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1、概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计前言前言 所谓统计推断，就是根据从总体中抽取得的一个所谓统计推断，就是根据从总体中抽取得的一个所谓统计推断，就是根据从总体中抽取得的一个所谓统计推断，就是根据从总体中抽取得的一个简单随机样本对总体进行分析和推断。即由样本来推简单随机样本对总体进行分析和推断。即由样本来推简单随机样本对总体进行分析和推断。即由样本来推简单随机样本对总体进行分析和推断。即由样本来推断总体，或者由部分推断总体。断总体，或者由部分推断总体。断总体，或者由部分推断总体。断总体，或者由部分推断总体。这就是数理统计这就是数理统计这就是数理统计这就是数理统计学的核
2、心内容。它的基本问题包括两大类问题，一类学的核心内容。它的基本问题包括两大类问题，一类学的核心内容。它的基本问题包括两大类问题，一类学的核心内容。它的基本问题包括两大类问题，一类是估计理论；另一类是假设检验。而估计理论又分为是估计理论；另一类是假设检验。而估计理论又分为是估计理论；另一类是假设检验。而估计理论又分为是估计理论；另一类是假设检验。而估计理论又分为参数估计与非参数估计，参数估计又分为点估计和区参数估计与非参数估计，参数估计又分为点估计和区参数估计与非参数估计，参数估计又分为点估计和区参数估计与非参数估计，参数估计又分为点估计和区间估计两种。间估计两种。间估计两种。间估计两种。 对一
3、些并不关心其分布类型的统计推断问题，只对一些并不关心其分布类型的统计推断问题，只对一些并不关心其分布类型的统计推断问题，只对一些并不关心其分布类型的统计推断问题，只关心总体的某些数字特征，如期望、方差等，通常把关心总体的某些数字特征，如期望、方差等，通常把关心总体的某些数字特征，如期望、方差等，通常把关心总体的某些数字特征，如期望、方差等，通常把这些数字特征称为参数。这时，抽样的目的就是为了这些数字特征称为参数。这时，抽样的目的就是为了这些数字特征称为参数。这时，抽样的目的就是为了这些数字特征称为参数。这时，抽样的目的就是为了解出这些未知的参数。解出这些未知的参数。解出这些未知的参数。解出这些
4、未知的参数。2024/9/171皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计第一节第一节 点估计问题点估计问题2024/9/172皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2024/9/173皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计例例 某种同型号的产品某种同型号的产品N个，其合格率个，其合格率未知，对该批未知，对该批产品作质量检验产品作质量检验, ,从中随机抽取从中随机抽取n个个( (nN).).当第当第i次抽次抽到的产品合格时，记到的产品合格时，记Xi=1，反之记，反之记Xi=
5、0. 如何估计参如何估计参数数的取值。的取值。分析：研究对象是总体分析：研究对象是总体产品产品的合格率的合格率.总体总体X X可以看作是服从参数为可以看作是服从参数为的的0 01 1分布，由样本分布，由样本分布与总体分布的关系，可以确定样本分布与总体分布的关系，可以确定样本X1,X2,，Xn的的联合分布。的的联合分布。如果样本如果样本X1,X2,，Xn的观测值记为的观测值记为则样本的联合分布为则样本的联合分布为2024/9/174皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计怎样确定怎样确定的取值呢？的取值呢？方法一：方法一： 利用样本的函数和总体参数的关系。
6、如：利用样本的函数和总体参数的关系。如：其期望其期望方法二：方法二： 分析出现样本观测值分析出现样本观测值 的原因。的原因。出现该样本观测值的可能性出现该样本观测值的可能性概率概率应该较大。应该较大。2024/9/175皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计第二节第二节 估计方法估计方法2024/9/176皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计一、替换原理与矩法估计一、替换原理与矩法估计所谓替换原理就是用样本矩替换总体矩，也称为矩法。所谓替换原理就是用样本矩替换总体矩，也称为矩法。1 1、基本思想：、基本思想：
7、2024/9/177皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2 2、具体做法：、具体做法：【样本矩替代总体矩样本矩替代总体矩】2024/9/178皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计例例1 1 设有一批同型号的灯管，其寿命服从参数为设有一批同型号的灯管，其寿命服从参数为的指数分布，现随机抽取其中的的指数分布，现随机抽取其中的1111只，测得其寿命只，测得其寿命如下：如下：110110，184184，145145，122122，165165，143143，7878， 129129，5252， 130130，168
8、.168.用矩法估计求用矩法估计求的值。的值。解解: :总体的期望总体的期望 EX=EX=1=样本均值样本均值=130.55.=130.55.2024/9/179皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计例例2 2 设总体有均值设总体有均值及方差及方差2 2，今有，今有6 6个样本观测个样本观测值为值为 -1.20 -1.20，0.820.82，0.120.12，0.450.45，-0.85-0.85，-0.30.-0.30.求求和和2 2 的矩估计。的矩估计。解解: :2024/9/1710皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理
9、统统统统计计计计例例3 3 设设是来自是来自上均匀分布样本。上均匀分布样本。，未知，求，未知，求 的矩估计。的矩估计。解：解：注：注：矩估计不唯一（矩估计的缺陷）；矩估计不唯一（矩估计的缺陷）； 一般尽可能用低阶矩来估计。一般尽可能用低阶矩来估计。2024/9/1711皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计二、最大似然估计二、最大似然估计例例例例4 4 4 4 设有外形相同的两个箱子，甲箱中有设有外形相同的两个箱子，甲箱中有设有外形相同的两个箱子，甲箱中有设有外形相同的两个箱子，甲箱中有99999999个白个白个白个白球和球和球和球和1 1 1 1个黑
