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1、主要内容主要内容l集合的基本概念集合的基本概念 属于、包含属于、包含 幂集、空集幂集、空集 文氏图等文氏图等l集合的运算集合的运算l有穷集的计数有穷集的计数l集合恒等式集合恒等式 集合运算的算律、恒等式的证明方法集合运算的算律、恒等式的证明方法 第二部分第二部分 集合论集合论第六章第六章 集合代数集合代数2021/5/2116.1 集合的基本概念集合的基本概念1. 集合定义集合定义 集合没有精确的数学定义集合没有精确的数学定义 理解：由离散个体构成的整体称为理解：由离散个体构成的整体称为集合集合，称这些个体为集，称这些个体为集 合的合的元素元素 常见的数集：常见的数集：N, Z, Q, R,
2、C 等分别表示自然数、整数、有等分别表示自然数、整数、有 理数、实数、复数集合理数、实数、复数集合2. 集合表示法集合表示法 列元素法列元素法-列出集合的所有元素，所有元素之间用逗号隔列出集合的所有元素，所有元素之间用逗号隔开，并把它们用花括号括起来开，并把它们用花括号括起来 谓词表示法谓词表示法-用谓词来概括集合中元素的性质用谓词来概括集合中元素的性质 实例：实例： 列元素法列元素法 自然数集合自然数集合 N=0,1,2,3, 谓词表示法谓词表示法 S= x | x R x2 1=0 2021/5/212元素与集合元素与集合1. 集合的元素具有的性质集合的元素具有的性质 无序性：元素列出的顺
3、序无关无序性：元素列出的顺序无关 相异性：集合的每个元素只计相异性：集合的每个元素只计 数一次数一次 确定性：对任何元素和集合都确定性：对任何元素和集合都 能确定这个元素是否能确定这个元素是否 为该集合的元素为该集合的元素 任意性：集合的元素也可以是任意性：集合的元素也可以是 集合集合2元素与集合的关系元素与集合的关系 隶属关系：隶属关系： 或者或者 3集合的树型层次结构集合的树型层次结构例如：集合例如：集合A=a,b,c,d,d规定：规定：A A2021/5/213集合与集合集合与集合集合与集合之间的关系：集合与集合之间的关系： , , =, , , , 定义定义6.1 设设A，B为集合，如
4、果为集合，如果B中的每个元素都是中的每个元素都是A中的元素，则称中的元素，则称B是是A的子集合，简称子集。这时也称的子集合，简称子集。这时也称B被被A包含，或包含，或A包含包含B，记作，记作B A。如果如果B不被不被A包含，则记作包含，则记作B A。 符号化表示为：符号化表示为：B A x ( x B x A ) B A x ( x B x A ) 例如例如N Z Q R C，但，但Z N。显然对任何集合。显然对任何集合A都有都有A A。 定义定义6.2 设设A，B为集合，如果为集合，如果A B且且B A，则称，则称A与与B相等，记作相等，记作AB。 如果如果A与与B不相等，则记作不相等，则记
5、作AB。符号化表示为：符号化表示为： A = B A B B A定义定义6.3 设设A，B为集合，如果为集合，如果B A且且BA，则称，则称B是是A的真子集，记作的真子集，记作B A。如果如果B不是不是A的真子集，则记作的真子集，则记作B A。符号化表示为：符号化表示为： B A B A B A 例如例如N Z Q R C，但，但N N。注意：注意： 和和 是不同层次的问题，如是不同层次的问题，如A=a,a和和a2021/5/214空集、全集和幂集空集、全集和幂集定义定义6.4 空集空集 ：不含有任何元素的集合：不含有任何元素的集合符号化表示为：符号化表示为： =x | x x 实例：实例：
6、x | x R x2+1=0 定理定理6.1 空集是任何集合的子集。空集是任何集合的子集。证证 对于任意集合对于任意集合A， A x (xx A) 1(恒真命题恒真命题) 推论推论 是惟一的是惟一的 证明：假设存在空集证明：假设存在空集1 和和 2 ，由定理，由定理6.1有：有： 1 2 和和 2 1 根据集合相等的定义，有根据集合相等的定义，有1 = 2 所以得出结论：所以得出结论： 是惟一的是惟一的 。2021/5/215空集、全集和幂集空集、全集和幂集 含有含有n个元素的集合简称个元素的集合简称n元集，它的含有元集，它的含有m（mn）个元素）个元素的子集叫做它的的子集叫做它的m元子集。任
