第24课 矩形、菱形与正方形 基础知识 自主学习1．有一个角是的平行四边形是矩形．矩形的四个角都是，对角线．矩形的判定方法： (1)有三个角是的四边形； (2)是平行四边形且有一个角是； (3) 的平行四边形； (4) 的四边形．要点梳理要点梳理直角直角直角直角相等且互相平分相等且互相平分直角直角直角直角对角线相等对角线相等对角线相等且互相平分对角线相等且互相平分 2．有一组的平行四边形叫做菱形．菱形的四条边都，对角线，且每一条对角线．菱形的判定方法：(1)四条边都；(2)有一组的平行四边形；(3)对角线的平行四边形；(4)对角线的四边形．邻边相等邻边相等相等相等互相垂直平分互相垂直平分平分一组对角平分一组对角相等相等邻边相等邻边相等互相垂直互相垂直互相垂直平分互相垂直平分 3．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形的四个角都是，四条边都，两条对角线，并且．每一条对角线．正方形的判定方法：(1)邻边相等的；(2)有一角是直角的．直角直角相等相等互相垂直平分互相垂直平分平分一组对角平分一组对角相等相等矩形矩形菱形菱形 [难点正本 疑点清源] 平行四边形与矩形、菱形、正方形的联系与区别 以平行四边形为基础，从边、角、对角线等不同角度进行演变，我们可得出矩形、菱形、正方形这些特殊的平行四边形，它们之间既有联系又有区别． 矩形判定方法的使用：在平行四边形的基础上，增加“一个角是直角”或“对角线相等”的条件可为矩形；若在四边形的基础上，则需有三个角是直角(第四个角必是直角)则可判定为矩形． 菱形判定方法的使用：在平行四边形的基础上，增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件可为菱形；若在四边形的基础上，需有四边相等则可判定为菱形． 正方形的判定可简记为：菱形＋矩形＝正方形，其证明思路有两个：先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形)；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形)． 基础自测1．(2011·乌兰察布)如图，已知矩形ABCD ，一条直线将该矩形ABCD 分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M 和N ，则M＋N 不可能是( ) A．360° B．540° C．720° D．630° 答案 D 解析 当直线将矩形分割成两个三角形时，有M＝N＝180°，M＋N＝360°；当直线将矩形分割成一个三角形和一个四边形时，不妨设M＝180°，N＝360°，则M＋N＝540°；当直线将矩形分割成两个四边形，有M＝N＝360°，则M＋N＝720°.所以M＋N不可能是630°. 2．(2011·大理)用两块边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是( ) A．等腰梯形B．菱形C．矩形D．正方形答案 B 解析 两个等边三角形可拼成菱形． 3．(2011·天津)如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为( ) A．15° B．30° C．45° D．60° 答案 C 4．(2011·茂名)如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是( ) A．3公里B．4公里C．5公里D．6公里答案 B 解析 连接AC，因为AB＝BC＝CD＝DA，所以四边形ADCD是菱形，CA平分∠DAB，点C到l1的距离等于点C到l2的距离，故选B. 答案 答案 A 题型分类 深度剖析【例1】 如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE＝AB，过C作CF⊥DE，垂足为F. (1)猜想：AD与CF的大小关系；(2)请证明上面的结论．题型一 矩形题型一 矩形 解 (1)AD＝CF. (2)在矩形ABCD中，AB∥CD，且AB⊥CD ，∠A＝90°，∴∠CDF＝∠AED. 又∵DE＝AB，∴DE＝CD. ∵CF⊥DE，∴∠A＝∠DFC＝90°，∴△ADE≌△FCD，∴AD＝CF.探究提高探究提高 矩形四个角都是直角，抓住这一特征，证两 矩形四个角都是直角，抓住这一特征，证两个直角三角形全等；矩形的对角线将其分成若干个特殊个直角三角形全等；矩形的对角线将其分成若干个特殊三角形．三角形． 知能迁移1 (2011·滨州)如图，△ABC中，点O是AC边上(端点除外)的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论． 解 当点O运动到AC的中点(或OA＝OC)时，四边形AECF是矩形．证明：∵CE平分∠BCA，∴∠1＝∠2. 又∵MN∥BC, ∴∠1＝∠3，∴∠3＝∠2，∴EO＝CO. 同理，FO＝CO. ∴EO＝FO. 又∵OA＝OC, ∴四边形AECF是平行四边形．∵∠1＝∠2，∠4＝∠5，∴∠1＋∠5＝∠2＋∠4. 又∵∠1＋∠5＋∠2＋∠4＝180°，∴∠2＋∠4＝90°. ∴□AECF是矩形． 题型二 菱形【例2】 如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F.请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想． 解 DE＝DF. 证明：连接BD，在菱形ABCD中，BD平分∠ABC，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF.探究提高 此题可以证明△ADE≌△CDF，得DE＝DF；或者连接BD，由“角平分线上的点到角两边的距离相等”证明DE＝DF. 知能迁移2 (2011·济宁)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．解 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠EDO＝∠FBO, ∠OED＝∠OFB，∴△OED≌△OFB，∴DE＝BF. 又∵ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．∵EF⊥BD，∴平行四边形BEDF是菱形． 