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1、导数的几何意义导数的几何意义回顾回顾平均变化率平均变化率函数函数函数函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为的定义域为的定义域为D,xD,xD,xD,x1.1.1.1.x x x x2 2 2 2D,f(x)D,f(x)D,f(x)D,f(x)从从从从x x x x1 1 1 1到到到到x x x x2 2 2 2平均变化率为平均变化率为平均变化率为平均变化率为: : : :割线割线的斜率的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y回顾回顾我们把物体在某一时刻的速度称为我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度瞬时
2、速度.从从函函数数y=f(x)在在x=x0处处的的瞬瞬时时变变化化率率是是: 由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处处的导数的基本方法是的导数的基本方法是:注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负. 自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x选择选择 哪种形式哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.回顾回顾y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy如图：如图：PQ叫做曲线的割线叫做曲线的割线 那么，它们的那么，它们的 横坐标相差（横坐标
3、相差（ ） 纵坐标相差（纵坐标相差（ ） 导数的几何意义: 斜率斜率当当Q点沿曲线靠近点沿曲线靠近P时，割线时，割线PQ怎么变化？怎么变化？x呢？呢？y呢？呢？PQoxyy=f(x)割割线线切线切线T导数的几何意义: 我们发现我们发现,当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PQ如果有一个极限位置如果有一个极限位置PT.则我则我们把直线们把直线PT称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线切线. 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那那么当么当x0时时,割线割线PQ的斜的斜率率,称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切切线的斜率线的斜率.即即:这个概念这个概念: 提供了求曲
4、线上某点切线的斜率的一种方法提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数.PQoxyy=f(x)割割线线切切线线T注意：曲线与直线相切，并不一定注意：曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。只有一个公共点。例例1:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程的基本步骤的基本步骤:求出求出P点的坐标点的坐标;利用切线斜率的定义求利用切线斜率的定义
5、求 出切线的斜率出切线的斜率;利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.练习练习:如图已知曲线如图已知曲线 ,求求:(1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率; (2)点点P处的切线方程处的切线方程. yx-2-112-2-11234OP即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.在不致发生混淆时，在不致发生混淆时，导函数导函数也简称也简称导数导数函数导函数函数导函数 由函数由函数f(x)在在x=x0处求导数的过程可以看到处求导数的过程可以看到,当当时时,f(x0) 是一个确定的数是一个确定
6、的数.那么那么,当当x变化时变化时,便是便是x的一个函数的一个函数,我们叫它为我们叫它为f(x)的导函数的导函数.即即: 如何求函数如何求函数y=f(x)的导数的导数?函数导函数函数导函数函数导函数函数导函数（3）函数函数函数函数f(x)f(x)在点在点在点在点x x0 0处的导数处的导数处的导数处的导数 就是导函数就是导函数就是导函数就是导函数 在在在在x=xx=x0 0处的函数值处的函数值处的函数值处的函数值，即，即 。这也是。这也是 求函数在点求函数在点x0处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。 课堂小结课堂小结:（2）函数的导数函数的导数函数的导数函数的导数，是指某一区间内任意点，是
7、指某一区间内任意点x而言的而言的, 就是函数就是函数就是函数就是函数f(x)f(x)的导函数的导函数的导函数的导函数 。（1）函数在一点处的导数函数在一点处的导数函数在一点处的导数函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个它是一个它是一个它是一个 常数常数常数常数，不是变数。，不是变数。1、弄清、弄清“函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数”、“导函数导函数”、“导数导数” 之间的区别与联系。之间的区别与联系。（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的的切线的斜率切线的斜率切线的斜率切线的斜率。（2）根据直线方程的）根据直线方程的点斜式写出切线方程点斜式写出切线方程点斜式写出切线方程点斜式写出切线方程，即，即2.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：课堂小结课堂小结:
