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1、 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, 以函数以函数 y=f(x) 中的中的 x 为横坐标为横坐标, 函数函数值值 y 为纵坐标的点为纵坐标的点 (x, y) 的集合的集合, 叫做函数叫做函数 y=f(x) 的图象的图象. 一、函数的图象一、函数的图象 注注: 图象上每一点的坐标图象上每一点的坐标 (x, y) 均满足函数关系均满足函数关系 y=f(x), 反过反过来来, 满足满足 y=f(x) 的每一组对应值的每一组对应值 x, y 为坐标的点为坐标的点 (x, y), 均在其图均在其图象上象上. 二、基本步骤二、基本步骤1.讨论函数的定义域及函数的基本性质；讨论函数的定义域及函数的基本性
2、质； 2.如果函数的图象与图象变换有关如果函数的图象与图象变换有关, 应考虑用图象变换作应考虑用图象变换作出图象；出图象； 3.作函数的图象必须准确描出关键的点线作函数的图象必须准确描出关键的点线( (如图象与如图象与 x, y 轴轴的交点的交点, 极值点极值点, 对称轴对称轴, 渐近线等渐近线等) ). 描点法作函数图象是根据函数解析式描点法作函数图象是根据函数解析式, 列出函数中列出函数中 x, y 的的一些对应值表一些对应值表, 在坐标系内描出点在坐标系内描出点, 然后用平滑的曲线将这些然后用平滑的曲线将这些点连接起来点连接起来. 利用这种方法作图时利用这种方法作图时, 要与研究函数的性
3、质结合要与研究函数的性质结合起来起来. 1.描点法描点法 函数图象的画法有两种常见的方法函数图象的画法有两种常见的方法: 一是一是描点法描点法; 二是图象变换法二是图象变换法.三、函数图象的画法三、函数图象的画法2.图象变换法图象变换法常用变换方法有三种常用变换方法有三种: 平移变换平移变换; 伸缩变换伸缩变换; 对称变换对称变换.(1)平移变换平移变换: 由由 y=f(x) 的图象变换得的图象变换得 y=f(x+a)+b 的图象的图象.沿沿 x 轴向左平移轴向左平移 (a0) 或或 向向右平移右平移 (a0) 或或 向下平移向下平移 (b0, A 1, 0, 1) )的的图图象象.y=f(x
4、) y=f( x); 纵坐标伸长纵坐标伸长( (A1) )或或 缩短缩短( (0A1) )或或 伸长伸长( (0 1) )到原来的到原来的 ( ( y 不变不变) ) 1 y=f(x) 与与 y=f(- -x) y=f(x) 与与 y= - -f(x) y=f(x) 与与 y= - -f(- -x)关于关于 y 轴对称轴对称关于关于 x 轴对称轴对称关于原点对称关于原点对称 y=f(x) 与与 y=f(|x|) y=f(x) 与与 y=|f(x)| 保留保留 y 轴右边图象轴右边图象, 去掉左边图象去掉左边图象, 再作关于再作关于 y 轴的对称图象轴的对称图象. 保留保留 x 轴上方图象轴上方
5、图象, 将将 x 轴下方图轴下方图象翻折上去象翻折上去.课堂练习课堂练习1.函数函数 y=2- -x 的图象向左平移的图象向左平移 2 个单位得函数个单位得函数 的图象的图象. 2.将函数将函数 y=tan|x| 的图象向右平移的图象向右平移 2 个单位得函数个单位得函数_的图象的图象. 3.函数函数y=log2(3x- -1)的图象左移的图象左移2个单位得函数个单位得函数_ 的图象的图象. 4.将函数将函数 y=(x- -2)3 的图象各点的横坐标伸长到原来的的图象各点的横坐标伸长到原来的 3 倍倍( (纵纵坐标不变坐标不变) )得到函数得到函数_的图象的图象.y=2- -(x+2)y=ta
6、n|x- -2|y=log2(3x+5)y=( x- -2)3 13练习练习.若若 1x3, a 为何值时为何值时, x2- -5x+3+a=0 有两解有两解, 一解一解, 无解无解? 解解: 原方程即为原方程即为 a=- -x2+5x- -3 (1) 作出函数作出函数 y=- -x2+5x- -3( (1x3) )的图象的图象, 显然该显然该图象与直线图象与直线 x=a 的交点的横坐标是方程的交点的横坐标是方程 (1) 的解的解. 由由图象知图象知: 当当 3a 时时, 原方程有两解原方程有两解; 413当当 1 时时, 原方程无解原方程无解. 413123xy13o413y=a 四、函数图
7、象的对称性四、函数图象的对称性对于函数对于函数 y=f(x), 若对定义域内的任意若对定义域内的任意 x 都有：都有： f(a- -x)=f(a+x)( (或或 f(x)=f(2a- -x) ), 则则 f(x) 的图象关于的图象关于直线直线 x=a 对称对称; f(a+ +x)=f(b-x), 则则 f(x) 的图象关于的图象关于直线直线 x= 对称对称;练习练习3.设函数设函数 f(x)=x3+2x2, 若函数若函数 g(x) 的图象的图象与与 f(x) 的图象关于点的图象关于点 (2, 1) 对称对称, 求求 g(x) 的解的解析式析式.解解: 设设 P(x, y) 是是 g(x) 图象
