韩广冰教授的文稿实验误差理论基础ppt课件

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1、实验误差实际根底实验误差实际根底山东大学物理与微电子学院山东大学物理与微电子学院 韩广兵韩广兵绪 论物理实验物理实验 是研讨自然景象、总结物理规律的根本方是研讨自然景象、总结物理规律的根本方法，法， 同时也是验证新实际的必经之路。同时也是验证新实际的必经之路。 物理实验大体分为下面几个步骤： a.要明确实验目的、内容、步骤，经过实验过程察看某些物理景象，丈量某些物理量-察看和丈量； b.测试计量是获得正确实验结果的关键一步，对丈量量-准确记录计量结果； d.实验目的是为了从测得的大量数据中得到实验规律，寻觅各变量间的相互关系-数据处置； c.任何丈量都有误差，应运用误差实际估计判别丈量结果能否

2、可靠-对计量结果误差分析和计算； e.最后写出丈量结果-结果表达。 误差实际根底误差实际根底绪 论主要内容：主要内容：根本概念根本概念物理物理实验和丈量和丈量误差差误差分差分类偶偶尔误差和系差和系统误差差误差差计算算丈量丈量结果的不确定果的不确定度度 数据格式数据格式有效数字有效数字数据数据处置置用最二乘法作直用最二乘法作直线拟合合误 差差 理理 论 基基 础一、一、 物理物理实验和丈量和丈量误差差丈量就是将待丈量与丈量就是将待丈量与选做做规范范单位的物理量位的物理量进展展比比较，得到此物理量的丈量，得到此物理量的丈量值。丈量丈量值必需包括必需包括: :数数值和和单位，如丈量位，如丈量课桌的桌

3、的长度度为1.2534m1.2534m。 丈量的分类： 按丈量方式通常可分为：直接丈量由仪器直接读出丈量结果的叫做直接丈量 如：用米尺丈量课桌的长度，电压表丈量电压等间接丈量由直接丈量结果经过公式计算才干得出结果的叫做间接丈量 如：丈量单摆的振动周期T，用公式求得求得求得ggg按丈量精度通常可分为：按丈量精度通常可分为：按丈量精度通常可分为：按丈量精度通常可分为：n n等精度丈量等精度丈量对对某一物理量某一物理量进进展多次反复丈量，而且展多次反复丈量，而且每次丈量的条件都一每次丈量的条件都一样样( (同一丈量者，同一同一丈量者，同一组仪组仪器，同一器，同一种种实验实验方法，温度和湿度等方法，温

4、度和湿度等环环境也一境也一样样) )。 n n不等精度丈量不等精度丈量在在诸诸丈量条件中，只需有一个丈量条件中，只需有一个发发生了生了变变化，所化，所进进展的丈量。展的丈量。 n n由于丈量方法、丈量由于丈量方法、丈量环环境、丈量境、丈量仪仪器和丈量者的局限性器和丈量者的局限性误误差的不可防止性，待差的不可防止性，待测测物理量的真物理量的真值值同丈量同丈量值值之之间总间总会存在某种差会存在某种差别别，这这种差种差别别就称就称为为丈量丈量误误差，定差，定义义为为n n丈量丈量误误差差= = 丈量丈量值值X X- - 真真值值a)a)n n丈量丈量结结果也果也应应包含丈量包含丈量误误差的差的阐阐明

5、及其明及其优优劣的劣的评评价价n nY=NNY=NN误 差差 理理 论 基基 础误 差差 理理 论 基基 础真值就是与给定的特定量的定义相一致的量值。客观存在的、但不可测得的丈量的不完善呵斥。可知的真值：实际真值-实际设计值、实际公式表达值等 如三角形内角和180度；商定(适用)真值-指定值,最正确值等， 如阿伏加德罗常数, 算术平均值当真值等。二、偶尔误差和系统误差二、偶尔误差和系统误差误误差分差分类类按其性按其性质质和和缘缘由可分由可分为为三三类类: : 系系统误统误差差 偶偶尔误尔误差差( (随机随机误误差差) ) 粗大粗大误误差差误 差差 理理 论 基基 础误 差差 理理 论 基基 础

