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1、第第6 6章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIRIIR） 数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法 6.1基本概念基本概念6.2IIR滤波器设计的特点滤波器设计的特点6.3用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计IIR数字滤波器数字滤波器6.4用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字滤波器数字滤波器6.5设计设计IIR滤波器的频率变换法滤波器的频率变换法6.6先利用模拟域频带变换法，再利用数字化法设计数字各型滤波器先利用模拟域频带变换法，再利用数字化法设计数字各型滤波器6.1基本概念基本概念一、一、滤波器的分类滤波器的分类数数字字滤滤波波器器是是数数字字信信号号处处理理的的
2、重重要要基基础础。在在对对信信号号的的过过滤滤、检检测测与与参参数数的的估估计计等等处处理理中中,数数字字滤滤波波器器是是使使用用最最广广泛泛的的线线性性系系统。统。数数字字滤滤波波器器是是对对数数字字信信号号实实现现滤滤波波的的线线性性时时不不变变系系统统。它它将将输输入入的的数数字字序序列列通通过过特特定定运运算算转转变变为为输输出出的的数数字字序序列列。因因此此，数字滤波器本质上是一台完成特定运算的数字计数字滤波器本质上是一台完成特定运算的数字计算机。算机。 由第1章已经知道，一个输入序列x(n)，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变系统后，其输出响应y(n)为 将上式两边经过傅里
3、叶变换，可得 式中，Y(ej)、X(ej)分别为输出序列和输入序列的频谱函数， H(ej)是系统的频率响应函数。 b=1;a=1,-0.9; %y(n)-0.9y(n-1)=x(n)， 即即H(Z)=1/(1-0.9z)x=ones(1,10),zeros(1,40);y=filter (b, a, x);N=64;X=fft(x,N);Y=fft(y,N); 可可以以看看出出，输输入入序序列列的的频频谱谱X(ej)经经过过滤滤波波后后，变变为为X(ej)H(ej)。如如果果|H(ej)|的的值值在在某某些些频频率率上上是是比比较较小小的的，则则输输入入信信号号中中的的这这些些频频率率分分量量
4、在在输输出出信信号号中中将将被被抑抑制制掉掉。因因此此，只只要要按按照照输输入入信信号号频频谱谱的的特特点点和和处处理理信信号号的的目目的的，适适当当选选择择H(ej)，使使得得滤滤波波后后的的X(ej)H(ej)符符合合人人们们的的要要求求，这这就就是是数数字字滤滤波波器器的的滤滤波波原原理理。和和模模拟拟滤滤波波器器一一样样，线线性性数数字字滤滤波波器器按按照照频频率率响响应应的的通通带带特特性性可可划划分分为为低低通通、高高通通、带带通通和和带带阻阻几几种种形形式式。它它们们的的理理想想模模式式如如图图6-1所示。（系统的频率响应所示。（系统的频率响应H(ej)是以是以2为周期的。为周期
5、的。) 图 6-1 数字滤波器的理想幅频特性 满满足足奈奈奎奎斯斯特特采采样样定定理理时时，信信号号的的频频率率特特性性只只能能限限带带于于|的的范范围围。由由图图6-1可可知知，理理想想低低通通滤滤波波器器选选择择出出输输入入信信号号中中的的低低频频分分量量，而而把把输输入入信信号号频频率率在在c范范围围内内所所有有分分量量全全部部滤滤掉掉。相相反反地地，理理想想高高通通滤滤波波器器使使输输入入信信号号中中频频率率在在c范范围围内内的的所所有有分分量量不不失失真真地地通通过过，而而滤滤掉掉低低于于c的的低低频频分分量量。带通滤波器只保留介于低频和高频之间的频率分量。带通滤波器只保留介于低频和
6、高频之间的频率分量。二、二、滤波器的技术指标滤波器的技术指标理想滤波器是不能实现的，理想滤波器是不能实现的，但在概念上极为重要。但在概念上极为重要。一一般般来来说说，滤滤波波器器的的性性能能要要求求往往往往以以频频率率响响应应的的幅幅度度特特性性的的允允许许误误差差来来表表征征。以以低低通通滤滤波波器器为为例例，如如图图6-2（称称误误差差容容限限图图）所所示示，频频率率响响应应有有通通带带、过过渡渡带带及及阻阻带带三三个个范范围围（而而不不是是理理想想的的陡陡截截止止的的通通带带、阻阻带带两两个个范范围围）。图图中中1为为通通带带的的容容限限，2为为阻带的容限。阻带的容限。图图6-2低通滤波