7、给一个元子集。任给一个n元集，怎样求出它的元集，怎样求出它的全部子集呢？全部子集呢？例例6.1 A1,2,3，将，将A的子集分类：的子集分类：解：解：0元子集，也就是空集，只有一个：元子集，也就是空集，只有一个： ； 1元子集，即单元集：元子集，即单元集：1，2，3； 2元子集：元子集：1,2，1,3，2,3； 3元子集：元子集：1,2,3。2021/5/216空集、全集和幂集空集、全集和幂集 定义定义6.5 幂集幂集：设：设A为集合，把为集合，把A的全部子集构成的集合叫的全部子集构成的集合叫做做A的幂集，记作的幂集，记作P(A)(或或PA，2A)。 符号化表示为：符号化表示为：P(A)= x
8、 | x A 实例：实例：P()=, P()=, 计数：如果计数：如果 |A|=n，则，则 |P(A)|=2n. 定义定义6.6 全集全集 E：包含了所有集合的集合：包含了所有集合的集合 全集具有相对性：与问题有关，不存在绝对的全集全集具有相对性：与问题有关，不存在绝对的全集2021/5/2176.2 集合的运算集合的运算初级运算初级运算集合的基本运算有并，交，相对补和对称差集合的基本运算有并，交，相对补和对称差 定义定义6.7 设设A，B为集合，为集合，A与与B的并集的并集AB，交集，交集AB，B对对A的相对补集的相对补集AB分别定义如下：分别定义如下： 并并 A B = x | x A x
9、 B 交交 A B = x | x A x B 相对补相对补 A B = x | x A x B例如：例如：A=a,b,c，B=a，C=b,dA B= a,b,c, A B =a,A B=b,c ,B-A= ,B C= 若两个集合的交集为若两个集合的交集为 ，则称这两个集合是，则称这两个集合是不交不交的的2021/5/2186.2 集合的运算集合的运算定义定义6.8 设设A，B为集合，为集合，A与与B的对称差集的对称差集A B定义为：定义为： 对称差对称差 A B = (A B) (B A) 另一种定义是：另一种定义是：A B = (A B) (A B) 例如：例如：A=a,b,c，B=b,d
10、,A B =a,c,d定义定义6.9 在给定全集在给定全集E以后，以后，A E，A的绝对补集的绝对补集A定义如下：定义如下： 绝对补绝对补 A = E A = x|xEx A = x|x A 例如：例如：Ea，b，c，d，Aa，b，c，则，则Ad。2021/5/219文氏图文氏图集合运算的表示集合运算的表示ABABABABAEA BA BABA BA2021/5/2110几点说明几点说明l并和交运算可以推广到有穷个集合上，即并和交运算可以推广到有穷个集合上，即A1 A2 An = x | xA1 xA2 xAn A1 A2 An = x | xA1 xA2 xAnl A B A B = l A
11、 B = A B = A2021/5/2111广义运算广义运算1. 集合的广义并与广义交集合的广义并与广义交 定义定义6.10 设设A为集合，为集合，A的元素的元素的元素的元素构成的集合称为构成的集合称为A的广的广义并，记为义并，记为A。符号化表示为。符号化表示为 广义并广义并 A = x | z ( z A x z )定义定义6.11 设设A为为非空非空集合，集合，A的所有元素的公共元素构成的的所有元素的公共元素构成的集合称为集合称为A的广义交，记为的广义交，记为A。符号化表示为。符号化表示为 广义交广义交 A= x | z ( z A x z ) 例例6.2 设设Aa,b,c,a,c,d,
12、a,e,fBaCa,c,d则则Aa,b,c,d,e,f,Ba，Cac,d Aa，Ba，Cac,d 2021/5/2112广义运算广义运算1. 集合的广义并与广义交集合的广义并与广义交 定义定义6.10 设设A为集合，为集合，A的元素的元素的元素的元素构成的集合称为构成的集合称为A的广的广义并，记为义并，记为A。符号化表示为。符号化表示为 广义并广义并 A = x | z ( z A x z )定义定义6.11 设设A为为非空非空集合，集合，A的所有元素的公共元素构成的的所有元素的公共元素构成的集合称为集合称为A的广义交，记为的广义交，记为A。符号化表示为。符号化表示为 广义交广义交 A= x
13、| z ( z A x z ) 练习练习: A= 1, 1,2, 1,2,3, B= a, C=a解解: A=1,2,3, A=1 B=a， B=a C=a， C=a2021/5/2113关于广义运算的说明关于广义运算的说明2. 广义运算的性质广义运算的性质 (1) =，无意义无意义 (2) 单元集单元集x的广义并和广义交都等于的广义并和广义交都等于x (3) 广义运算减少集合的层次（括弧减少一层）广义运算减少集合的层次（括弧减少一层） (4) 广义运算的计算：一般情况下可以转变成初级运算广义运算的计算：一般情况下可以转变成初级运算 A = A1, A2, , An = A1 A2 An A=
