得概率值的大小，接受或否定无效假设 在实际应用时，往往并不需要计算具体的概率值。在实际应用时，往往并不需要计算具体的概率值。 若实得若实得 时，则时，则H0发生的概率小于等于发生的概率小于等于 ，属小，属小概率事件，概率事件，H0便被否定；便被否定； 若实得若实得 时，则时，则H0被接受。被接受。 例如表例如表5.2资料，资料， 查附表查附表4，当，当 时时 =3.84 ，实得，实得 =0.2926小
12、于小于 ，所以接受，所以接受H0。即认为观察次数和理。即认为观察次数和理论次数相符，接受该玉米论次数相符，接受该玉米F1代花粉粒碘反应比率为代花粉粒碘反应比率为11的假的假设。设。 卡方测验卡方测验 例例 大豆花色一对等位基因的遗传研究，在大豆花色一对等位基因的遗传研究，在F2获得表获得表7.3所列分离株数。问这一资料的实际观察比例是否符合于所列分离株数。问这一资料的实际观察比例是否符合于31的理论比值。的理论比值。表表5.3 5.3 大豆花色一大豆花色一对对等位基因等位基因遗传遗传的适合性的适合性测验测验花色花色花色花色F F2 2代代代代实际实际实际实际株数株数株数株数( (O O) )理
13、理理理论论论论株数株数株数株数( (E E) )O OE E| | O OE E | |1/21/2(| (|O OE E| |1/2)1/2)2 2/ /E E紫色紫色紫色紫色208208216.75216.758.758.758.258.250.31400.3140白色白色白色白色818172.2572.258.758.758.258.250.94200.9420总总总总数数数数2892892892890 01.25601.2560卡方测验卡方测验 H0：大豆花色：大豆花色F2分离符合分离符合31比率；比率；HA：不符合：不符合31比率。比率。 显著水平显著水平 =0.05。 由于该资料只
14、有由于该资料只有k=2组，组， ，故在计算，故在计算 值时值时需作连续性矫正。需作连续性矫正。 由由 可得：可得： 查附表查附表6 6， 。现。现 故应接故应接受受H0，说明大豆花色这对性状是符合，说明大豆花色这对性状是符合31比率，即符合一对比率，即符合一对等位基因的表型分离比例。等位基因的表型分离比例。卡方测验卡方测验 分离比例一类的适合性测验计算分离比例一类的适合性测验计算 时，也可以不经过时，也可以不经过计算理论次数，而直接得出计算理论次数，而直接得出(513) 其中，其中，A和和a分别为显性组和隐性组的实际观察次数；分别为显性组和隐性组的实际观察次数；n=A+a，即总次数。本例资料代
15、入，即总次数。本例资料代入(5.13)(5.13)有：有： 与与(712)(712)算得的算得的 值相同。值相同。卡方测验卡方测验 对于仅划分为两组对于仅划分为两组(如显性与隐性如显性与隐性)的资料，如测验其与的资料，如测验其与某种理论比率的适合性，则其某种理论比率的适合性，则其 值皆可用类似值皆可用类似(5.13)的简式的简式求出。这些简式列于表求出。这些简式列于表5.4。表5.45.4 测验两组资料与某种理论比率符合度的 值公式理理理理论论论论比率比率比率比率( ( ( (显显显显性性性性隐隐隐隐性性性性) ) ) ) 公式公式公式公式1 1 1 1(|A-a|-1)(|A-a|-1)2
16、2/n/n2 2 1 1(|A-2a|-1.5)(|A-2a|-1.5)2 2/2n/2n3 3 1 1(|A-3a|-2)(|A-3a|-2)2 2/3n/3n1515 1 1(|A-15a|-8)(|A-15a|-8)2 2/15n/15n9 9 7 7(|7A-9a|-8)(|7A-9a|-8)2 2/63n/63n1313 3 3(|3A-13a|-8)(|3A-13a|-8)2 2/63n/63nr r 1 1|A-ra|-(r+1)/2|A-ra|-(r+1)/22 2/rn/rn卡方测验卡方测验 例例 两对等位基因遗传试验，如基因为独立分配，则两对等位基因遗传试验，如基因为独立分
17、配，则F2代的四种表现型在理论上应有代的四种表现型在理论上应有9331的比率。有一水稻的比率。有一水稻遗传试验，以稃尖有色非糯品种与稃尖无色糯性品种杂交，遗传试验，以稃尖有色非糯品种与稃尖无色糯性品种杂交，其其F2代得表代得表5.55.5结果。试检查实际结果是否符合结果。试检查实际结果是否符合9331的的理论比率。理论比率。表7.5 F2代表型的观察次数和根据9331算出的理论次数表表现现型型稃尖有色稃尖有色非糯非糯稃尖有色稃尖有色糯稻糯稻稃尖无色稃尖无色非糯非糯稃尖无色稃尖无色糯稻糯稻总总数数观观察次数察次数( (O O) )491491767690908686743743理理论论次数次数(