7、器频率响应幅度特性的误差容限图低通滤波器频率响应幅度特性的误差容限图 1在通带内，幅度响应以误差在通带内，幅度响应以误差1逼近于逼近于1，即，即 在阻带内，幅度响应以误差小于在阻带内，幅度响应以误差小于2而逼近于零，即而逼近于零，即 st|c 式式中中，c,st分分别别为为通通带带截截止止频频率率和和阻阻带带截截止止频频率率，它它们们都都是是数数字字域域频频率率。幅幅度度响响应应在在过过渡渡带带（st-c）中中从从通通带带平平滑滑地地下下降到阻带，过渡带的频率响应不作规定。降到阻带，过渡带的频率响应不作规定。 虽虽然然给给出出了了通通带带的的容容限限1及及阻阻带带的的容容限限2，但但是是，在在
8、具具体体技技术术指指标标中中往往往往使使用用通通带带允允许许的的最最大大衰衰减减（波波纹纹）Ac和和阻阻带带应应达达到的最小衰减到的最小衰减As描述，描述，Ac及及As的定义分别为：的定义分别为：（6-3a） （6-3b） 式式中中，假假定定|H(ej0)|=1(已已被被归归一一化化)。例例如如|H(ej)|在在c处处满满足足|H(ejc)|=0.707，则则Ac=3dB；在在st处处满满足足|H(ejst)|=0.001，则则As=60dB（参考图参考图6-2）。）。(注：注：lg是是log10的规范符号表示的规范符号表示。)三、三、FIR型滤波器和型滤波器和IIR型滤波器型滤波器 数数字字
9、滤滤波波器器按按单单位位脉脉冲冲响响应应h(n)的的时时域域特特性性可可分分为为无无限限长长脉脉冲冲响响应应IIR（InfiniteImpulseResponse）滤滤波波器器和和有有限限长长脉脉冲冲响响应应FIR（FiniteImpulseResponse）滤波器。滤波器。 IIR滤波器一般采用递归型的实现结构。其滤波器一般采用递归型的实现结构。其N阶递归型数字阶递归型数字滤波器的差分方程为滤波器的差分方程为（6-4） 式（6-4）中的系数ak至少有一项不为零。 ak0 说明必须将延时的输出序列反馈回来，也即递归系统必须有反馈环路。相应的IIR滤波器的系统函数为 （6-5） IIR滤波器的系
10、统函数滤波器的系统函数H(z)在在Z平面上不仅有零点，而且有极点。平面上不仅有零点，而且有极点。 FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)是有限长的，即0nN-1， 该系统一般采用非递归型的实现结构，但如果系统函数中出现零、 极点相消时, 也可以有递归型的结构(如频率采样结构)。FIR滤波器的系统函数为 （6-6） 由式（6-6）可知，H(z)的极点只能在Z平面的原点。 四、四、滤波器的设计步骤滤波器的设计步骤 按照实际任务要求，按照实际任务要求，确定滤波器的性能指标。确定滤波器的性能指标。用用一一个个因因果果稳稳定定的的离离散散线线性性时时不不变变系系统统的的系系统统函函数数H(z)去去逼逼近近这
11、这一一性性能能要要求求。根根据据不不同同要要求求可可以以用用IIR系系统统函函数数，也也可可以以用用FIR系统函数去逼近。系统函数去逼近。实实现现所所设设计计的的H(z)。包包括括选选择择运运算算结结构构（如如第第5章章中中的的各各种种基基本本结结构构），选选择择合合适适的的字字长长（包包括括系系数数量量化化及及输输入入变变量量、中中间间变变量量和和输输出出变变量量的的量量化化）以以及及有有效效数数字字的的处处理理方方法法（舍舍入入、截尾）等。截尾）等。6.2IIR滤波器设计的特点滤波器设计的特点IIR滤波器的系统函数又可以用极、零点表示如下：滤波器的系统函数又可以用极、零点表示如下： 一般满
12、足一般满足MN，这类系统称为这类系统称为N阶系统。阶系统。 IIR滤滤波波器器的的系系统统函函数数的的设设计计就就是是确确定定各各系系数数ak,bk或或零零极极点点ck，dk和和A，以以使使滤滤波波器器满满足足给给定定的的性性能能要要求求。通通常常有有以以下下两两种种方法：方法： 1）利用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器利用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器首首先先，设设计计一一个个合合适适的的模模拟拟滤滤波波器器；然然后后，变变换换成成满满足足预预定定指指标标的的数数字字滤滤波波器器。这这种种方方法法很很方方便便，因因为为模模拟拟滤滤波波器器已已经经具具有有很很多多简简单单而而又又现现成成的的