6、1系统误差：在反复丈量条件下对同一被丈量进展无限多次丈量结果的平均值减去真值 来源：仪器、安装误差；丈量环境误差；丈量实际或方法误差；人员误差-生理或心思特点所呵斥的误差。规范器误差；仪器安装调整不妥规范器误差；仪器安装调整不妥, ,不程度、不程度、不垂直、偏心、零点不准等，如天平不等臂不垂直、偏心、零点不准等，如天平不等臂, ,分光计读数安装的偏心；附件如导线分光计读数安装的偏心；附件如导线 实际公式实际公式为近似或为近似或实验条件实验条件达不到实达不到实际公式所际公式所规定的要规定的要求求 温度、湿度、光照，电磁场等温度、湿度、光照，电磁场等 特点：同一被丈量多次丈量中，特点：同一被丈量多

7、次丈量中，坚持恒定或以可持恒定或以可预知的方知的方式式变化一化一经查明就明就应设法消除其影响法消除其影响误 差差 理理 论 基基 础分类:a.定值系统误差-其大小和符号恒定不变。b. 例如，千分尺没有零点修正，天平砝码的标称值不准确等。 b.变值系统误差-呈现规律性变化。能够随时间,随位置变化。例如分光计刻度盘中心与望远镜转轴中心不重合，存在偏心差 发现的方法的方法 (2)实际分析法- 实际公式和仪器要求的运用条件 规律性变化规律性变化( (一致变大变小一致变大变小) )一定存在着系统误差一定存在着系统误差 (1)数据分析法数据分析法- 察看察看 随丈量次序随丈量次序变化化(3)对比法比法 a

8、.a.实验方法方法 b.b.仪器器 c.c.改改动丈量条件丈量条件 误 差差 理理 论 基基 础处置: 任何实验仪器、实际模型、实验条件，都不能够理想 a. 消除产生系统误差的根源(缘由) b. 选择适当的丈量方法 单摆单摆g=(9.8000.002)m/s2g=(9.8000.002)m/s2；自在落体自在落体g=(9.770.02)m/s2g=(9.770.02)m/s2，其一存在系统误差，其一存在系统误差 如两个电表接入同一电路，对比两个表的如两个电表接入同一电路，对比两个表的读数，如其一是规范表，可得另一表的修读数，如其一是规范表，可得另一表的修正值。正值。 某些物理量的方向、参数某些

9、物理量的方向、参数的数值、甚至换人等的数值、甚至换人等 误 差差 理理 论 基基 础1)交换法-如为了消除天平不等臂而产生的系统误差 2)替代法-如用自组电桥丈量电阻时 3)抵消法-如丈量杨氏模量实验中，取增重和减重时读数的平均值；各种消减系统误差的方法都具有较强的针对性， 都是些阅历型、详细的处置方法! 4)半周期法-如分光计的读数盘相对180设置两个游标，任一位置用两个游标读数的平均值图中角度读数为：游标1读数: 295+132=29513游标2读数: 115+12=11512分光计 读数方法表示图误 差差 理理 论 基基 础2偶尔误差随机误差：丈量结果减去同一条件下对被丈量进展无限多次丈

10、量结果的平均值 来源：仪器性能和丈量者感官分辨力的统计涨落，环境条件的微小动摇，丈量对象本身的不确定性(如气压小球直径或金属丝直径)等 特点：个体而言是不确定的; 但其总体服从一定的统计规律。处置：可以用统计方法估算其对丈量结果的影响规范差，不可修正，但可减小之。下面讲定义: 在一样的条件下，由于偶尔的不确定的要素呵斥每一次丈量值的无规那么的涨落，丈量值对真值的偏离时大时小、时正时负，这类误差称为偶尔误差 误 差差 理理 论 基基 础丈量丈量结果分布果分布规律的估律的估计阅历分布曲分布曲线 f(vi)-vi 丈量列丈量列 xi ， n容量容量对大量数据大量数据处置置时，往往，往往对 i取一个取

11、一个单位位 (尽量小尽量小)，思索思索 i落在第一个落在第一个 ，第二个，第二个 ，第三个，第三个 -的的f( i)，-阅历分布曲分布曲线f(i)- i出出现现的概率的概率正态分布正态分布均匀分布均匀分布三角分布三角分布i (单位)-0.2-0.2-0.1-0.10.00.00.10.10.20.2出现次数出现次数10102020404020201010f (i)f (i)0.10.10.20.20.40.40.20.20.10.1正态分布规律正态分布规律: : 大多数偶尔误差服从正态分布大多数偶尔误差服从正态分布(高斯分布高斯分布)规律规律 特点：特点：1有界性有界性.2单峰性峰性. 3对称

