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1、第五章、旋涡理论第五章、旋涡理论本章讨论内容：1.漩涡场的基本概念（涡线，涡管，漩涡强 度速度环量）2.司托克斯定理3.汤姆逊定理4.海姆霍兹定理5.毕奥沙伐尔定理6.漩涡诱导速度的一般提法7.兰金组合涡 圆柱绕流尾流场中的旋涡有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡圆球绕流尾流场中的旋涡弯曲槽道内的二次流弯曲槽道内的二次流 流体流过固体壁面时，除壁面附近粘性影响严重的一薄层外，其余区域的流动可视为理想流体的无旋运动。 旋涡运动理论广泛地应用于工程实际: 机翼、螺旋桨理论等。旋涡与船体的阻力、振动、噪声等问题密切相关。与压力差、质量力和粘性力等因素有关。旋涡的产生： 流场流场流场流场 涡场涡场涡场涡场流速
2、流速v 流量流量Q 流线流线流线方程流线方程流管流管流束流束元流元流涡量涡量 涡通量涡通量J J 涡线涡线 涡线方程涡线方程涡管涡管涡束涡束涡丝涡丝旋涡运动基本概念旋涡运动基本概念涡量涡量用来描述流体微团的旋转运动。用来描述流体微团的旋转运动。涡线是在给定瞬时和涡线是在给定瞬时和旋转角速度旋转角速度矢量相切的曲线。矢量相切的曲线。涡线的微分方程涡线的微分方程某一瞬时，在漩涡场中任取一封闭曲线某一瞬时，在漩涡场中任取一封闭曲线( (不是涡线不是涡线) )，通过曲线上每一点作涡线，这些涡线形成封闭的，通过曲线上每一点作涡线，这些涡线形成封闭的管形曲面，管形曲面，截面无限小的涡管称为截面无限小的涡管
3、称为微元涡管微元涡管。1 1涡线涡线: :2 2涡管：涡管：3. 3. 涡束：涡束：涡管中充满着的作旋转运动的流体，微元涡管中涡管中充满着的作旋转运动的流体，微元涡管中的涡束称为的涡束称为涡索或涡丝。涡索或涡丝。旋转角速度旋转角速度4 4旋旋涡强度（涡通量）涡强度（涡通量）-通过任一开口曲面的涡量总和的一半通过任一开口曲面的涡量总和的一半 为任意微元面积为任意微元面积d d上的上的旋旋涡强度（涡通量）涡强度（涡通量）为任意面积为任意面积上的上的旋旋涡强度涡强度 如果面积如果面积是涡管的某一横截面积，为是涡管的某一横截面积，为涡管强度涡管强度速度向量的切向分量沿某一封闭周线的线积分。速度向量的切
4、向分量沿某一封闭周线的线积分。规定沿曲线逆时针绕行的方向为正方向，规定沿曲线逆时针绕行的方向为正方向， 沿曲线顺时针绕行的方向为负方向沿曲线顺时针绕行的方向为负方向5 5速度环量速度环量: :对于无旋流场:对于有旋场:速度环量的计算1) 已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量由公式 计算2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量对于无旋场:对于有旋场:此式称为斯托克斯定理 斯斯托托克克斯斯（StokesStokes）定定理理: :在在涡涡量量场场中中，沿沿任任意意封封闭闭周周线线的的速速度度环量等于通过该周线所包围曲面面积的旋涡强度环量等于通过该周线所包围曲面面积的旋涡强度的两倍的两倍，即，即
