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1、13.有些运动用动量矩比用动量更能反映其运动特征。如行星的运动：8-3动量矩和转动惯量动量矩和转动惯量有了动量定理，为什么还要讨论动量矩定理？1.刚体绕过质心的轴转动时 ，可见动量不能表征或度量这种运动。2.动量定理和质心运动定理讨论了外力系的主矢与质点系运动变化的关系，但未讨论外力系主矩对质点系运动变化的影响。开普勒定理：mv1r1= mv2r2 =常量2一动量矩一动量矩（质点或质点系动量对某点或某轴的矩，是度量质点或质点系绕某点或某轴运动强弱的物理量）1质点的动量矩质点的动量矩仿照力矩的定义：质点对点质点对点O的动量矩：的动量矩：矢量，瞬时量，指向符合右手螺旋法则。大小：hO=2OAM。单
2、位： kg2/s=Nms对固定点O：质点对轴质点对轴 z 的动量矩：的动量矩：对固定轴z3代数量，由右手螺旋法则确定正负。同力矩关系式一样：动量对一点的矩在过该点的任一轴上的投影等于动量对该轴的矩，即：2质点系的动量矩质点系的动量矩质系对点质系对点O动量矩动量矩：质点系中各质点对固定点动量矩的矢量和：质系对轴质系对轴z 动量矩：动量矩：质点系中各质点对固定轴动量矩的代数和：4并且有：注意：（a）计算质点系对某点（或轴）的动量矩，并不意味着质点系就绕该点（或轴）转动。 （b）是否有否否！ （c）如果刚体作平动，则可视为刚体作平动，则可视为一质点，其动量矩与质点动量矩相同一质点，其动量矩与质点动量
3、矩相同。5式中 称为刚体对z轴的转动惯量，恒为正。转动惯量，恒为正。即：定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积。3定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩对于任一点Mi，由于 z轴，且vi=ri，则整个刚体对z轴的动量矩：6(一一)转动惯量的概念转动惯量的概念二转动惯量二转动惯量1.定义定义：刚体内各质点的质量与各质点到某轴距离平方的乘积的总和，称为刚体对该轴的转动惯量。转动惯量与刚体的质量和质量分布情况以及点（或轴）的位置有关；恒为正标量；单位：kgm22.物理意义物理意义：刚体转动时惯性的度量。对于质量是连续分布的刚体，则78V型六缸四冲程汽油发动机型
4、六缸四冲程汽油发动机仿真模型仿真模型93. 回转半径回转半径由 所定义的长度z 称为刚体对 z 轴的回转半径或惯性半径惯性半径。若已知z ，则刚体的转动惯量为： 注意： z 不是刚体某一部分的具体尺寸，而是这样一个当量长度：假象地将刚体的质量集中在一个点上，如果这个点对某轴的转动惯量等于这个刚体对该轴的转动惯量，则这个点到该轴的距离就是这个刚体对该轴的回转半径。z为长度量纲。10类似：质点系各质点的质量与各质点到某点距离平方的乘积的总和，称为刚体对该点的转动惯量。(二二)计算转动惯量的一般公式计算转动惯量的一般公式取直角坐标系Oxyz，设刚体上任一点Mi：mi，（xi，yi，zi），则由定义：
5、11即：刚体对点的转动惯量等于刚体对通过该点的三个垂直轴的转动惯量之和的一半。对于平面薄板平面薄板：zi=0，即：平面薄板对点的转动惯量等于板对通过该点并在薄板内的相互垂直的两个轴的转动惯量之和。12对简单形状的均质刚体，用积分法对简单形状的均质刚体，用积分法 例例8 匀质细直杆长为l ,质量为M。求求：对z轴的转动惯量 。 （三）转动惯量的计算（三）转动惯量的计算解解： 2.对于可分为几个简单形状的均质刚体，先求出各部分对对于可分为几个简单形状的均质刚体，先求出各部分对指定轴（或点）的转动惯量再求总和指定轴（或点）的转动惯量再求总和组合法。组合法。 3.对于形状复杂或非均质刚体，可用实验方法
6、求转动惯量：扭摆法、复摆法。13三三. 平行移轴定理平行移轴定理同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。 刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。任一轴：z/z质心轴两轴距离14证明证明：设质量为M的刚体，质心为C，刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。15均质细杆：均质圆盘：对垂直于盘面的z、z 轴16解解：例例9图示复摆，已知图示复摆，已知均质细杆：均质细杆：m，l；有孔；有孔圆盘
