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1、第一讲实数考点一实数的分类及有关概念考点一实数的分类及有关概念 【主干必备主干必备】一、实数的分类一、实数的分类1.1.按定义分按定义分2.2.按性质分按性质分二、实数的有关概念二、实数的有关概念名称名称定义定义性质性质数轴数轴规定了规定了_、_、_的直线的直线.数轴上的点与实数数轴上的点与实数一一对应一一对应. .原点原点正方向正方向单位长度单位长度名称名称定义定义性质性质相反相反数数只有只有_不同不同的两个数的两个数, ,即实即实数数a a的相反数是的相反数是-a.-a.若若a,ba,b互为相反数互为相反数, ,则则a+b=0.a+b=0.在数轴上在数轴上, ,表示相反数的表示相反数的两个
2、数的点位于原点两个数的点位于原点_,_,且到原点的距离相等且到原点的距离相等.绝对绝对值值在数轴上表示数在数轴上表示数a a的点与原点的的点与原点的_,_,记作记作|a|.|a|. 符号符号两侧两侧距离距离名称名称定义定义性质性质倒数倒数_的两个数的两个数互为倒数互为倒数, ,非零实非零实数数a a的倒数为的倒数为 ab=1ab=1a,ba,b互为倒数互为倒数; ;00没有倒数没有倒数; ;倒数等于本身的数是倒数等于本身的数是1 1和和-1.-1.乘积是乘积是1 1【微点警示微点警示】关于关于0:00:0是有理数是有理数,0,0是整数是整数,0,0是自然数是自然数,0,0既不是正数既不是正数,
3、 ,也不是负数也不是负数.0.0的相反数和绝对值都等于它本身的相反数和绝对值都等于它本身,0,0没有没有倒数倒数. .【核心突破核心突破】 【例例1 1】(1)(2018(1)(2018菏泽中考菏泽中考) )下列各数下列各数:-2,0, :-2,0, 0.020 020 002, 0.020 020 002, 其中无理数的个数是其中无理数的个数是 ( ( ) )A.4A.4B.3B.3C.2C.2D.1D.1C C(2)(2019(2)(2019眉山中考眉山中考) )下列四个数中下列四个数中, ,是负数的是是负数的是 ( ( ) )A.|-3|A.|-3|B.-(-3)B.-(-3)C.(-3
4、)C.(-3)2 2D.- D.- D D(3)(2018(3)(2018日照中考日照中考)|-5|)|-5|的相反数是的相反数是( ( ) )A.-5A.-5B.5B.5C. C. D.- D.- A A【明明技法技法】无理数常见的四种类型无理数常见的四种类型(1)(1)开方开不尽的数开方开不尽的数, ,如如 等等. .(2)(2)有特定意义的数有特定意义的数, ,如圆周率如圆周率,或化简后含有或化简后含有的数的数, ,如如 +8+8等等. .(3)(3)具有特定结构的数具有特定结构的数, ,如如0.101 001 000 10.101 001 000 1等等. .(4)(4)某些三角函数某
5、些三角函数, ,如如sin 60sin 60等等. .【题组过关题组过关】1.(20191.(2019自贡中考自贡中考) )实数实数m,nm,n在数轴上对应点的位置如在数轴上对应点的位置如图所示图所示, ,则下列判断正确的是则下列判断正确的是 世纪金榜导学号世纪金榜导学号( ( ) )B BA.|m|1A.|m|1B.1-m1C.mn0C.mn0D.m+10D.m+102.(20192.(2019黄石中考黄石中考) )下列四个数下列四个数:-3,-0.5, :-3,-0.5, 中中, ,绝对值最大的数是绝对值最大的数是( ( ) )A.-3A.-3B.-0.5B.-0.5C. C. D. D.