13、设设计计公公式式，并并且且设设计计参参数数已已经经表表格格化化了，了，设计起来既方便又准确。设计起来既方便又准确。2）最优化设计法最优化设计法 最优化设计法一般分两步来进行最优化设计法一般分两步来进行:第第一一步步要要选选择择一一种种最最优优准准则则。例例如如，选选择择最最小小均均方方误误差差准准则则。它它是是指指在在一一组组离离散散的的频频率率i(i=1,2,M)上上，所所设设计计出出的的实实际际频频率率响响应应幅幅度度|H(ej)|与与所所要要求求的的理理想想频频率率响响应应幅幅度度|Hd(ej)|的均方误差的均方误差最小。最小。此外还可以有其他许多种误差最小的准则，如最大误差最小准则等。
14、此外还可以有其他许多种误差最小的准则，如最大误差最小准则等。 第第二二步步，求求在在此此最最佳佳准准则则下下滤滤波波器器系系统统函函数数的的系系数数ak,bk。一一般般是是通通过过不不断断改改变变滤滤波波器器系系数数ak、bk，分分别别计计算算;最最后后，找找到到使使为为最最小小时时的的一一组组系系数数ak,bk，从从而而完完成成设设计计。这这种种设设计计需需要要进进行行大大量量的的迭迭代代运运算算，故故离离不不开开计计算算机机。所所以以最最优优化化方方法法又又称称为为计算机辅助设计算机辅助设计法。计法。 本本章章着着重重讨讨论论第第一一种种方方法法。利利用用模模拟拟滤滤波波器器来来设设计计数
15、数字字滤滤波波器器，就就是是从从已已知知的的模模拟拟滤滤波波器器传传递递函函数数Ha(s)设设计计数数字字滤滤波波器器的的系系统统函函数数H(z)。因因此此，它它归归根根结结底底是是一一个个由由S平平面面映映射射到到Z平平面面的的变变换换，这这个个变变换换通通常常是是复复变变函函数数的的映映射射变变换换，这这个个映映射射变变换必须满足以下两条基本要求：换必须满足以下两条基本要求：（1）H(z)的的频频率率响响应应要要能能模模仿仿Ha(s)的的频频率率响响应应，也也即即S平平面面虚虚轴轴j必须映射到必须映射到Z平面的单位圆平面的单位圆z=ej上。上。（2）因因果果稳稳定定的的Ha(s)应应能能映
16、映射射成成因因果果稳稳定定的的H(z)，也也即即S平平面面的左半平面的左半平面Res0必须映射到必须映射到Z平面单位圆的内部平面单位圆的内部|z|1。下下面面分分别别讨讨论论由由模模拟拟滤滤波波器器设设计计IIR数数字字滤滤波波器器的的两两种种常常用用的的变变换换方方法法：冲冲击击响响应应不不变变法法和和双双线线性性变变换换法法。FIR数数字字滤滤波波器器的的设设计计方方法法与与IIR数数字字滤滤波波器器设设计计方方法法明明显显不不同同，这这将将在在下下一一章章中介绍。中介绍。6.3用冲激响应不变法设计用冲激响应不变法设计IIR数字滤波器数字滤波器一、一、变换原理变换原理 利用模拟滤波器来设计
17、数字滤波器，也就是使数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种模仿可以从不同的角度出发。 冲激响应不变法是从滤波器的冲激响应出发，使数字滤波器的单位冲激响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t)，即将ha(t)进行等间隔采样，使h(n)正好等于ha(t)的采样值，满足 h(n)=ha(nT) 式中, T是采样周期。 如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯变换，H(z)为h(n)的Z变换，利用第1章采样序列的Z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系，得 则可看出，冲激响应不变法将模拟滤波器的S平面变换成数字滤波器的Z平面，这个从s到z的变换z=esT正是第1章中从S平面变换到Z平面的标准变换关系