7、：圆盘：M，R，r，求摆，求摆对过对过O点且垂直于图面点且垂直于图面的轴的转动惯量。的轴的转动惯量。请看动画18其中，盘的质量：孔的质量：198-4动量矩定理动量矩定理一质点的动量矩定理一质点的动量矩定理 质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。故：20将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得 上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。质点的动量矩守恒质点的动量矩守恒。21例如：（1）质点受有心力作用（作用线始终通过某固定点的力称
8、为有心力，此点称为力心），力对力心的矩始终等于零，则力对力心的动量矩守恒：如：行星的运动，行星所受到的力始终指向太阳。（2）小球绕固定轴转动r，v；r，v。22 质点系对任一固定点固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。二质点系的动量矩定理二质点系的动量矩定理左边交换求和与导数运算的顺序，一质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理对质点系，有对质点Mi ：将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影投影，得23 上式称为质点系对固定轴的动量矩定理质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一固
9、定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。 定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩变质点系的动量矩（但内力可以改变质点系中质点的动量矩）。质点系的动量矩守恒质点系的动量矩守恒（1）当 时，常矢量。（2）当 时，常量。讨论（a）对定轴转动刚体，若 ，则 常量，即=常量，匀速转动。 （b）对定轴转动的可变质点系，若 ，则 常量，Jz则， Jz 则 。24 例如：跳水运动员、芭蕾午演员、花样滑冰运动员，他们用伸展或收拢四肢的方法来改变旋转的速度。25直升飞机为什么要在尾部装竖直螺旋桨？262728例例10：两均质杆：长两均质杆：长
10、l=300mm，m1=2kg，铰接于转盘上；转盘：，铰接于转盘上；转盘：r=40mm，m2=4kg，对，对z轴的回转轴的回转半径半径r r=30mm。开始时杆由绳连接，。开始时杆由绳连接， 0=6rad/s。求由于绳断，两杆倒。求由于绳断，两杆倒至水平位置时系统的至水平位置时系统的 。29解解： ，HZ= 常量 或HZ 1= HZ 2，即： JZ 10= JZ 2（*）代入（*）式得=2.157rad/s30解解: 取整个系统为研究对象， 受力分析如图示。 运动分析： vA=vB =r由动量矩定理：例例11 均质轮（可视为均质圆盘）半径均质轮（可视为均质圆盘）半径r、重、重P，重物，重物A、B
11、分分别重别重PA、PB，且，且PA PB，求轮的，求轮的。 符号规定符号规定?请看动画32 例例12水轮机转轮绕铅直轴转动，进口水速度水轮机转轮绕铅直轴转动，进口水速度 , ,出口水出口水速度速度 , ,它们与切线夹角分别为它们与切线夹角分别为q q1 1、q q2 2 , ,水体积流量水体积流量Q。求。求水流对转轮的转动力矩。水流对转轮的转动力矩。3334设叶片数为n ,水密度为r,有经dt 时间,水由ABCD流到 abcd ，动量矩改变为：解：解：以两叶片间的水流ABCD为研究对象：此为水流所受力矩，水流对转轮的转动力矩与之等值反向。35 对于定轴转动刚体定轴转动刚体代入质点系动量矩定理：