14、 A1, A2, , An = A1 A2 An 3. 引入广义运算的意义引入广义运算的意义 可以表示无数个集合的并、交运算，例如可以表示无数个集合的并、交运算，例如 x | x R=R 这里的这里的 R 代表实数集合代表实数集合. 2021/5/2114运算的优先权规定运算的优先权规定 一一 类运算：广义并，广义交，幂集，绝对补类运算：广义并，广义交，幂集，绝对补 运算运算 运算由右向左顺序进行运算由右向左顺序进行(右结合右结合) 二二 类运算：并类运算：并 ，交，交 ，相对补，相对补 ，对称差，对称差 优先顺序由括号确定优先顺序由括号确定混合运算：一类运算优先于二类运算。混合运算：一类运算
15、优先于二类运算。 例例 A=a,a,b，计算，计算A (AA). 解：解： A (AA) = a,b ( a,ba) = (a b) (a b) a) = (a b) (b a) = b2021/5/2115例例6.5 设设Aa,a,b 计算计算A，A和和A(AA)。解解: Aa,bAaAabAaAabAaA(AA)(ab)(ab)a)(ab)(ba)b所以所以Aab，Aa，A(AA)b。2021/5/2116作作业业书本书本97页页第第8题题 的的 第（第（4）小题）小题第第9题题 的的 第（第（1）、（）、（3）、（）、（5）三个小题）三个小题书本书本98页页第第18题题 的的 第（第（1
16、）、（）、（3）两个小题）两个小题2021/5/2117有穷集合元素的计数有穷集合元素的计数1. 文氏图法文氏图法2. 包含排斥原理包含排斥原理定理定理6.2 设集合设集合S上定义了上定义了n条性质，其中具有第条性质，其中具有第 i 条性质的条性质的元素构成子集元素构成子集Ai, 那么集合中不具有任何性质的元素数为那么集合中不具有任何性质的元素数为 推论推论 S中至少具有一条性质的元素数为中至少具有一条性质的元素数为2021/5/2118实例实例例例6.5 求求1到到1000之间（包含之间（包含1和和1000在内）既不能被在内）既不能被5和和6整整除，也不能被除，也不能被8整除的数有多少个？整
17、除的数有多少个？解解 方法一：文氏图方法一：文氏图 定义以下集合：定义以下集合： S= x | x Z 1 x 1000 A= x | x S x可被可被5整除整除 B= x | x S x可被可被6整除整除 C= x | x S x可被可被8整除整除 画出文氏图，然后填入相应的画出文氏图，然后填入相应的数字，解得数字，解得 N=1000(200+100+33+67) =6002021/5/2119实例实例方法二方法二 |S| = 1000 |A|= 1000/5 =200, |B|= 1000/6 =166, |C|= 1000/8 =125 |A B| = 1000/lcm(5,6) =
18、1000/33 = 33 |A C| = 1000/lcm(5,8) = 1000/40 = 25 |B C| = 1000/lcm(6,8) = 1000/24 = 41 |A B C| = 1000/lcm(5,6,8) = 1000/120 = 8 = 1000 (200+166+125)+(33+25+41) 8 = 600 2021/5/21206.3 集合恒等式集合恒等式下面的恒等式给出了集合运算的主要算律，其中下面的恒等式给出了集合运算的主要算律，其中A，B，C代表任意集合。代表任意集合。幂等律幂等律 AAA AAA 结合律结合律 (AB)CA(BC) (AB)CA(BC)交换律
19、交换律 ABBA ABBA 分配律分配律 A(BC)(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC) 同一律同一律 AA AEA零律零律 AEE A 排中律排中律 AAE 矛盾律矛盾律 AA吸收律吸收律 A(AB)A A(AB)A 德摩根律德摩根律 A(BC)(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC) (BC)=BC (BC)=BC E E双重否定律双重否定律 (A)A 2021/5/2121除了以上算律以外，还有一些关于集合运算性质的重要结果。除了以上算律以外，还有一些关于集合运算性质的重要结果。 例如：例如：AB A，AB B (6.24)A AB，B AB (6.25)AB A (6.26