8、上任意一点图象上任意一点, P 关于点关于点 (2, 1) 的对称的对称 点为点为 Q(u, v), 则由已知则由已知 v=u3+2u2 , 且有且有:代入代入得得 2- -y=(4- -x)3+2(4- -x)2. 整理得整理得 y=x3- -14x2+64x- -94.y+v 2=1. x+u 2=2, u=4- -x, v=2- -y. 即即 g(x)=x3- -14x2+64x- -94.例题例题5.方程方程 lgx=sinx 的实根的个数是的实根的个数是 .3 52oyx练习练习1.设奇函数设奇函数 f(x) 的定义域为的定义域为-5, 5 , 若当若当x0, 5 时时, f(x)的
9、图象如右图所示的图象如右图所示. 则不等式则不等式 f(x)1 时时, 在同一坐标系中在同一坐标系中, 函数函数 y=a- -x 与与 y=logax 的图象的图象是是( )A B C D 练习练习2.向高为向高为 H 的水瓶中注水的水瓶中注水, 注满为止注满为止, 如果注水量如果注水量 V 与水与水深深h 的函数关系的图象如右图所示的函数关系的图象如右图所示, 那么水瓶的形状是那么水瓶的形状是( )hVHA B C D B A o12xy- -2 - -1- -11练习练习4.已知函数已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象的图象 如图所示如图所示, 则则 ( ) A. b (-
10、 -, 0) B. b (0, 1) C. b (1, 2) D. b (2, +) A 解析解析: 根据图象提供的信息根据图象提供的信息, 可以发现以下关系及规律可以发现以下关系及规律: f(0)=0, 即即 d=0; f(1)=0, 即即 a+b+c=0; f(2)=0, 即即 8a+4b+2c=0; f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x- -1)(x- -2); 当当 x (-, 0)(1, 2) 时时, f(x)0, 有有 f(- -1)0, 即即 - -a+b- -c0, 有有 f(3)0, 得得 a0. 法一法一: 由由 , 解得解得: b=- -3a, 又由又由 知知:
11、a0, b0. 法二法二: + 得得: 2b0, b0, b0.法四法四: 由由, 取特殊函数取特殊函数: f(x)=x(x- -1)(x- -2), 得得: b=- -30.练习练习5.对于正整数对于正整数 k, 若关于若关于 x 的方程的方程 (x- -2k)2=ax 在区间在区间 ( (2k- -1, 2k+1 上有两个不相等的实根上有两个不相等的实根, 求求 a 的取值范围的取值范围.解解: 设设 f(x)=(x - -2k)2 ( (x(2k - -1, 2k+1), f(x) 的图象是以的图象是以 A(2k - -1, 1) 及及 B(2k+1, 1) 为端点为端点, 顶点顶点为为
12、 (2k, 0) 的一段抛物线的一段抛物线.f(2k - -1)=f(2k+1)=1, 设设 g(x)=ax, 它表示过原点且斜率它表示过原点且斜率 k=a 的直线的直线.则命题等价于则命题等价于: 求使求使 f(x) 与与 g(x) 的图象有两个交点的的图象有两个交点的 a 的取的取值范围值范围.0a , k N*. 2k+11等价于等价于 0 - -x- -1. 解解: 令令 y= 4- -x2 , 它的图象是以原点它的图象是以原点为圆心为圆心, 2 为半径的半圆为半径的半圆. 画出直线画出直线 y=- -x- -1, 与半圆交于点与半圆交于点A. 解方程解方程 4- -x2 =- -x-
13、 -1( (- -2x0, b0) )是奇函数是奇函数, 当当 x0时时, f(x) 有最小值有最小值 2, 其中其中b N*且且 f(1)0, b0, f(x)= bx ax2+1 = x+ bx 1ba2 , b2 a当且仅当当且仅当 x= 时时, 等号成立等号成立. a12 =2, b2 af(x)有最小值有最小值 2, a=b2. 由由 f(1) 得得,52b a+1 , 52b b2+1 , 52即即2b2- -5b+20, 解得解得b2. 12又又 b N*, b=1. a=1. f(x)=x+ . x1解解: (1)法二法二f(x) 是奇函数是奇函数, f(- -1)=- -f(
14、1). =- - -b+c a+1 b+c a+1 -b+c=- -b- -c, c=0. 而当而当 c=0 时时, f(x)= , bx ax2+1 显然是奇函数显然是奇函数. c=0 满足条件满足条件. (2)设存在一点设存在一点 (x0, y0) 在在 y=f(x) 的图象上并且关于点的图象上并且关于点 (1, 0) 对称的对称的点点(2- -x0, - -y0) 也在也在 f(x) 图象上图象上, 则则 x0 x02+1 =y0, 2- -x0 (2- -x0)2+1 =- -y0, 消去消去 y0 得得: x02- -2x0- -1=0, 解解得得: x0=1 2 . y=f(x) 图象上存在两点图象上存在两点(1+ 2, 2 2 ), (1- - 2, - -2 2 )关于关于点点(1, 0) 对称对称.(2)问函数问函数 f(x) 图象上是否存在关于点图象上是否存在关于点 (1, 0) 对称的两点对称的两点? 若存若存在在, 求出点的坐标求出点的坐标; 若不存在若不存在, 说明理由说明理由.