5、:速度环量与旋转角速度关系给出了通过速度环量计算旋涡强度的方法给出了通过速度环量计算旋涡强度的方法 推广到有限大平面3、复连通区域的修正、复连通区域的修正双连通区域的斯托克斯定理双连通区域的斯托克斯定理：沿外边界逆时针的环量L ：沿内边界顺时针的环量推论一推论一 单连通区域内的无旋运动，流体中的旋度处处为零，则沿任意封闭周线的速度环量为零，即：推论二推论二对于包含一个翼截面在内的双连通区域，如果流动是无旋的，则沿任何两个包含翼截面在内的封闭周线的环量彼此相等，即： 反之，若沿任意封闭周线的速度环量等于零，可得处处为零的结论。 但沿某闭周线的速度环量为零，并不一定无旋（可能包围强度相同转向相反的
6、旋涡）。(与积分路径方向一致时)例5.2 已知速度分布，求涡线方程。=const例5.3 已知漩涡强度, 求速度环量。方法（详见p141）：斯托克斯定理，式（5-1-11）。例5.4 已知速度向量，求绕圆心的速度环量。方法（详见p142）：由速度环量定义，式（5-1-9），直接积分求得。注：最后公式中R平方无必要，但结果正确。旋涡运动基本定理旋涡运动基本定理 ThomsonThomson定理（定理（定理（定理（KelvinKelvin定理）定理）定理）定理） 旋涡强度的保持性定理旋涡强度的保持性定理旋涡强度的保持性定理旋涡强度的保持性定理定理：定理：定理：定理：沿封闭流体线的速度环量不随时间变
7、化沿封闭流体线的速度环量不随时间变化 1. 1. 理想流体理想流体理想流体理想流体 2. 2. 正压流体正压流体正压流体正压流体 ( )( ) 3. 3. 在有势质量力作用下在有势质量力作用下在有势质量力作用下在有势质量力作用下适用条件为：适用条件为：适用条件为：适用条件为：旋涡运动基本定理旋涡运动基本定理 1. 1. 理想流体理想流体理想流体理想流体 2. 2. 正压流体正压流体正压流体正压流体 ( )( ) 3. 3. 在有势质量力作用下在有势质量力作用下在有势质量力作用下在有势质量力作用下Lagrange Lagrange 定理定理定理定理 - - 涡量保持性（不生不灭）定理涡量保持性（
8、不生不灭）定理涡量保持性（不生不灭）定理涡量保持性（不生不灭）定理定理：定理：定理：定理：若某一时刻流场无旋，则以后的流动始终无旋。若某一时刻流场无旋，则以后的流动始终无旋。ThomsonThomson定理和定理和定理和定理和Lagrange Lagrange 定理定理定理定理适用条件为：适用条件为：适用条件为：适用条件为：旋涡起因：旋涡起因：旋涡起因：旋涡起因：(1)(1)粘性：粘性：粘性：粘性：均匀流体经过物体边界层时运动变为有旋；均匀流体经过物体边界层时运动变为有旋；均匀流体经过物体边界层时运动变为有旋；均匀流体经过物体边界层时运动变为有旋；(2)(2)非正压流场：非正压流场：非正压流场
9、：非正压流场：大气和海洋中的密度分层形成旋涡；大气和海洋中的密度分层形成旋涡；大气和海洋中的密度分层形成旋涡；大气和海洋中的密度分层形成旋涡；(3)(3)非有势力场：非有势力场：非有势力场：非有势力场：地球哥氏力使气流生成旋涡（旋风）；地球哥氏力使气流生成旋涡（旋风）；地球哥氏力使气流生成旋涡（旋风）；地球哥氏力使气流生成旋涡（旋风）；(4)(4)流场的间断（非连续）：流场的间断（非连续）：流场的间断（非连续）：流场的间断（非连续）：曲面激波后形成有旋流动。曲面激波后形成有旋流动。曲面激波后形成有旋流动。曲面激波后形成有旋流动。 亥姆霍兹（亥姆霍兹（HelmholtzHelmholtz）定理定