20、)ABAB (6.27) ABB A B ABA AB (6.28) A BB A (6.29) (A B) CA (B C) (6.30)A A (6.31)A A (6.32) A BA C BC (6.33) 2021/5/2122书本书本88页页例例6.5 设设Aa,a,b 计算计算A，A和和A(AA)。解解: Aa,bAaAabAaAabAaA(AA)(ab)(ab)a)(ab)(ba)b所以所以Aab，Aa，A(AA)b。2021/5/21236.4 集合恒等式（集合恒等式（P92）集合算律集合算律1只涉及一个运算的算律：只涉及一个运算的算律： 交换律交换律、结合律结合律、幂等律幂
21、等律2021/5/2124集合算律集合算律 2涉及两个不同运算的算律：涉及两个不同运算的算律： 分配律、吸收律分配律、吸收律 2021/5/2125集合算律集合算律3涉及补运算的算律：涉及补运算的算律： 德摩根律德摩根律，双重否定律双重否定律 2021/5/2126集合算律集合算律4涉及全集和空集的算律：涉及全集和空集的算律： 补元律补元律、零律零律、同一律同一律、否定律否定律2021/5/2127集合证明题集合证明题证明方法：命题演算法、等式置换法证明方法：命题演算法、等式置换法命题演算证明法的书写规范命题演算证明法的书写规范 (以下的以下的X和和Y代表集合公式代表集合公式)(1) 证证X
22、Y 任取任取x， x X x Y (2) 证证X=Y 方法一方法一 分别证明分别证明 X Y 和和 Y X 都为真。都为真。 方法二方法二 任取任取x，x X x Y注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分必要的（等值）分必要的（等值）2021/5/2128集合等式的证明集合等式的证明方法一：命题演算法方法一：命题演算法例例1 证明证明A (A B) = A （吸收律）（吸收律）证证 任取任取x, x A (A B) x A x A B x A (x A x B) x A 因此得因此得 A (A B) = A.例例2 证明证明 (6
23、.27)A B = AB证证 任取任取x, x A B x A x B x A xB x AB 因此得因此得 A B = AB2021/5/2129等式置换法等式置换法方法二：等式置换法方法二：等式置换法例例3 假设交换律、分配律、同一律、零律已经成立，证明吸假设交换律、分配律、同一律、零律已经成立，证明吸 收律收律 A (A B) = A. 证证 A (A B) = (A E) (A B) （同一律）（同一律） = A (E B) （分配律）（分配律） = A (B E) （交换律）（交换律） = A E （零律）（零律） = A （同一律）（同一律）2021/5/2130包含等价条件的证明
24、包含等价条件的证明例例4 证明证明(6.28) A B A B=B A B=A A B= 证明思路：证明思路：l确定问题中含有的命题：本题含有命题确定问题中含有的命题：本题含有命题 , , , l确定命题间的关系（哪些命题是已知条件、哪些命题是要确定命题间的关系（哪些命题是已知条件、哪些命题是要证明的结论）：本题中每个命题都可以作为已知条件，每证明的结论）：本题中每个命题都可以作为已知条件，每个命题都是要证明的结论个命题都是要证明的结论l确定证明顺序：确定证明顺序：， l按照顺序依次完成每个证明（证明集合相等或者包含）按照顺序依次完成每个证明（证明集合相等或者包含） 2021/5/2131证明
25、证明证明证明A B A B=B A B=A A B= 证证 显然显然B A B，下面证明，下面证明A B B. 任取任取x， x A B x A x B x B x B x B 因此有因此有A B B. 综合上述综合上述得证得证. A B = A (A B) = A (由由知知A B=B，将，将A B代入代入B，并结合吸收律得证，并结合吸收律得证) 2021/5/2132证明证明A B A B=B A B=A A B= A B = A B = (A B) B = A (B B) = A = 假设假设A B不成立，那么不成立，那么 x(x A x B) x A B A B与条件与条件矛盾矛盾.