12、性称性.4抵抵偿性性.可以可以经过多次丈量，利用其多次丈量，利用其统计规律到达相互抵律到达相互抵偿随机随机误差，找到真差，找到真值的最正确近似的最正确近似值(又叫最正确估又叫最正确估计值或或最近真最近真值)。误 差差 理理 论 基基 础误 差差 理理 论 基基 础3粗大误差 ：明显超出规定条件下预期的误差来源：运用仪器的方法不正确，大意大意读错、记错、算错数据或实验条件突变等缘由呵斥的坏值。处置：实验丈量中要尽力防止过失错误； 在数据处置中要尽量剔除坏值。实验中的异常中的异常值决不能不加分析地决不能不加分析地统统扔掉扔掉 - -很多惊世很多惊世发现都是超出都是超出预期的期的结果！果！误 差差

13、理理 论 基基 础准确度：用于表述丈量结果的好坏1精细度：表示丈量结果中随机误差大小的程度。 即是指在规定条件下对被丈量进展多次丈量时，所得结果之间符合的程度，简称为精度。2. 正确度：表示丈量结果中系统误差大小的程度。 它反映了在规定条件下，丈量结果中一切系统误差的综合。3.准确度：表示丈量结果与被丈量的“真值之间的一致程度。 它反映了丈量结果中系统误差与随机误差的综合。又称准确度。误 差差 理理 论 基基 础a)精细度低,正确度高(b)精细度高， 正确度低(c)精细度、 正确度和准确度皆高三、丈量结果的不确定度三、丈量结果的不确定度 1 1什么是不确定度什么是不确定度什么是不确定度什么是不

14、确定度丈量丈量丈量丈量结结结结果写成如下方式：果写成如下方式：果写成如下方式：果写成如下方式：y yNN N (1.1)N (1.1)其中其中其中其中y y代表待代表待代表待代表待测测测测物理量，物理量，物理量，物理量，NN为该为该为该为该物理量的丈量物理量的丈量物理量的丈量物理量的丈量值值值值， N N是一个恒正的量，称是一个恒正的量，称是一个恒正的量，称是一个恒正的量，称为为为为不确定度，代表丈不确定度，代表丈不确定度，代表丈不确定度，代表丈量量量量值值值值NN不确定的程度，也是不确定的程度，也是不确定的程度，也是不确定的程度，也是对对对对丈量丈量丈量丈量误误误误差的能差的能差的能差的能够

15、够够够取取取取值值值值的的的的测测测测度，是度，是度，是度，是对对对对待待待待测测测测真真真真值值值值能能能能够够够够存在的范存在的范存在的范存在的范围围围围的的的的估估估估计计计计不确定度和不确定度和不确定度和不确定度和误误误误差是两个不同的概念差是两个不同的概念差是两个不同的概念差是两个不同的概念: :误误误误差是指丈量差是指丈量差是指丈量差是指丈量值值值值与真与真与真与真值值值值之差，普通情况下，由于真之差，普通情况下，由于真之差，普通情况下，由于真之差，普通情况下，由于真值值值值未知，未知，未知，未知，所以它是未知的不确定度的大小可以按一定所以它是未知的不确定度的大小可以按一定所以它是

16、未知的不确定度的大小可以按一定所以它是未知的不确定度的大小可以按一定的方法的方法的方法的方法计计计计算算算算( (或估或估或估或估计计计计) )出来出来出来出来误 差差 理理 论 基基 础2 2丈量结果的含义丈量结果的含义丈量结果的含义丈量结果的含义n n式式 y yNN NN 的含的含义义是是: : 待待测测物理量的真物理量的真值值有一定的有一定的概率落在上述范概率落在上述范围围内，或者内，或者说说，上述范，上述范围围以一定的概以一定的概率包含真率包含真值值这这里所里所说说的的“一定的概率称一定的概率称为为置信概率，置信概率，而区而区间间N-NN-N，N+NN+N那么称那么称为为置信区置信区