12、刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程解决两类问题解决两类问题：（1）已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。（2）已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理或动量定理求解。三三刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程36 特殊情况特殊情况：若,则 恒量，刚体作匀速转动或保持静止。若 常量，则 =常量，刚体作匀变速转动。 将 与 比较，刚体的转动惯量 是刚体转动惯性的度量。37例例13 提升装置中，轮提升装置中，轮A重重P1 半径为半径为 r1 ，其上作用常力矩其上作用常力矩M1 ;轮轮B重重P2半径半径为为 r2; 物体物体C 重重P3 。
13、 A、B均可视为均均可视为均质圆盘。质圆盘。求求 物体物体C上升的加速度。上升的加速度。（2）取轮B连同物体C为研究对象解解: （1）取轮A为研究对象，由刚体定轴转动微分方程：38由动量矩定理：运动学条件：由(1) (3) 得：39例例14 两根两根质量各为质量各为8 kg的均质细杆的均质细杆固连成固连成T 字型，可绕通过字型，可绕通过O点的水平轴转动，当点的水平轴转动，当OA处于水平位置时处于水平位置时, T 形杆具有角速度形杆具有角速度 =4rad/s 。求。求该瞬时轴承该瞬时轴承O的反力。的反力。解解：选T 字型杆为研究对象。受力分析如图示。由刚体定轴转动微分方程其中：40根据质心运动微
14、分方程，得其中：418-5质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程一质点系相对于质心的动量矩定理一质点系相对于质心的动量矩定理 前面表述的动量矩定理，矩心或矩轴都是固定的，速度是绝对的。下面将证明：当质点系作一般运动时，以运动着以运动着的质心为矩心，或以过质心且作平动的轴为矩轴，动量矩定的质心为矩心，或以过质心且作平动的轴为矩轴，动量矩定理的形式不变。理的形式不变。 设质点系总质量为M，质心速度为vC。 任取一固定点O，将平动坐标系将平动坐标系Cxyz铰接在质心铰接在质心C上上。则质点系的运动可以分解为随质心的平动和相对于质心的运动。4
15、2研究任一质点Mi：Mi的位置：Mi的绝对速度：式中：1.质点系对固定点质点系对固定点O的动量矩的动量矩43质心相对于动坐标系原点的矢径质心相对于动坐标系原点的速度动坐标系原点为质心C又质点系相对于质心的动质点系相对于质心的动量矩量矩质点系对任一固定点的动量矩质点系对任一固定点的动量矩即：质点系对任一固定点的动量矩等于质心对该点的动量矩与质点系相对于质心的动量矩的矢量和。44对固定轴，有：z过质心且平行于z轴的轴即：质点系对任一固定轴的动量矩，等于质心对该轴的动量矩质点系对任一固定轴的动量矩，等于质心对该轴的动量矩与质点系相对于过质心并与该轴平行的轴的动量矩的代数和。与质点系相对于过质心并与该
16、轴平行的轴的动量矩的代数和。由此的刚体动量矩计算：刚体动量矩计算：（1）平动：）平动：仿照力矩的计算仿照力矩的计算：（2）定轴转动：）定轴转动：（3）平面运动：）平面运动：45例如：求半径R重W且作纯滚动的均质圆盘对滑轮轴的动量矩。取过O且垂直于图面的轴z轴，则462.质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩定理于是，由（*） 或47 质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系。的关系。即：质点系对质心的动量
17、矩对时间的导数，等于作用在质点系即：质点系对质心的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对质心矩的矢量和。上所有外力对质心矩的矢量和。这就是质点系相对质心的动量矩定理。 质点系相对于质心的动量矩的改变，只与作用在质点系上质点系相对于质心的动量矩的改变，只与作用在质点系上的外力有关，而与内力无关。的外力有关，而与内力无关。将上式向过质心且随同质心作平动的坐标系过质心且随同质心作平动的坐标系的各轴投影：48二刚体平面运动微分方程二刚体平面运动微分方程 设有一刚体在外力系 作用下作平面运动，它的运动可以简化为平面图形S的运动来研究：刚体质心C位于平面图形S内，而且作用在刚体上的外力系可以简化