10、理 （1 1）亥姆霍兹第一定理：）亥姆霍兹第一定理：在同一瞬间涡管各截面上在同一瞬间涡管各截面上的的旋涡强度旋涡强度都相同都相同涡管强度空间守恒涡管强度空间守恒由斯托克斯定理因为内所以由斯托克斯定理上式写成由斯托克斯定理上式写成: :由该定理得到：由该定理得到：由该定理得到：由该定理得到：涡管（涡线）本身首尾相接，形成一封闭的涡环或涡圈；涡管（涡线）本身首尾相接，形成一封闭的涡环或涡圈；涡管（涡线）本身首尾相接，形成一封闭的涡环或涡圈；涡管（涡线）本身首尾相接，形成一封闭的涡环或涡圈；涡管（涡线）两端可以终止于所研究流体的边壁上（固体涡管（涡线）两端可以终止于所研究流体的边壁上（固体涡管（涡线
11、）两端可以终止于所研究流体的边壁上（固体涡管（涡线）两端可以终止于所研究流体的边壁上（固体壁面或自由面）。壁面或自由面）。壁面或自由面）。壁面或自由面）。不可能的情况 涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始，否则时有。涡管存在的形式：涡管存在的形式：涡管存在的形式：涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固要么终止于流体边界或固要么终止于流体边界或固要么终止于流体边界或固体边界，要么自行封闭形成涡环。体边界，要么自行封闭形成涡环。体边界，要么自行封闭形成涡环。体边界，要么自行封闭形成涡环。结论：结论：结论：结论：（2 2）亥姆霍兹第二定理（涡管）亥姆霍兹第二定理（涡管保持保持定理）定理） 涡管上的封
12、闭轴线涡管上的封闭轴线（3 3）亥姆霍兹第三定理（涡管强度时间守恒定理）亥姆霍兹第三定理（涡管强度时间守恒定理） 综上所述，综上所述， Thomson 、Lagrange及及Helmholtz定理全面定理全面地描述了理想正压流体在有势场中运动时涡量演化的规律：地描述了理想正压流体在有势场中运动时涡量演化的规律：若流体理想、正压、质量力有势，无旋运动永远无旋，有若流体理想、正压、质量力有势，无旋运动永远无旋，有旋运动永远有旋；涡线、涡面、涡管及涡管强度具有保持旋运动永远有旋；涡线、涡面、涡管及涡管强度具有保持性。若不满足性。若不满足Kelvin任一条件，则运动过程中会产生新的任一条件，则运动过程
13、中会产生新的旋涡，无旋变成有旋；不具备保持性。旋涡，无旋变成有旋；不具备保持性。流场中的涡管始终由相同的流体质点组成。流场中的涡管始终由相同的流体质点组成。任一涡管强度不随时间变化。任一涡管强度不随时间变化。5-5、漩涡诱导速度场的一般提法、漩涡诱导速度场的一般提法泊松方程泊松方程通过上式由漩涡场先求出辅助矢量 ，再求出速度场。4.5.4 Biot4.5.4 BiotSavartSavart定理定理定理定理 涡线的诱导速度涡线的诱导速度涡线的诱导速度涡线的诱导速度电流电流诱导磁场强度诱导磁场强度 旋涡旋涡诱导流体速度。诱导流体速度。 水电比拟水电比拟水电比拟水电比拟: : 物理现象不同，但满足
14、相同的数学方程，其数学解相同。物理现象不同，但满足相同的数学方程，其数学解相同。 电电电电 磁磁磁磁 场场场场 方方方方 程程程程 流场流场流场流场 磁场强度磁场强度 H 磁场势磁场势 V 电流面密度电流面密度 电流强度电流强度 i流体速度流体速度 v 速度势速度势 涡量涡量 速度环量速度环量 Biot-Savart Biot-Savart 定理：定理：定理：定理： 电流诱导磁场强度电流诱导磁场强度电流诱导磁场强度电流诱导磁场强度旋涡诱导流体速度旋涡诱导流体速度旋涡诱导流体速度旋涡诱导流体速度如要研究空间有限长涡丝在如要研究空间有限长涡丝在P点的诱导速度，则将上式积分得：点的诱导速度，则将上式