18、式。 图6-3 冲激响应不变法的映射关系 二、二、混叠失真混叠失真数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为 这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。正如第1章采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即 才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即 |但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的， 变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，如图6-4所示。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。当当模模拟拟滤滤波波器器的的频频
19、率率响响应应在在折折叠叠频频率率以以上上处处衰衰减减越越大大、越越快快时时，变变换换后后频频率率响响应应混混叠叠失失真真就就越越小小。这时，采用冲激响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。 图6-4 冲激响应不变法中的频响混叠现象 对某一模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)进行采样，采样频率为fs，若使fs增加，即令采样时间间隔（T=1/fs）减小，则系统频率响应各周期延拓分量之间相距更远，因而可减小频率响应的混叠效应。 三、三、模拟滤波器的数字化方法模拟滤波器的数字化方法 由于冲激响应不变法要由模拟系统函数Ha(s)求拉普拉斯反变换得到模拟的冲激响应ha(t)，然后采样后得到h(n)=h
20、a(nT)，再取Z变换得H(z)，过程较复杂。下面我们讨论如如何何由由冲冲激激响响应应不不变变法的变换原理将法的变换原理将Ha(s)直接转换为数字滤波器直接转换为数字滤波器H(z)。 设模拟滤波器的系统函数Ha(s)只有单阶极点，且假定分母的阶次大于分子的阶次（一般都满足这一要求，因为只有这样才相当于一个因果稳定的模拟系统），因此可将 其相应的冲激响应ha(t)是Ha(s)的拉普拉斯反变换，即 式中, u(t)是单位阶跃函数。 在冲激响应不变法中，要求数字滤波器的单位脉冲响应等于对ha(t)的采样，即 对h(n)求Z变换，即得数字滤波器的系统函数 将Ha(s)和H(z)加以比较，可以看出： （
21、1）S平面的每一个单极点s=sk变换到Z平面上z=eskT处的单极点。 （2） Ha(s)与H(z)的部分分式的系数是相同的，都是Ak。 （3）如果模拟滤波器是因果稳定的，则所有极点sk位于S平面的左半平面，即Resk0， 则变换后的数字滤波器的全部极点在单位圆内，即|eskT|=eReskT1， 因此数字滤波器也是因果稳定的。 （4）虽然冲激响应不变法能保证S平面极点与Z平面极点有这种代数对应关系，但是并不等于整个S平面与Z平面有这种代数对应关系，特别是数字滤波器的零点位置就与模拟滤波器零点位置没有这种代数对应关系，而是随Ha(s)的极点sk以及系数Ak两者而变化。 数字滤波器频率响应幅度还
22、与采样间隔T成反比： | 如果采样频率很高，即T很小，数字滤波器可能具有太高的增益，这是不希望的。为了使数字滤波器增益不随采样频率而变化，可以作以下简单的修正，令 h(n)=Tha(nT) 则有: 例例6-1 设模拟滤波器的系统函数为 试利用冲激响应不变法将Ha(s)转换成IIR数字滤波器的系统函数H(z)。 解解 ： 数字滤波器的系统函数为 设T=1，则有 模拟滤波器的频率响应Ha(j)以及数字滤波器的频率响应H(ej)分别为: 把|Ha(j)|和|H(ej)|画在图上。由该图可看出，由于Ha(j)不是充分限带的，所以H(ej)产生了严重的频谱混叠失真。 图6-5 例题中的幅频特性 四、 优
23、缺点 从以上讨论可以看出，冲激响应不变法使得数字滤波器的单位冲激响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率和数字频率之间呈线性关系=T。 因而，一个线性相位的模拟滤波器通过冲激响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器。 冲激响应不变法的最大缺点是有频率响应的混叠效应。所以， 冲冲激激响响应应不不变变法法只只适适用用于于限限带带的的模模拟拟滤滤波波器器(例如，衰减特性很好的低低通通或或带带通通滤滤波波器器)，而且高频衰减越快，混叠效应越小。如果要对高通和带阻滤波器采用冲激响应不变法， 就必须先对高高通通和和带带阻阻滤滤波波器器加一保护滤波器，滤掉高于折叠频率以上