18、为一个作用在此平面图形上的平面一般力系。平面图形的运动可视为平面图形随质心的平动(xC , yC)和绕质心的转动（） 。由质心运动定理和相对质心的动量矩定理：49写成投影形式投影形式或上式称为刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程。50*例例15 质量为质量为m半径为半径为R的的均质圆轮均质圆轮放于倾角为放于倾角为 的斜面上，的斜面上，由静止开始运动由静止开始运动。设设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数为轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数为f、 f ，不计滚动摩阻，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。试分析轮的运动。解解：取轮为研究对象。 受力分析如图示。 取直角坐标系 Oxy aC y =0，aC x
19、=aC， 轮作平面运动，根据刚体平面运动微分方程，有三个方程中含有四个未知数，需补充附加条件。511设轮作纯滚动设轮作纯滚动（接触面足够粗糙），aC=e e R，所以可解得轮作纯滚动的条件：轮作纯滚动的条件：2设轮又滚又滑设轮又滚又滑（此时 ），F=fN，可解得52动量矩定理的应用动量矩定理的应用应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题：（对单轴传动系统尤为方便）1已知已知质点系的运动运动，求求系统所受的外力或外力矩。外力或外力矩。2已知已知质点系所受的外力矩外力矩是常力矩或时间的函数，求求刚体的角加速度角加速度或角速度的改变。3已知已知质点系所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代外力矩在某
20、轴上的投影代数和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。数和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。53 例例16重重W长长l的均质细杆的均质细杆AB，放在铅直平面内，两端分别沿光，放在铅直平面内，两端分别沿光滑的铅直墙和水平地面滑动，试求杆的角加速度和滑的铅直墙和水平地面滑动，试求杆的角加速度和A、B处的约处的约束力。设束力。设t=0时，时， 0=0。解解（1）以AB杆（平面运动）为研究对象。 （2）受力如图。xy （3）选轴建立平面运动微分方程：54三个方程五个未知量，故须建立补充方程：xy （4）解方程由式得： 55将代入得： （逆时针）将代入，得： 56（取正，逆时针）由得：讨
21、论（1） ，NA。所以当大到一定程度时，A端会脱离墙。57（2）由式xyI表明：平面运动刚体，可以对速度瞬心平面运动刚体，可以对速度瞬心直接应用动量矩定理。条件为：速度瞬直接应用动量矩定理。条件为：速度瞬心到质心的距离保持不变。心到质心的距离保持不变。58例例17 重重P长长l的均质杆的均质杆AB在光滑水平面上从图示位置无初速在光滑水平面上从图示位置无初速地倒下，求开始运动时地面对杆的约束反力。地倒下，求开始运动时地面对杆的约束反力。解解：以杆为研究对象：将杆放在任意位置研究。由刚体平面运动微分方程：59补充方程：由（1）：aCx=0杆开始静止， 即vCx=0 xC=0常量（杆质心在x方向守恒
22、）（也可以用 或以A点为基点的加速度合成的方法求 ）当= 0时，=0。由（1）（4）联立解得：60*例例18 均质圆柱体均质圆柱体A和和B的重量均为的重量均为P，半径均为，半径均为r，一绳缠在，一绳缠在绕固定轴绕固定轴O转动的圆柱转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱上，绳的另一端绕在圆柱B上，绳重上，绳重不计且不可伸长，不计轴不计且不可伸长，不计轴O处处摩擦。（习题集）摩擦。（习题集）求求（1） 圆柱圆柱B下落时质心的加速度。下落时质心的加速度。（2） 若在圆柱体若在圆柱体A上作用一逆时针转向的转矩上作用一逆时针转向的转矩M，试问在什，试问在什么条件下圆柱么条件下圆柱B的质心将上升。的质心将上升。61由动量矩定理：补充运动学关系式：代入上式，得当M 2Pr 时， ，圆柱B的质心将上升。解：解：取系统为研究对象当M=0时，得 ，表明 实际指向向下。62研究刚体平面运动的动力学问题，一定要建立补充方程，找出质心运动与刚体转动之间的联系。应用动量矩定理列方程时, 要特别注意正负号的规定的一致性。 谢谢观看2018.06.10谢谢打赏支持希望本文章对您有所帮助！