15、积分得：PS i直涡丝直涡丝诱导速度诱导速度诱导速度诱导速度方向方向方向方向指向纸外。指向纸外。指向纸外。指向纸外。直线涡丝段对直线涡丝段对P点所产生的诱导速度为：点所产生的诱导速度为：直涡丝直涡丝半无限长直涡线半无限长直涡线半无限长直涡线半无限长直涡线( ( 1 1 1 1 = = = = 90909090 ， 2 2= = = = 180 180 ）：）：）：）： 诱诱导导速速度度场场除除点点 r = 0 外外处处处处无无旋旋v=0。尽尽管管涡涡线线本本身身是是有旋的，它诱导的速度场是无旋的。第三章已证明。有旋的，它诱导的速度场是无旋的。第三章已证明。MR无限长直涡线无限长直涡线无限长直涡
16、线无限长直涡线( ( 1 1 = = 0 0 ， 2 2= = 180 180 ） ： 平面点涡诱导速度场：平面点涡诱导速度场：平面点涡诱导速度场：平面点涡诱导速度场：平面点涡诱导速度场的速度势和流函数：平面点涡诱导速度场的速度势和流函数：平面点涡诱导速度场的速度势和流函数：平面点涡诱导速度场的速度势和流函数： 例5.1 如图5-16（p99-100）所示。求两种情况下，两点的运动（位移规律）。方法：由（5-22）式求出两点的速度，在积分即得。（a）积分常数由初始条件(t=0)确定。（b）由于两点速度相反，故为绕原点的圆周运动。5-6、二维旋涡的速度和压强分布、二维旋涡的速度和压强分布 设流场
17、中有一半径为的无限长圆柱形流体象刚体一样绕设流场中有一半径为的无限长圆柱形流体象刚体一样绕其轴线转动，角速度为其轴线转动，角速度为。 例例3.4-53.4-5已证明，圆柱内的流体运动有旋，且旋涡角速度就已证明，圆柱内的流体运动有旋，且旋涡角速度就是是。由于直线涡束无限长，这样的旋涡以及它的诱导速度场可作为由于直线涡束无限长，这样的旋涡以及它的诱导速度场可作为平面涡处理。由于旋涡诱导的速度场是无旋的，在讨论整个流平面涡处理。由于旋涡诱导的速度场是无旋的，在讨论整个流场的速度和压力分布时，亦须将旋涡内部和外部分开。场的速度和压力分布时，亦须将旋涡内部和外部分开。5-6、二维旋涡的速度和压强分布、二
18、维旋涡的速度和压强分布 如图5-17所示，涡束内的流动为有旋流动，称为涡核涡束内的流动为有旋流动，称为涡核区；涡束外的流动区域为无旋流动，称为环流区。区；涡束外的流动区域为无旋流动，称为环流区。 一、速度分布一、速度分布1）旋涡内部：旋涡内部：（5-27）2）旋涡外部：旋涡外部：（5-28）在环流区内，速度分布为在环流区内，速度分布为: : 涡束内部的速度分布为涡束内部的速度分布为: : 上式表明，越靠近中心，速度越大，压力越小。在旋涡的边界上上式表明，越靠近中心，速度越大，压力越小。在旋涡的边界上 ，相应压力为：，相应压力为：二、压力分布二、压力分布1 1）旋涡外部旋涡外部定常且无旋可用拉格
19、朗日积分定常且无旋可用拉格朗日积分在涡束边缘上，流速达该区的最高值，而压强则是该区的最低值在涡束边缘上，流速达该区的最高值，而压强则是该区的最低值. . 由于涡束内部为有旋流动，伯努利积分常数随流线变化，故由于涡束内部为有旋流动，伯努利积分常数随流线变化，故其压强分布可由其压强分布可由欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程导出。对于平面定常流动，欧导出。对于平面定常流动，欧拉运动微分方程为拉运动微分方程为: : 2 2）旋涡外部旋涡外部定常但有旋定常但有旋，伯努力方程中的常数沿径向变化，伯努力方程中的常数沿径向变化将涡核内任意点的速度投影到直角坐标上，则有将涡核内任意点的速度投影到直角坐标上，则有代