10、球，乙箱中有个黑球，乙箱中有个黑球，乙箱中有个黑球，乙箱中有1 1 1 1个白球和个白球和个白球和个白球和99999999个黑球，现个黑球，现个黑球，现个黑球，现随机取一箱，并从中取出一球，结果取得白球，随机取一箱，并从中取出一球，结果取得白球，随机取一箱，并从中取出一球，结果取得白球，随机取一箱，并从中取出一球，结果取得白球，问这只球是从哪个箱子取出的？问这只球是从哪个箱子取出的？问这只球是从哪个箱子取出的？问这只球是从哪个箱子取出的？【“最像最像”即是即是“最大似然最大似然”的意思的意思】解：记解：记解：记解：记B-B-B-B-取得白球，取得白球，取得白球，取得白球，A A A A1 1
11、1 1取到甲箱，取到甲箱，取到甲箱，取到甲箱， A A A A2 2 2 2取到乙箱取到乙箱取到乙箱取到乙箱. . . .2024/9/1712皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计则这批观测值出现的概率是则这批观测值出现的概率是 2024/9/1713皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计样本的联合分布样本的联合分布样本的联合分布样本的联合分布2024/9/1714皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2024/9/1715皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与
12、与与数数数数理理理理统统统统计计计计2024/9/1716皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计所以似然函数为：所以似然函数为：2024/9/1717皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2024/9/1718皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2024/9/1719皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计最大似然估计的不变性最大似然估计的不变性最大似然估计的不变性最大似然估计的不变性2024/9/1720皖西学院 数理系概概概
13、概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计第三节第三节 点估计的优良性点估计的优良性2024/9/1721皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计一、无偏性一、无偏性2024/9/1722皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2024/9/1723皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计其其中中所所以以2024/9/1724皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计例例2 2 设总体服从设总体服从R(0, )上的均匀分布
14、，则上的均匀分布，则的的 最大似然估计不具有无偏性。最大似然估计不具有无偏性。解：由上节知，解：由上节知， 的最大似然估计是的最大似然估计是总体总体X的密度为的密度为总体总体X的分布函数为的分布函数为2024/9/1725皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计所以所以 的密度函数为的密度函数为注：注：的矩估计的矩估计 则是则是的无偏估计。的无偏估计。即即的最大似然估计的最大似然估计 不是不是的无偏估计。的无偏估计。2024/9/1726皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计补充说明补充说明2024/9/1727
15、皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计二、有效性二、有效性无偏估计只涉及到一阶矩（均值），虽然计算无偏估计只涉及到一阶矩（均值），虽然计算简便，但是往往会出现一个参数的无偏估计有简便，但是往往会出现一个参数的无偏估计有多个，而无法确定哪个估计量好。那么，究竟多个，而无法确定哪个估计量好。那么，究竟哪个无偏估计更好、更合理，这就看哪个估计哪个无偏估计更好、更合理，这就看哪个估计量的观察值更集中地接近在真实值的附近，即量的观察值更集中地接近在真实值的附近，即估计量的观察值更密集的分布在真实值的附近。估计量的观察值更密集的分布在真实值的附近。而方差是反映随机
16、变量取值的分散程度，所以而方差是反映随机变量取值的分散程度，所以无偏估计以方差最小者为最好、最合理。无偏估计以方差最小者为最好、最合理。2024/9/1728皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2024/9/1729皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计一般地，最大似然估计量比矩法估计量更优良。一般地，最大似然估计量比矩法估计量更优良。一般地，最大似然估计量比矩法估计量更优良。一般地，最大似然估计量比矩法估计量更优良。2024/9/1730皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统
17、统计计计计三、相合性三、相合性 随样本容量的增大，估计值能稳定于待估参数随样本容量的增大，估计值能稳定于待估参数随样本容量的增大，估计值能稳定于待估参数随样本容量的增大，估计值能稳定于待估参数的真值，即是相合性。的真值，即是相合性。的真值，即是相合性。的真值，即是相合性。2024/9/1731皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计注：一般的估计量都具有相合性。注：一般的估计量都具有相合性。2024/9/1732皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计2024/9/1733皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与
18、与与与数数数数理理理理统统统统计计计计四、均方误差四、均方误差补充内容补充内容2024/9/1734皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计均方误差点估计的方差均方误差点估计的方差+ +偏差的平方偏差的平方2024/9/1735皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计补充说明补充说明利用方差考查有效性是合理的；利用方差考查有效性是合理的；2024/9/1736皖西学院 数理系概概概概率率率率论论论论与与与与数数数数理理理理统统统统计计计计第十章第十章 课后作业课后作业习题十习题十 P1191201、2、3、62024/9/1737皖西学院 数理系