6、 A A3.(20193.(2019广州三模广州三模) )已知已知:|x|=3,|y|=2,:|x|=3,|y|=2,且且xy,xy,则则x-yx-y的值为的值为世纪金榜导学号世纪金榜导学号( ( ) )A.5A.5B.1B.1C.5C.5或或1 1D.-5D.-5或或-1-1C C考点二科学记数法考点二科学记数法 【主干必备主干必备】科学记数法科学记数法把一个数写成把一个数写成_的形式的形式( (其中其中11|a|10,n|a|0),=a(x0),那么那么这个正数这个正数x x就叫做就叫做a a的的算术平方根算术平方根. .记作记作 0 0的算术平方根是的算术平方根是_._.立方立方根根若若
7、x x3 3=a,=a,则则x x叫做叫做a a的立的立方根方根, ,记作记作 正数有一个正数有一个_立方根立方根; ;0 0的立方根是的立方根是0;0;负数有负数有一个一个_立方根立方根.0 0正正负负【微点警示微点警示】只有非负数才有平方根只有非负数才有平方根, ,而一个非负数的算术平方根仍而一个非负数的算术平方根仍是非负数是非负数, ,负数没有平方根和算术平方根负数没有平方根和算术平方根, ,但是负数有但是负数有立方根立方根. .【核心突破核心突破】 【例例3 3】(1)(2018(1)(2018荆门中考荆门中考)8)8的相反数的立方根是的相反数的立方根是 ( ( ) )A.2A.2B.
8、 B. C.-2C.-2D.- D.- C C(2)(2018(2)(2018巴彦淖尔中考巴彦淖尔中考) ) 的算术平方根的倒数是的算术平方根的倒数是 ( ( ) )C C 【明明技法技法】(1)(1)平方根等于本身的数是平方根等于本身的数是0.0.(2)(2)算术平方根等于本身的数是算术平方根等于本身的数是0 0和和1.1.(3)(3)立方根等于本身的数是立方根等于本身的数是0 0和和1.1.【题组过关题组过关】1.(20191.(2019安丘一模安丘一模) ) 的立方根是的立方根是( ( ) )A.8A.8 B.2B.2C.8C.8D.4D.4B B2.(20192.(2019荆门二模荆门
9、二模) )下列各数中下列各数中, ,没有平方根的是没有平方根的是 ( ( ) )A.-3A.-32 2B.|-3|B.|-3|C.(-3)C.(-3)2 2D.-(-3)D.-(-3)A A3.(20193.(2019临沂中考临沂中考) )一般地一般地, ,如果如果x x4 4=a(a0),=a(a0),则称则称x x为为a a的四次方根的四次方根, ,一个正数一个正数a a的四次方根有两个的四次方根有两个. .它们互为它们互为相反数相反数, ,记为记为 若若 =10,=10,则则m=_.m=_.世纪金榜导学号世纪金榜导学号10104.(20194.(2019开封兰考期中开封兰考期中) )若若
10、x+17x+17的立方根是的立方根是3,3,则则3x-53x-5的平方根是的平方根是_._.55考点四实数大小及无理数的估算考点四实数大小及无理数的估算 【主干必备主干必备】实数大小比较的方法实数大小比较的方法(1)(1)数轴比较法数轴比较法: :数轴上的两个数数轴上的两个数,_,_边的数总边的数总比左边的数比左边的数_._.右右大大(2)(2)法则比较法法则比较法:_0:_0负数负数, ,两个负数两个负数, ,绝对值绝对值_的反而小的反而小.(3)(3)作差比较法作差比较法:a-b0:a-b0ab;a-bb;a-b0a_b;a_b;a-b=0a-b=0a_b.a_b.正数正数大大 = =【核
11、心突破核心突破】 【例例4 4】(2019(2019泰安中考泰安中考) )在实数在实数|-3.14|,-3,- |-3.14|,-3,- 中中, ,最小的数是最小的数是( ( ) )A.- A.- B.-3B.-3C.|-3.14|C.|-3.14|D.D.B B【明明技法技法】实数大小比较的其他方法实数大小比较的其他方法1.1.倒数比较法倒数比较法: :对任意正实数对任意正实数a,ba,b有有 ab.a0,b0,a:a0,b0,a2 2bb2 2ab.a0,bb.a0,bbb2 2ab.ab0:ab0 4.4.作商比较法作商比较法:b0:b0且且 11ab;b0ab;b0且且 11ab;a0