20、入上式得代入上式得: :将将 和和 分别乘以以上二式，相加后得分别乘以以上二式，相加后得: : 积分得：积分得：在旋涡边缘处在旋涡边缘处讨论：1、从以上分析可知，从旋涡外部无限远处向旋涡中心接近时，压力不断降低。在中心处为最低，在边缘处则降低一半。2、内外压力和速度的关系不同。外部速度越大压力越小，参见（5-28）和（5-30）式；内部速度越大压力也越大，参见（5-27）和（5-33）式。旋涡内部的压力分布为：旋涡内部的压力分布为：在旋涡中心速度为零，在旋涡中心速度为零，故其相对压力为：故其相对压力为：涡核区边缘至涡核中心涡核区边缘至涡核中心的压强差为的压强差为 由以上讨论可知，涡核区和环流区
21、的压强差相等，由以上讨论可知，涡核区和环流区的压强差相等，其数值均为其数值均为 。涡核区的压强比环流区的的低。涡核区的压强比环流区的的低。在涡束内部在涡束内部, ,半径愈小半径愈小, ,压强愈低，沿径向存在较大的压强愈低，沿径向存在较大的压强梯度，所以产生向涡核中心的抽吸作用，涡旋越压强梯度，所以产生向涡核中心的抽吸作用，涡旋越强，抽吸作用越大。自然界中的龙卷风和深水旋涡就强，抽吸作用越大。自然界中的龙卷风和深水旋涡就具有这种流动特征，具有很大的破坏力。具有这种流动特征，具有很大的破坏力。具有自由表面流场中的铅直方向的圆柱形涡。具有自由表面流场中的铅直方向的圆柱形涡。压力分布：压力分布：重力的
22、影响重力的影响兰金组合涡兰金组合涡r rR R R区域，水面凹区域，水面凹陷与陷与2 2成反比成反比1）旋涡内部，水面的形状）旋涡内部，水面的形状是以回转抛物面。是以回转抛物面。2）旋涡外部，水面的凹陷）旋涡外部，水面的凹陷与半径的平方成反比。与半径的平方成反比。 水面旋涡的涡量在中心附近为最大，向外逐渐水面旋涡的涡量在中心附近为最大，向外逐渐减少，作为一种近似，可认为是由涡量均匀分布的减少，作为一种近似，可认为是由涡量均匀分布的核心部分（称涡核）和其外部的无旋流动两部分所核心部分（称涡核）和其外部的无旋流动两部分所组成。可直接应用本节的结果。组成。可直接应用本节的结果。实际情况：实际情况：
23、兰金组合涡在气象学中常被用作台风中心的物兰金组合涡在气象学中常被用作台风中心的物理模型。理模型。 【例】例】 9. 9. 试证强度为试证强度为 、半径为、半径为a a的圆形线涡在圆的圆形线涡在圆心处的诱导速度为心处的诱导速度为【例】例】 13. 13. 设有水面旋涡由中心的涡核及其外围的无旋运动设有水面旋涡由中心的涡核及其外围的无旋运动两部分组成。已知涡核内的速度分布为两部分组成。已知涡核内的速度分布为外部的无旋运动的速度分布为外部的无旋运动的速度分布为求：求：(1) (1) 涡核的半径；涡核的半径； (2) (2) 旋涡中心水面的下陷深度。旋涡中心水面的下陷深度。【例】【例】 一二维元涡量场，在一圆心在坐标原点、半径一二维元涡量场，在一圆心在坐标原点、半径 的圆区域内，流体的涡通量的圆区域内，流体的涡通量 。若流体微团在。若流体微团在半径半径 处的速度分量处的速度分量 为常数，它的值是多少？为常数，它的值是多少？ 【例】例】已知二维流场的速度分布为已知二维流场的速度分布为 ， ，试求绕试求绕圆圆 的速度环量。的速度环量。