17、间间n n在一定的丈量条件下，置信概率与置信区在一定的丈量条件下，置信概率与置信区间间之之间间存在存在单单一的一的对应对应关系：置信区关系：置信区间间越大，置信概率越高，置越大，置信概率越高，置信区信区间间越小，置信概率越低假越小，置信概率越低假设设置信概率置信概率为为100100，其其对应对应的的NN就称就称为为极限不确定度，用极限不确定度，用e e表示，表示，这时这时式式(1.1)(1.1)写做写做n nY YNeNen n 表示真表示真值值一定在一定在N- eN- e，N+ eN+ e中中误 差差 理理 论 基基 础规范差规范差规范差规范差n n用用用用规规范差范差范差范差 来表示来表示

18、来表示来表示NN，这时这时式式式式(1(11)1)写做写做写做写做n nY YNNn n 的大小的大小的大小的大小标标志着丈量列的离散程度，置信概率志着丈量列的离散程度，置信概率志着丈量列的离散程度，置信概率志着丈量列的离散程度，置信概率为为68.368.3其意其意其意其意义义可表示可表示可表示可表示为为: : 待丈量落在待丈量落在待丈量落在待丈量落在N-, N+N-, N+范范范范围围内的能内的能内的能内的能够够性性性性为为68.368.3n n 的大小是如何的大小是如何的大小是如何的大小是如何标标志丈量列的离散程度的志丈量列的离散程度的志丈量列的离散程度的志丈量列的离散程度的? ?n n判

19、判判判别别粗大粗大粗大粗大误误差的差的差的差的33原那么原那么原那么原那么( (奈奈奈奈尔尔、格拉布斯等、格拉布斯等、格拉布斯等、格拉布斯等) )误 差差 理理 论 基基 础n n要完好地表达一个物理量，要完好地表达一个物理量，要完好地表达一个物理量，要完好地表达一个物理量，应该应该有数有数有数有数值值、单单位和不确位和不确位和不确位和不确定度定度定度定度NN三个要素三个要素三个要素三个要素相对不确定度相对不确定度相对不确定度相对不确定度n n为为了比了比较较两个以上丈量两个以上丈量结结果准确度的高低，果准确度的高低，经经常运用常运用相相对对不确定度不确定度这这一概念，其定一概念，其定义为义为

20、n n相相对对不确定度不确定度= =不确定度不确定度/ /丈量丈量值值n n 即即NNN N误 差差 理理 论 基基 础n n用米尺分用米尺分别别丈量丈量课课桌桌长长度度(L=1210.5mm)(L=1210.5mm)和和钢钢笔直笔直径径(d=10.1mm)(d=10.1mm)，它，它们们的丈量极限不确定度均的丈量极限不确定度均为为e=1mme=1mm，比，比较较以上两个丈量以上两个丈量结结果准确度的高低果准确度的高低误 差差 理理 论 基基 础1直接丈量中不确定度的估算 a)多次丈量：在一样条件下对一物理量X进展了n次独立的直接丈量，所得n个丈量值为x1，x2，xn，称其为丈量列，规范不确定

21、度参数：数学期望算术平均值和规范差任一丈量结果的误差落在-x，x范围内的概率为68.3%。 3不确定度的估计方法 误 差差 理理 论 基基 础算术平均值的规范不确定度算术平均值的误差落在 范围内的概率为68.3%。 随随n n的增大而减小，但当的增大而减小，但当n n大于大于1010后，减小速度明后，减小速度明显降低，降低，通常取通常取 5n10 5n10 误 差差 理理 论 基基 础b)b)单次丈量结果规范不确定度的估算：单次丈量结果规范不确定度的估算：e e为为极限不确定度极限不确定度 仪仪器的最大器的最大读读数数误误差差 k k为为分布系数，分布系数，对对于正于正态态分布，分布，k=3,

22、=e/3k=3,=e/3；对对于均匀分布，于均匀分布，k=3,k=3,即即= e/3 = e/3 ；丈量丈量结果的表示果的表示: :意义意义: :真值真值a a落在落在 范围内的概率为范围内的概率为68.3%68.3%。 误 差差 理理 论 基基 础例例1 1 用温度计对某个不变温度等精度丈量数据如表，求丈量结果。用温度计对某个不变温度等精度丈量数据如表，求丈量结果。i i1 12 23 34 45 56 67 78 89 910101111t t (OC(OC) )5285285315315295295275275315315335335295295305305325325305305315

