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1、4.2 行列式的定义行列式的定义 一、一、2 2阶行列式的定义阶行列式的定义 设含有两个未知数，两个方程的线性方设含有两个未知数，两个方程的线性方程组的一般形式为程组的一般形式为方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.令令则则 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表定义定义定义定义即即主主对角线对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶二阶行列式的计算行列式的计算若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式则二元则二元线性方程组的解为线性方程组的解为注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.例例例例1 1
2、 1 1解解 二、二、3阶行列式的定义阶行列式的定义 设含有3 3个未知数，3 3个方程的线性方程组的一般形式为当当D=时，方程组有解。于是有以下定义于是有以下定义定义定义定义定义记记记记（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式. .三阶行列式的计算三阶行列式的计算 列列标标行标行标说明说明 1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式注意注意 红线上三元素的红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号 2. . 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项
3、, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为三项为负负. . 如果三元线性方程组如果三元线性方程组的的系数行列式系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组若记若记或或记记即即得得得得则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为: 解解解解按按对角线法则，有对角线法则，有例例2 2 计算三阶行列式计算三阶行列式三、三、n 阶行列式的定义阶行列式的定义 问题问题 前面通过前面通过 2 2、3 3 阶行列式给出了其对应阶行列式给出了其对应方程组的解方程组的解 。那么，对。那
4、么，对n个未知数个未知数、n个方程的线个方程的线性方程组是否有类似求解公式呢性方程组是否有类似求解公式呢? ?下面分析下面分析3 3阶行列式的展开式阶行列式的展开式三阶行列式三阶行列式说明说明 三阶行列式的展开式的规律：三阶行列式的展开式的规律： (1) 项的项的形式形式： 是是1, 2, 3的排列的排列 (2) 项的项的个数个数：3! = 6 1, 2, 3的全部排列的数目的全部排列的数目 (3) 项的项的符号符号： 例如例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列偶排列奇排列奇排列式中的和式取遍式中的和式取遍1, 2, 3的全部排列的全部排列 j1 j
5、2 j3 。 于是，三阶行列式的展开式又可表为于是，三阶行列式的展开式又可表为 定义定义 个数个数 排成排成n行行n列，列，记为记为 称上面符号为称上面符号为n阶阶行列式行列式， 称之为第称之为第 i 行、第行、第 j 列的列的元素元素, 简称为简称为(i, j)-元元。n 阶行列式表示一个数，其值为阶行列式表示一个数，其值为 上面和式取遍上面和式取遍1, 2, n的全部排列的全部排列 j1 j2 jn。上式右端称为上式右端称为n 阶行列式的展开式阶行列式的展开式。 注注 当行列式的阶数当行列式的阶数 n4 时，对角线法则展开时，对角线法则展开行列式不再适用。行列式不再适用。定义定义 设设n阶
6、方阵阶方阵 则称则称n阶行列式阶行列式 为为方阵方阵 A的的行列式行列式，记为，记为 或或 。 例例3 3计算对角行列式计算对角行列式分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是从而这个项为零，从而这个项为零，所以所以 只能等于只能等于 , 同理可得同理可得解解即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为例例4 4 计算计算上三角行列式上三角行列式3+2+1=6分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解例例5 5同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式作业作业 习题四习题四(P209)： 5(2)(4), 6 (1) (1-5题均可作为练习题均可作为练习)