18、 (E E) )417.94417.94139.31139.31139.31139.3146.4446.44743743O OE E73.0673.06-63.31-63.31-49.31-49.3139.5639.560 0卡方测验卡方测验 首先，按首先，按9331的理论比率算得各种表现型的理论的理论比率算得各种表现型的理论次数次数E， 如稃尖有色非糯稻如稃尖有色非糯稻 E=743(9/16)=417.94， 稃尖有色糯稻稃尖有色糯稻 E=743(3/16)=139.31，。 H0：稃尖和糯性性状在：稃尖和糯性性状在F2的分离符合的分离符合9331； HA：不符合：不符合9331。 显著水平
19、：显著水平： =0.05。 然后计算然后计算 值值卡方测验卡方测验 因本例共有因本例共有k=4组，故组，故 =k-1=3。查附表。查附表6， , ,现实得现实得 , ,所以所以否定否定H0，接受接受HA，即该水稻稃尖和糯性性状在，即该水稻稃尖和糯性性状在F2的实际结果不符的实际结果不符合合9331的理论比率。的理论比率。 这一情况表明，该两对等位基因并非独立遗传，这一情况表明，该两对等位基因并非独立遗传，而可能为连锁遗传。而可能为连锁遗传。卡方测验卡方测验 测验实际结果与测验实际结果与93319331理论比率的适合性，也可不经理论比率的适合性，也可不经过计算理论次数而直接用以下简式过计算理论次
20、数而直接用以下简式(514) 上式中的上式中的a1、a2、a3、a4分别为分别为9331比率中各项表现比率中各项表现型的实际观察次数，型的实际观察次数，n为总次数。为总次数。 如本例，可由如本例，可由(714)算得：算得： 前面的前面的 =92.696 =92.696，与此，与此 =92.706 =92.706略有差异，系前略有差异，系前者有较大计算误差之故。者有较大计算误差之故。卡方测验卡方测验实际资料多于两组的实际资料多于两组的 值通式则为：值通式则为：(515)上式的上式的mi为各项理论比率，为各项理论比率，ai为其对应的观察次数。为其对应的观察次数。如本例，亦可由如本例，亦可由(515
21、)算得算得与此一致。与此一致。卡方测验卡方测验第四节 独立性检验一、一、独立性检验的定义独立性检验的定义 根据处理及考察指标的多少分为不同的列联表：根据处理及考察指标的多少分为不同的列联表：独立性检验验独立性检验验又叫又叫次数资料的相依性检验。次数资料的相依性检验。它是检验它是检验两个以上因子彼此之间是相互独立的两个以上因子彼此之间是相互独立的还是相互影响的一种统计分析方法。还是相互影响的一种统计分析方法。卡方测验卡方测验二、独立性测验的步骤注意：独立性检验同样为否定区在右尾的测验。注意：独立性检验同样为否定区在右尾的测验。卡方测验卡方测验 22列联表是指横行和纵行皆分为两组的资料。在作列联表
22、是指横行和纵行皆分为两组的资料。在作独立性测验时，其独立性测验时，其 =(21)(21)=1，故计算，故计算 值时需值时需作连续性矫正。作连续性矫正。 表表5.5 22列联表的一般形式列联表的一般形式一、一、22表的独立性测验表的独立性测验c c1 1c c2 2总和总和r r1 1o o1111o o1212R R1 1 = =o o1111+ + o o1212r r2 2o o2121o o2222R R2 2= =o o2121+ + o o2222总和总和C C1 1 = =o o1111+ + o o2121C C2 2 = =o o1212+ + o o2222T T卡方测验卡方
23、测验 例例 调查经过种子灭菌处理与未经种子灭菌处理的小调查经过种子灭菌处理与未经种子灭菌处理的小麦发生散黑穗病的穗数，得相依表麦发生散黑穗病的穗数，得相依表5.75.7，试分析种子灭菌，试分析种子灭菌与否和散黑穗病穗多少是否有关。与否和散黑穗病穗多少是否有关。表5.7 防治小麦散黑穗病的观察结果处处处处 理理理理 项项项项 目目目目发发发发 病病病病 穗穗穗穗 数数数数未未未未发发发发病穗数病穗数病穗数病穗数总总总总 数数数数种子种子种子种子灭灭灭灭菌菌菌菌 26( 34.7) 26( 34.7) 50( 41.3) 50( 41.3) 76 76种子未种子未种子未种子未灭灭灭灭菌菌菌菌 18
24、4(175.3) 184(175.3) 200(208.7) 200(208.7)384384总总总总 数数数数 210 210 250 250460460卡方测验卡方测验 假设假设H0：两变数相互独立，即种子灭菌与否和散黑穗病：两变数相互独立，即种子灭菌与否和散黑穗病病穗多少无关；病穗多少无关；HA：两变数彼此相关。：两变数彼此相关。 显著水平显著水平 =0.05。 根据两变数相互独立的假定，算得各组格的理论次数。根据两变数相互独立的假定，算得各组格的理论次数。 如种子灭菌项的发病穗数如种子灭菌项的发病穗数O11=26，其理论次数，其理论次数E11=(21076)/460=34.7，即该组格