23、31 解:=530.0909 OC=0.5301 OC=0.1000017%=0.6 OC=530.1 OC=0.11%(2)(2)间接丈量结果不确定度的估计：间接丈量结果不确定度的估计： 设间接丈量接丈量N=fN=fx x，y y，zz量量值：规范不确定度：范不确定度：误 差差 理理 论 基基 础相对不确定度：相对不确定度：丈量丈量结果的表示果的表示计算算顺序：序：计算公式以加减运算算公式以加减运算为主，先算主，先算规范，再算相范，再算相对不确定度；不确定度；计算公式以乘除或乘方运算算公式以乘除或乘方运算为主，先算相主，先算相对，再算，再算规范不确范不确 定度定度误 差差 理理 论 基基 础

24、不确定度常用公式不确定度常用公式不确定度常用公式不确定度常用公式N=xk (kN=xk (k为常数为常数) )eN=|k|exeN=|k|exN=|k|xN=|k|xN=kx(kN=kx(k为常数为常数) )N=xyN=xy或或N=x/yN=x/yeN=ex+eyeN=ex+eyN=x yN=x y算数合成方式算数合成方式方和根合成方式方和根合成方式函数表达式函数表达式误 差差 理理 论 基基 础误 差差 理理 论 基基 础例例2 测某立方体钢材的长宽高为测某立方体钢材的长宽高为 l, b, h 如表，资料的密度如表，资料的密度p=7.86gcm-3 求其质量求其质量m。1 12 23 34

25、45 5平均值平均值l i (mm)l i (mm)1483.71483.71483.81483.81483.91483.91484.11484.11484.01484.01483.91483.9b i b i (mm)(mm)471.2471.2471.4471.4471.3471.3471.1471.1471.0471.0471.2471.2h i h i (mm) (mm) 23.123.123.223.223.323.323.023.023.423.423.223.2解：m=plbh=0.00501mm2=127.503013kg=0.02158=0.275157kg有有 效效 数数

26、字字 及及 其其 运运 算算四、有效数字1.1.概念概念 数字分数字分类类：完全准确数字；有效数字。：完全准确数字；有效数字。有效数字的构成(读取)：准确部分+一位非准确部分(误差所在位)。 (I)物体长度L估读为4.27cm或4.28cm (II)右端恰好与15cm刻度线对齐,准确数字为“15.0，再加上估读数“0，那么物体长度L的有效数字应记为15.00cm 估计值，普通为最小分度值的1/10的整数倍位数无限多，如1/3，等 位数有限，如0.333，3.14159等 有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算有效数字位数的特点：有效数字位数的特点：a.a.位数与位数与仪仪器最小分度器最

27、小分度值值有关，与被丈量的大小也有关；有关，与被丈量的大小也有关；如用最小分度如用最小分度值0.01mm0.01mm的千分尺丈量的的千分尺丈量的长度度读数数为 8.344mm8.344mm，用最小分度，用最小分度值为0.02mm0.02mm的游的游标卡尺来丈量，卡尺来丈量，其其读数数为 8.34mm 8.34mm。b.b.位数与小数点的位置位数与小数点的位置 单单位位 无关；无关；如重力加速度如重力加速度9.80m9.80ms2s2，0.00980km0.00980kms2 s2 或或 980cm980cms2, 9.80x103mms2, 9.80x103mms2 s2 都是三位有效数字都是

28、三位有效数字c.c.位数粗略反映丈量的位数粗略反映丈量的误误差差. .位数越多，丈量的相位数越多，丈量的相对误差就越小差就越小, , 如如8.344mm8.344mm， 8.34mm 8.34mm的相的相对误差差, ,不要写成不要写成9800 mm/s2 9800 mm/s2 有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算原那么：五下舍，五上入，整五凑偶。如保管四位有效数字如保管四位有效数字: :3.1423.1422.7172.7174.5104.5103.2163.2166.3796.3793.141593.141592.717292.717294.510504.510503.215503