26、因此，结论因此，结论A B成立。成立。证明证明2021/5/2133式（式（6.28）在化简集合公式中的应用）在化简集合公式中的应用例例 6.14 化简化简( ( ABC ) ( AB ) ) ( ( A( BC ) )A )解：解：由于由于 AB ABC ， A A( BC ) 因此有：因此有：( ( ABC ) ( AB ) ) ( ( A( BC ) )A )= ( AB ) A （由式子（由式子（6.28）= ( AB ) A （由式子（由式子（6.27）= ( AA ) ( BA ) （分配律）（分配律）= ( BA ) （矛盾律）（矛盾律）= ( BA ) （交换律）（交换律）=
27、BA （同一律）（同一律）= B A （由式子（由式子（6.27）2021/5/2134对称差运算算律对称差运算算律 式（式（6.33）的证明）的证明例例 6.15 已知已知A B=A C，证明，证明B=C证证已知已知A B=A C，所以有，所以有 A (A B)=A (A C)(A A) B=(A A) C （由式子（由式子（6.30） B = C （由式子（由式子（6.32）B = C （由式子（由式子（6.29）B = C （由式子（由式子（6.31）2021/5/2135练习题练习题练习：证明下列集合恒等式练习：证明下列集合恒等式（1）（）（A B） C=（A C） B证明证明：左边：
28、左边=（A B） C = （ A B ） C （由式子（由式子（6.27） = （ A C ） B （交换律和结合律）（交换律和结合律） =（A C） B （由式子（由式子（6.27） = 右边右边（2）（A B） A）=A证明：左边证明：左边 = （A B） A） = （A B） A） （德摩根律）（德摩根律） = （A B） A （德摩根律）（德摩根律） = A （吸收律）（吸收律） = 右边右边2021/5/2136第六章第六章 练习作业练习作业书本第书本第100页页 第第32题的第（题的第（1）小题）小题 第第33题的第（题的第（1）小题）小题 第第50题题2021/5/2137第六章
29、第六章 总结总结主要内容主要内容l集合的两种表示法集合的两种表示法l集合与元素之间的隶属关系、集合之间的包含关系的区集合与元素之间的隶属关系、集合之间的包含关系的区别与联系别与联系l特殊集合：空集、全集、幂集特殊集合：空集、全集、幂集l文氏图及有穷集合的计数文氏图及有穷集合的计数l集合的集合的 , , , , 等运算以及广义等运算以及广义 , 运算运算l集合运算的算律及其应用集合运算的算律及其应用2021/5/2138第六章第六章 习题课习题课主要内容主要内容l集合的两种表示法集合的两种表示法l集合与元素之间的隶属关系、集合之间的包含关系的区集合与元素之间的隶属关系、集合之间的包含关系的区别与
30、联系别与联系l特殊集合：空集、全集、幂集特殊集合：空集、全集、幂集l文氏图及有穷集合的计数文氏图及有穷集合的计数l集合的集合的 , , , , 等运算以及广义等运算以及广义 , 运算运算l集合运算的算律及其应用集合运算的算律及其应用2021/5/2139基本要求基本要求l熟练掌握集合的两种表示法熟练掌握集合的两种表示法l能够判别元素是否属于给定的集合能够判别元素是否属于给定的集合l能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关系系l熟练掌握集合的基本运算（普通运算和广义运算）熟练掌握集合的基本运算（普通运算和广义运算）l掌握证明集合等式或者
31、包含关系的基本方法掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法2021/5/2140练习练习1 1判断下列命题是否为真判断下列命题是否为真 (1) (2) (3) (4) (5) a, b a, b, c, a, b, c (6) a, b a, b, c, a, b (7) a, b a, b, a, b (8) a, b a, b, a,b 解解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真，其余为假为真，其余为假.2021/5/2141方法分析方法分析(1) 判断元素判断元素a与集合与集合A的隶属关系是否成立基本方法：的隶属关系是否成立基本方法： 把把 a 作为整体检查它在作为整体检查它