25、的横行总和乘以纵行总和，即该组格的横行总和乘以纵行总和再除以观察总次数再除以观察总次数( (下同下同) )；同样可算得同样可算得 O12=50 的的 E12=(25076)/460=41.3； O21=184的的E21=(210384)/460=175.3； O22=200的的E22=(250384)/460=208.7。以上各个以上各个E值填于表值填于表5.75.7括号内。括号内。卡方测验卡方测验以上各个以上各个E值代入值代入 有有 这里这里 =(21)(21)=1，查附表，查附表6 6， ，现，现实得实得 ，故，故P0.05，应否定应否定H0。即种子灭。即种子灭菌与否和散黑穗病发病高低有相
26、关，种子灭菌对防治小麦菌与否和散黑穗病发病高低有相关，种子灭菌对防治小麦散黑穗病有一定效果。散黑穗病有一定效果。卡方测验卡方测验 22表的独立性测验也可不经过计算理论次数而直接得表的独立性测验也可不经过计算理论次数而直接得到到 值。值。22表的一般化形式如表表的一般化形式如表5.85.8。按表中的符号按表中的符号表5.8 22表的一般化形式a a1111a a1212R R1 1a a2121a a2222R R2 2C C1 1C C2 2n n(716)如本例各观察次数代入如本例各观察次数代入(716)可得：可得：卡方测验卡方测验二、二、2C表的独立性测验表的独立性测验 2C表是指横行分为
27、两组，纵行分为表是指横行分为两组，纵行分为C3组的相依表资组的相依表资料。料。 在作独立性测验时，其在作独立性测验时，其 =(21)(c1)=c1。由于。由于c3, ,故不需作连续性矫正。故不需作连续性矫正。卡方测验卡方测验 例例5.9 进行大豆等位酶进行大豆等位酶Aph的电泳分析，的电泳分析，193份野生大份野生大豆、豆、223份栽培大豆等位基因型的次数列于表份栽培大豆等位基因型的次数列于表5.9，试分析，试分析大豆大豆Aph等位酶的等位基因型频率是否因物种而不同。等位酶的等位基因型频率是否因物种而不同。表5.9 野生大豆和栽培大豆Aph等位酶的等位基因型次数分布物物物物 种种种种等等等等
28、位位位位 基基基基 因因因因 型型型型总总总总 计计计计1 12 23 3野生大豆野生大豆野生大豆野生大豆 G.sojaG.soja 29(23.66) 29(23.66) 68(123.87)68(123.87) 96(45.47) 96(45.47)193193栽培大豆栽培大豆栽培大豆栽培大豆 G.maxG.max 22(27.34) 22(27.34) 199(143.13)199(143.13) 2(52.53) 2(52.53)223223总总总总 计计计计 51 51 267 267 98 98416416卡方测验卡方测验 H0：等位基因型频率与物种无关；：等位基因型频率与物种无关
29、；HA：两者有关，不：两者有关，不同物种等位基因型频率不同。同物种等位基因型频率不同。 显著水平显著水平 =0.05。 根据根据H0算得各观察次数的相应理论次数：算得各观察次数的相应理论次数：如观察次数如观察次数29的的E=(19351)/416=23.66，观察次数观察次数22的的E=(22351)/416=27.34，；将其填于表将其填于表7.9的括号内。的括号内。 再代入再代入 可得：可得：卡方测验卡方测验 此处此处 =(21)(31)=2。查附表。查附表6， ，现，现 ，P0.05，故应接受，故应接受H0，即不同灌，即不同灌溉方式对水稻叶片的衰老情况没有显著影响。溉方式对水稻叶片的衰老
30、情况没有显著影响。卡方测验卡方测验rc表的一般化形式如表表的一般化形式如表5.12。表5.12 rc表的一般化形式横行因素横行因素横行因素横行因素纵纵纵纵 行行行行 因因因因 素素素素总总总总 计计计计1 12 2i ic c1 1a a1111a a1212a a1 1i ia a1 1c cR R1 12 2a a2121a a2222a a2 2i ia a2 2c cR R2 2j ja aj j1 1a aj j2 2a aji jia ajc jcR Rj jr ra ar r1 1a ar r2 2a ari ria arcrcR Rr r总总总总 计计计计C C1 1C C2 2C Ci iC Cc cn n卡方测验卡方测验由表由表5.12直接计算值的公式：直接计算值的公式：(518)( i=1，2，r；j=1，2，3，c ) 将表将表7.11资料，代入资料，代入(518)有有卡方测验卡方测验作业：作业：P84: 5.1-5.8卡方测验卡方测验