题型三 正方形【例3】 (2010·青海)如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F. (1)求证：△AOE≌△BOF；(2)如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A1B1C1O绕O点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？ 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 探究提高 正方形具有四边形、平行四边形、矩形及菱形的一切性质，它们之间既有联系又有区别，其各自的性质和判定是中考的热点． 知能迁移3 (2011·舟山)以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH. (1)如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状(不要求证明)；(2)如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC＝α(0°＜α＜90°). ①试用含α的代数式表示∠HAE；②求证：HE＝HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由. 解 (1)四边形EFGH是正方形． (2)①∠HAE＝90°＋α. 证明：在▱ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD＝180°－∠ADC＝180°－α. ∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD＝∠EAB＝45°，∴∠HAE＝360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD ＝360°－45°－45°－(180°－α)＝90°＋α. ③四边形EFGH是正方形．理由如下：由②同理可得：GH＝GF，FG＝FE. ∵HE＝HG(已证)，∴GH＝GF＝EH＝FE，∴四边形EFGH是菱形．∵△HAE≌△HDG(已证)，∴∠DHG＝∠AHE. 又∵∠AHD＝∠AHG＋∠DHG＝90°，∴∠EHG＝∠AHG＋∠AHE＝90°，∴菱形EFGH是正方形． 题型四 特殊平行四边形综合题 探究提高 在判定矩形、菱形或正方形时，要弄清是在“四边形”，还是在“平行四边形”的基础上来求证的，要熟悉各判定定理之间的联系与区别，解答此类问题要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，确定一种解决问题的方法，这里方程的思想很重要． 知能迁移4 (2011·宿迁)如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t(0≤t≤2)，线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F. (1)当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；(2)顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值． 解 (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB. ∵QE⊥AB，MF⊥BC，∴∠AEQ＝∠MFB＝90°. ∴四边形ABFM、AEQD都是矩形．∴MF＝AB，QE＝AD，MF⊥QE. 又∵PQ⊥MN，∴∠EQP＝∠FMN. 又∵∠QEP＝∠MFN＝90°，∴△PEQ≌△NFM. 易错警示试题 在△ABC的两边AB、AC上向形外作正方形ABEF、ACGH，过点A作BC的垂线分别交BC于点D，交FH于M，求证：FM＝MH.学生答案展示 如图，∵四边形ABEF与四边形ACGH都是正方形，∴AF＝AB，AH＝AC. 又∵∠FAH＝∠BAC，∴△AFH≌△ABC.∴∠5＝∠2. ∵∠3＋∠1＝90°，∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠5. ∵∠1＝∠4，∴∠4＝∠5. ∴AM＝FM.同理，AM＝AH，故FM＝MH.15．不认真画图导致错误 剖析 上述解法错在将∠BAC画成了直角(题中没有这个条件！)从而导致∠FAH、∠BAC和∠1、∠4分别成为对顶角，不认真画图，匆匆忙忙进行推理，就很容易犯错误． 正解 分别过F、H画FK⊥MD，HL⊥MD，垂足为K、L. ∵四边形ACGH是正方形，∴AC＝AH，∠CAH＝90°，∴∠1＋∠2＝90°. ∵AD⊥BC，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3. 又∵∠HLA＝∠ADC＝90°，∴△AHL≌△CAD.∴HL＝AD. 同理：△AFK≌△BAD. ∴FK＝AD.∴FK＝HL. 又∵∠FMK＝∠HML，∠FKM＝∠HLM＝90°，∴△FMK≌△HML. ∴FM＝MH. 批阅笔记 证明一个几何命题时，一般要先根据题意画出图形，但画图时应严格根据题设条件，不能将一般的图形画成一个特殊图形，否则在证明时就容易受所画图形干扰而导致错误. 思想方法 感悟提高方法与技巧 1. 平行四边形是中心对称图形，这是它的本质特征．矩形、菱形、正方形作为特殊的平行四边形，不仅具有平行四边形的特征，而且它们都是轴对称图形，分别具有一些独特的性质． 2. 利用一般与特殊的关系，明确各四边形的从属关系，系统掌握特殊平行四边形的性质定理和判定定理． 失误与防范 1．在判定矩形、菱形或正方形时，要明确是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础之上来求证的．要熟悉各判定定理的联系和区别，解决此类问题时要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，最后确定用哪一种判定方法是解决这类问题的关键． 2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，常将它与直角三角形的其他性质联合运用，解决直角三角形中的计算或论证问题． 完成考点跟踪训练24 。