29、.215506.37850l6.37850l7.6914997.6914997.6917.691丈量丈量误差的有效位数：修差的有效位数：修约原那么原那么-只入不舍只入不舍相相对不确定度不确定度-两位，如两位，如E=0.0010023修修约为0.11%绝对不确定度不确定度-一位，当一位，当为1或或9时，可以保管两位。，可以保管两位。如：如：0.001230.00123写写为0.00130.0013，0.09620.0962写写为0.100.10。拟舍的第一位数字为拟舍的第一位数字为5 5，其后无数字或皆为其后无数字或皆为0 0 保管末位为奇数保管末位为奇数, , 加加1 1，保管末位为偶数保管末

30、位为偶数, , 不变不变 2 2 有效数字的修有效数字的修约约有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算3. 3. 有效数字运算有效数字运算: :规那么那么: : 准确数字与准确数字的运算准确数字与准确数字的运算结果仍果仍为准确数字，准确数字，准确数字与非准确数字或非准确数字与非准确数字的运准确数字与非准确数字或非准确数字与非准确数字的运算算结果果为非准确数字。运算非准确数字。运算结果只保管一位非准确数字。果只保管一位非准确数字。(1)加减法加减法 结果的非准确位与参与运算的一切数字中非准确位数果的非准确位与参与运算的一切数字中非准确位数值最最大者一大者一样(2)乘除法乘除法 结果的位数与

31、一切参与运算的数字中有效数字位数最少果的位数与一切参与运算的数字中有效数字位数最少的一的一样(3)(3)乘方开方乘方开方 结果的位数与相果的位数与相应的底数的位数一的底数的位数一样如如674.6-21.3542674.6-21.3542的的结果果取取为653.2653.2如如23.4*2623.4*26的的结果取果取为6.1*102 6.1*102 如如23.4223.42的的结果取果取为548 548 有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算(4)(4)对数数 结果的位数与真数的位数一果的位数与真数的位数一样(5)(5)三角函数三角函数角度误差角度误差10 10 1 1 0.1 0.1

32、 0.01 0.01 选择位数选择位数5 56 67 78 8以上方法以上方法对少量数据运算可用少量数据运算可用, 运算运算过程中可多保管位程中可多保管位数。数。对大量数据用大量数据用统计方法方法处置置.如如 ln23.4的的结果取果取为3.15 如如sin(16O2512)sin(16O2512)的的结果果取取为0.282676 0.282676 有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算4. 4. 丈量最终结果的有效数字：丈量最终结果的有效数字：结果的果的规范不确定度求出并修范不确定度求出并修约后，丈量量后，丈量量结果的最后果的最后位与位与规范不确定度范不确定度对齐，丈量量，丈量量结果

33、按四舍五入的原那果按四舍五入的原那么修么修约。如由公式求得的如由公式求得的杨氏模量氏模量 Y=2.182641011(kg/m2) Y=2.182641011(kg/m2)， 求得求得规范不确定度范不确定度为 Y=0.02318641011(kg/m2) Y=0.02318641011(kg/m2)。那么根据上述那么根据上述规那么，最那么，最终结果果为Y=(2.180.03)1011(kg/m2)Y=(2.180.03)1011(kg/m2) E=1.4% E=1.4% 有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算(1)加减法加减法求求N=X+Y+Z，其中，其中X=(98.70.3)cm，Y

34、=(6.2380.006)cm， Z=(14.360.08)cm (2)乘除法乘除法 求立方体体求立方体体积V，其中，其中L=(22.4550.002)mm，H=(90.350.03)mm， B=(279.680.05)mm 五、举例：五、举例：解解: N=X+Y+Z=98.7+6.238+14.36= 119.298 (cm) 所以所以 N=(119.3 0.4) (cm)所以所以 V=(56743)*102 mm3 =219.866 mm3有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算(3)(3)指数指数 求求exex，知，知 x=7.850.05 x=7.850.05故故 ex = ex

35、 =2.570.132.570.13103 103 (4)(4)三角函数三角函数- - 知知x = 38241x = 38241，求，求sinx sinx sin3824= 0.62114778 sin3824= 0.62114778 所以所以 sin3824= 0.6211 0.0003 sin3824= 0.6211 0.0003 (5)(5)对数对数- - 知知x = 65.48x = 65.48，求，求lnx lnx lnx = ln65.48= 4.18174475d(lnx)/dx=1/x -d(lnx)/dx=1/x - (1nx) =x/x= 0.1/65.48=0.002 (