32、在A中是否出现，注意这里的中是否出现，注意这里的 a 可可 能是集合表达式能是集合表达式. (2) 判断判断A B的四种方法的四种方法l若若A,B是用枚举方式定义的，依次检查是用枚举方式定义的，依次检查A的每个元素是否的每个元素是否在在B中出现中出现. l若若A,B是谓词法定义的，且是谓词法定义的，且A, B中元素性质分别为中元素性质分别为P和和Q, 那么那么“若若P则则Q”意味意味 A B，“P当且仅当当且仅当Q”意味意味=l通过集合运算判断通过集合运算判断A B，即，即A B = B, A B = A, A B = 三个等式中有一个为真三个等式中有一个为真.l通过文氏图判断集合的包含（注意
33、这里是判断，而不是证通过文氏图判断集合的包含（注意这里是判断，而不是证明明2021/5/2142练习练习22设设 S1=1, 2, , 8, 9， S2=2, 4, 6, 8 S3=1, 3, 5, 7, 9 S4=3, 4, 5 S5=3, 5 确定在以下条件下确定在以下条件下X是否与是否与S1,S5中某个集合相等？如中某个集合相等？如果是，又与哪个集合相等？果是，又与哪个集合相等？ （1）若）若 X S5= （2）若）若 X S4但但 X S2= （3）若）若 X S1且且 X S3 （4）若）若 X S3= （5）若）若 X S3 且且 X S12021/5/2143解答解答解解(1)
34、和和S5不交的子集不含有不交的子集不含有3和和5，因此，因此 X=S2. (2) S4的子集只能是的子集只能是S4和和S5. 由于与由于与S2不交，不能含有偶数，不交，不能含有偶数， 因此因此 X=S5.(3) S1, S2, S3, S4和和S5都是都是S1的子集，不包含在的子集，不包含在S3的子集含有的子集含有 偶数，因此偶数，因此 X=S1, S2或或S4. (4) X S3=意味着意味着 X是是S3的子集，因此的子集，因此 X=S3或或 S5.(5) 由于由于S3是是S1的子集，因此这样的的子集，因此这样的X不存在不存在.2021/5/2144练习练习33. 判断以下命题的真假，并说明
35、理由判断以下命题的真假，并说明理由. （1）A B = A B= （2）A (B C) = (A B) (A C) （3）A A = A （4）如果）如果A B = B，则，则A = E. （5）A = x x，则，则 x A且且x A. 2021/5/2145解题思路解题思路l先将等式化简或恒等变形先将等式化简或恒等变形.l查找集合运算的相关的算律，如果与算律相符，结果为真查找集合运算的相关的算律，如果与算律相符，结果为真.l注意以下两个重要的充要条件注意以下两个重要的充要条件 A B = A A B = A B = A B A B = B A B = A 如果与条件相符，则命题为真如果与条
36、件相符，则命题为真.l如果不符合算律，也不符合上述条件，可以用文氏图表示如果不符合算律，也不符合上述条件，可以用文氏图表示集合，看看命题是否成立集合，看看命题是否成立.如果成立，再给出证明如果成立，再给出证明.l试着举出反例，证明命题为假试着举出反例，证明命题为假.2021/5/2146解答解答解解(1) B=是是A B=A的充分条件，但不是必要条件的充分条件，但不是必要条件. 当当B不空不空但但 是与是与A不交时也有不交时也有A B=A. (2) 这是这是DM律，命题为真律，命题为真.(3) 不符合算律，反例如下：不符合算律，反例如下： A=1，A A=，但是，但是A.(4) 命题不为真命题