12、b0且且 =1=1a=b.a=b.5.5.近似估算法近似估算法, ,特殊值法特殊值法. .【题组过关题组过关】1.1.下列各实数中下列各实数中, ,最大的是最大的是( ( ) )A.A.B.(-2 020)B.(-2 020)0 0C.- C.- D.|-3|D.|-3|A A2.(20192.(2019南京中考南京中考) )下列整数中下列整数中, ,与与10- 10- 最接近的最接近的是是世纪金榜导学号世纪金榜导学号( ( ) )A.4A.4B.5B.5C.6C.6D.7D.7C C3.(20193.(2019九江月考九江月考) )若若a= b=-|- |,c=- a= b=-|- |,c=
13、- 则则a,b,ca,b,c的大小关系是的大小关系是( ( ) )A.abcA.abcB.bacB.bacC.bcaC.bcaD.cbaD.cb0,b0,a+b0,b0,a+b0,则四个数则四个数a,b,-a,-ba,b,-a,-b的大小关系为的大小关系为_(_(用用“”号连接号连接).).世纪金榜导学号世纪金榜导学号b-b-aa-baa-b考点五实数的运算考点五实数的运算 【主干必备主干必备】实数的运算实数的运算种类种类实数的运算包括加、减、乘、除、实数的运算包括加、减、乘、除、_乘方乘方 =_, =_,其中其中a a是底数是底数,n,n是指数是指数乘方、乘方、开方开方a an n零、负整数
14、零、负整数指数幂指数幂a a0 0=_(a0),=_(a0),a a-n-n=_(a0)=_(a0)运算顺序运算顺序先算先算_,_,再算再算_,_,最后算最后算_,_,如果有括号如果有括号, ,先算括号里边的先算括号里边的. .若没有括号若没有括号, ,在同一级运算中在同一级运算中, ,要要_进行运算进行运算乘方、开方乘方、开方乘除乘除加减加减从从左到右左到右1 1运算律运算律加法加法交换律交换律a+b=_a+b=_结合律结合律(a+b)+c=_(a+b)+c=_乘法乘法交换律交换律ab=_ab=_结合律结合律(ab)c=_(ab)c=_分配律分配律a(b+c)=_a(b+c)=_b+ab+a
15、a+(b+c)a+(b+c)babaa(bc)a(bc)ab+acab+ac【核心突破核心突破】 【例例5 5】(2019(2019广安中考广安中考) )计算计算:(-1):(-1)4 4-|1- |+-|1- |+6tan 30-(3- )6tan 30-(3- )0 0. .【思路点拨思路点拨】利用零指数幂的性质以及特殊角的三角利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案函数值、绝对值的性质分别化简得出答案. .【自主解答自主解答】原式原式=1-( -1)+6 -1=1- +1+=1-( -1)+6 -1=1- +1+2 -1=1+2 -1=1+【明明技法技法】实
16、数运算的一般步骤实数运算的一般步骤(1)(1)利用绝对值、负整数指数幂的运算、零次幂的运算、利用绝对值、负整数指数幂的运算、零次幂的运算、二次根式化简特殊角三角函数值的运算、乘方等运算二次根式化简特殊角三角函数值的运算、乘方等运算法则法则, ,将算式中的每项运算化为最简将算式中的每项运算化为最简. .(2)(2)根据原式中的运算符号进行实数的加减运算根据原式中的运算符号进行实数的加减运算( (注注: :若若最简根式不能合并最简根式不能合并, ,可直接连同前面的符号照搬到下一可直接连同前面的符号照搬到下一步步).).(3)(3)写出最简结果写出最简结果. .【题组过关题组过关】1.1.计算计算:
17、 : 的结果是的结果是( ( ) )A.1A.1B. B. C.0C.0D.-1D.-1C C2.(20192.(2019云南模拟云南模拟) )若若x,yx,y为实数为实数, ,且且|x+3|+ =0,|x+3|+ =0,则则 的值为的值为_._.-1-13.(20193.(2019德州中考德州中考) )已知已知:x:x表示不超过表示不超过x x的最大整数的最大整数. .例例:4.8=4,:4.8=4,-0.8=-1.-0.8=-1.现定义现定义:x=x-x,:x=x-x,例例:1.5=:1.5=1.5-1.5=0.5,1.5-1.5=0.5,则则3.9+-1.8-1=_.3.9+-1.8-1=_.世纪金榜导学号世纪金榜导学号1.11.1