36、1nx) =x/x= 0.1/65.48=0.002 所以所以 lnx = 4.182 0.002有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算必需指出，丈量必需指出，丈量结果的有效数字位数取决于丈量，而果的有效数字位数取决于丈量，而不取决于运算不取决于运算过程。因此在运算程。因此在运算时，尤其是运用，尤其是运用计算算器器时，不要随意，不要随意扩展或减少有效数字位数，更不要以展或减少有效数字位数，更不要以为算出算出结果的位数越多越好。果的位数越多越好。 数数 据据 处 理理 方方 法法实验的数据处置不单纯是数学运算，而是要以一定的物实验的数据处置不单纯是数学运算，而是要以一定的物理模型为根底，

37、以一定的物理条件为根据，经过对数据理模型为根底，以一定的物理条件为根据，经过对数据的整理、分析和归纳计算，得出明确的实验结论。的整理、分析和归纳计算，得出明确的实验结论。1 列表法列表法- 记录数据数据时，把数据列成表格，把数据列成表格要求要求(1)(1)表格表格设计合理合理; ; (2) (2)标题栏中写明各物理量的符号和中写明各物理量的符号和单位位; ; (3) (3)表中所列数据要正确反映丈量表中所列数据要正确反映丈量结果的有效数字；果的有效数字； (4) (4)实验室室给出的数据或出的数据或查得的得的单项数据数据应列在表格列在表格的上部的上部 m (g)t1 (s)t2 (s)t3 (

38、s)5.0010.0015.00 如：如： r =2.50cm , h = cm r =2.50cm , h = cm六、数据处置六、数据处置数数 据据 处 理理 方方 法法2 图示法图示法-将数据之间的关系或其变化情况用图将数据之间的关系或其变化情况用图线直观地表示出来线直观地表示出来优点：物理量之点：物理量之间的的变化化规律；律； 内插法求内插法求值； 外推法求外推法求值。缺陷：三个及其以上的缺陷：三个及其以上的变量不适用；量不适用； 绘图时易引入人易引入人为误差。差。作作图步步骤 ： 选用适宜的坐用适宜的坐标纸 坐坐标轴的比例与的比例与标度度a.a.用粗用粗实线描出坐描出坐标轴( (箭箭

39、头) )，横，横轴代表自代表自变量量, ,纵轴代表因代表因变量，量，标明物理量称号明物理量称号( (或符号或符号) )及及单位。位。数数 据据 处 理理 方方 法法b.b.原那么上，坐原那么上，坐标中的最小格中的最小格对应丈量丈量值可靠数字可靠数字的最后一位，可根据情况的最后一位，可根据情况选择这一位的一位的“1“1、“2“2或或“5“5倍倍c.c.坐坐标轴的起点不一定从零开的起点不一定从零开场，标度用整数，不度用整数，不用丈量用丈量值。 标实验点点a.a.以以“+“+、“、 “ “、 “ “等符号等符号标出出实验点，丈量数据落在所点，丈量数据落在所标符号的中心，大小适中。符号的中心，大小适中

40、。制止用制止用“ “ b.b.一条一条实验曲曲线用同一种符号。用同一种符号。 连图线拟合合线a.a.把点把点连成直成直线或光滑曲或光滑曲线；不要无限延伸；不要无限延伸b.b.要求数据点均匀地分布在要求数据点均匀地分布在图线两旁，两旁，连线要要细而明晰而明晰数数 据据 处 理理 方方 法法(5) 注讲解明注讲解明a.图形的意形的意义、数据来源、所用公式等、数据来源、所用公式等b.图线的称号、的称号、实验日期、日期、实验者等者等图解法解法-求直求直线的斜率和截距的斜率和截距 (y=a+bx )在在图线上丈量范上丈量范围内接近两端取两相距内接近两端取两相距较远的点，的点，如如P1(x1，y1)和和P