37、不为真. A B=B的充分必要条件是的充分必要条件是 B A，不是，不是A=E. (5) 命题为真，因为命题为真，因为 x 既是既是 A 的元素，也是的元素，也是 A 的子集的子集 2021/5/2147练习练习44证明证明 A B = A C A B = A C B = C解题思路解题思路l分析命题：含有分析命题：含有3 3个命题：个命题： A B = A C , A B = A C, B = C l证明要求证明要求 前提：命题前提：命题和和 结论：命题结论：命题 l证明方法：证明方法： 恒等式代入恒等式代入 反证法反证法 利用已知等式通过运算得到新的等式利用已知等式通过运算得到新的等式20
38、21/5/2148解答解答方法一：恒等变形法方法一：恒等变形法 B = B (B A) = B (A B) = B (A C) = (B A) (B C) = (A C) (B C) = (A B) C = (A C) C = C 方法二：反证法方法二：反证法.假设假设 B C，则存在，则存在 x (x B且且x C), 或存在或存在 x (x C且且x B). 不妨设为前者不妨设为前者. 若若x属于属于A，则，则x属于属于A B 但但x不属于不属于A C，与已知矛盾；，与已知矛盾；若若x不属于不属于A，则，则x属于属于A B但但x不属于不属于A C，也与已知矛盾，也与已知矛盾. 2021/5
39、/2149解答解答方法三：利用已知等式通过运算得到新的等式方法三：利用已知等式通过运算得到新的等式.由已知等式由已知等式和和可以得到可以得到 (A B) (A B) = (A C) (A C)即即 A B = A C 从而有从而有 A (A B) =A (A C) 根据结合律得根据结合律得 (A A) B = (A A) C 由于由于A A = , 化简上式得化简上式得B = C. 2021/5/2150练习练习55设设A,B为集合，试确定下列各式成立的充分必要条件：为集合，试确定下列各式成立的充分必要条件：(1) A B=B(2) A B=B A(3) A B=A B(4) A B=A202
40、1/5/2151分析分析解题思路解题思路: 求解集合等式成立的充分必要条件可能用到集合的算律、不求解集合等式成立的充分必要条件可能用到集合的算律、不同集合之间的包含关系、以及文氏图等同集合之间的包含关系、以及文氏图等. 具体求解过程说明具体求解过程说明如下：如下： (1) 化简给定的集合等式化简给定的集合等式 (2) 求解方法如下：求解方法如下：l利用已知的算律或者充分必要条件进行判断l先求必要条件，然后验证充分性l利用文氏图的直观性找出相关的条件，再利用集合论的证明方法加以验证 2021/5/2152解答解答解解(1) A B=B A=B=. 求解过程如下：求解过程如下： 由由A B=B得得
41、 (AB) B = B B 化简得化简得B=. 再将这个结果代入原来的等式得再将这个结果代入原来的等式得A= . 从从而得到必要条件而得到必要条件A=B=.再验证充分性再验证充分性. 如果如果A=B=成立，则成立，则A B=B也成立也成立. (2) A B=B A A=B. 求解过程如下：求解过程如下：充分性是显然的，下面验证必要性充分性是显然的，下面验证必要性. 由由A B=B A得得 (A B) A=(B A) A从而有从而有A=A B, 即即A B. 同理可证同理可证B A.2021/5/2153解答解答(3) A B=A B A=B. 求解过程如下：求解过程如下：充分性是显然的，下面验证必要性充分性是显然的，下面验证必要性. 由由A B=A B得得 A (A B) = A (A B)化简得化简得A =A B，从而有，从而有A B. 类似可以证明类似可以证明B A. (4) A B=A B=. 求解过程如下：求解过程如下：充分性是显然的，下面验证必要性充分性是显然的，下面验证必要性. 由由A B = A得得 A (A B) = A A根据结合律有根据结合律有 (A A) B = A A即即 B = , 就是就是B = . 2021/5/2154部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