41、2(x2，y2)(不同于不同于实验点点),用不同于用不同于实验点的符号点的符号阐明明数数 据据 处 理理 方方 法法图示法举例图示法举例 在在刚体体转动实验中，当中，当坚持塔持塔轮半径半径r r不不变的情况下，的情况下，悬挂砝挂砝码质量量m m与下落与下落时间t t的关系的关系为 m与与1/t2成成线线性关系性关系其中 r = 2.50 cm h = 89.50 cm 测出一出一组m m 1/t21/t2值, ,作出它作出它们关系曲关系曲线, ,求出斜率求出斜率K1K1即即可得到可得到I1 I1 数数 据据 处 理理 方方 法法OOO作图：作图：选坐标纸；选坐标纸；坐标轴的比坐标轴的比例与标度

42、；例与标度；标实验点；标实验点；连图线；连图线；注讲解明注讲解明数数 据据 处 理理 方方 法法求直线的斜率和截距在图线上丈量范围内接近两端任取两相距较远的点，如P1(x1，y1)和P2(x2，y2)(不同于实验点),用不同于实验点的符号标明 P1x1, y1=(5.0010-3, 6.02)， P2 (x2, y2)=(36.0010-3, 34.30) C1=1.65g 延伸与Y 轴交点；由P1，P2的坐标值；取第三点。数数 据据 处 理理 方方 法法3 逐差法 - 充分利用丈量数据减小丈量误差两个条件： 函数具有y=a+bx的线性关系(或代换后是线性 自变量x是等间距变化的,丈量次数为偶

43、数如: 杨氏模量, 等数数 据据 处 理理 方方 法法4 线性回归方程法 根据实验数据用函数解析方式求出阅历公式，既无人为要素影响，也更为明确和快捷,这个过程称为回归分析a.函数关系曾函数关系曾经确定，但式中的系数是未知的，利确定，但式中的系数是未知的，利用丈量的用丈量的n对(xi，yi)值，确定系数的最正确估，确定系数的最正确估计值。b.第二第二类问题是是y和和x之之间的函数关系未知，需求从的函数关系未知，需求从n对(xi，yi)丈量数据中丈量数据中寻觅出它出它们之之间的函数关系的函数关系式。式。只只讨论第一第一类问题中的最中的最简单的函数关系，即一元的函数关系，即一元线性方程的回性方程的回

44、归问题( (或称直或称直线拟合合问题) ) 数数 据据 处 理理 方方 法法一元线性回归一元线性回归假假设知函数的方式知函数的方式(最正确最正确阅历)为 y=a+bx 实验测得数据得数据xi，yi , i=1,2,n由由 n 对xi，yi 求求a，b 使使 (yi)2 最小最小-最小二乘法最小二乘法 (P7) 其中 y = y y = y( a + bx) 对应于每一个于每一个x x值，观测值 y y和最正确和最正确阅历公式的公式的 y y 值之之间存在一个偏向存在一个偏向y y 数数 据据 处 理理 方方 法法相关系数来判别回归分析的合理性| - 1， 线性回性回归是合理的是合理的; | -

45、 0， 不宜用不宜用线性回性回归. 其中：其中：数数 据据 处 理理 方方 法法例例3 用用X射射线检查合金合金铸件，透件，透视电压U与与铸件的厚度件的厚度x的的 数据如表，求数据如表，求Ux的的阅历公式，并作相关性公式，并作相关性检验。 察看可察看可见，表中，表中x与与U呈呈现比比较显著的著的线性关系性关系,设U=a+bx解：(1)计计算平均算平均值值Xi(mmXi(mm) )12.012.013.013.014.014.015.015.016.016.018.018.020.020.022.022.024.024.026.026.0Ui(kV)Ui(kV)52.052.055.055.05

46、8.058.061.061.070.070.065.065.075.075.080.080.085.085.091.091.0(3)(3)相关性相关性检验(2)(2)回归系数回归系数可可见，U U与与x x的的线性相关性是很高的。性相关性是很高的。数数 据据 处 理理 方方 法法数数 据据 处 理理 方方 法法曲线改直对非线性关系变量进展变量代换，使新变量成为线性关系对非线性关系变量进展变量代换，使新变量成为线性关系, 可以用线性回归、图解法、逐差法来处置。可以用线性回归、图解法、逐差法来处置。Y=aex+b, 令令ex=Z , 那么那么y=az+b y=ae bx， lny=lna+bx 令令lny=y，lna=a0，y=a0+bxy=a/x, 令令z=1/x, 那么那么y=azT2 看做一个变量y，那么y(即T2)与m成线性关系 谢谢!