24、的频率，然后再使用冲激响应不变法转换为数字滤波器。当然这样会进一步增加设计复杂性和滤波器的阶数。 6.4用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字滤波器数字滤波器一、一、变换原理变换原理 冲激响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从S平面到平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-/T/T之间，再用z=esT转换到Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-/T/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，
25、消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图6-6所示。 图图6-6双线性变换的映射关系双线性变换的映射关系 第一次变换：频率压缩第二次变换：数字化n n双线性变换法的映射规则：（1）频率压缩：把整个S平面压缩变换到某一中介的S1平面的一条横带里。n n（2）数字化：将S1平面通过标准变换关系 变换到z平面。（1）频率压缩）频率压缩n n把整个S平面压缩变换到某一中介的S1平面的一条横带里。（2）数字化）数字化n n将将S S1 1平面通过标准变换关系变换到平面通过标准变换关系变换到z z平面。平面。这时这时S 平面与平面与Z平面之间为单值映射关系，这种变换就称为双线性变换。平面之间
26、为单值映射关系，这种变换就称为双线性变换。二、变换常数二、变换常数c的选择的选择 调节调节c c，可使可使AFAF与与DFDF在不同频率点处有对应的关系。在不同频率点处有对应的关系。n n（a a）使使AFAF与与DFDF在低频处有较确切的对应关系。在低频处有较确切的对应关系。在低在低频处有频处有三、三、逼近的情况逼近的情况 双线性变换符合上节中提出的映射变换应满足的两点要求。 （1）首先, 把z=ej代入式 ，可得 即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。 （2） 其次，将s=+j代入式 ，得 因此 由此看出，当0时， |z|0时，|z|1。也就是说， S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S
27、平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。 因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。 四、四、优缺点优缺点 双线性变换法与冲激响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个j轴单值地对应于Z平面单位圆一周， 即频率轴是单值变换关系。这个关系下式所示，重写如下： 上式表明，S平面上与Z平面的成非线性的正切关系，如图6-7所示。 图6-7 双线性变换法的频率变换关系 由图6-7看出，在零频率附近，模拟角频率与数字频率之间的变换关系接近于线性关系；但当进一步增加时，增长得越来越
28、慢，最后当时，终止在折叠频率=处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象， 从而消除了频率混叠现象。 但是双线性变换的这个特点是靠频率的严严重重非非线线性性关关系系而得到的。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。首先，一一个个线线性性相相位位的的模模拟拟滤滤波波器器经经双双线线性性变变换换后后得得到到非非线线性性相相位位的的数数字字滤滤波波器器，不不再再保保持持原原有有的的线线性性相相位位了了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分分段段常常数数型型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型
29、滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图 6-8 所示。 图 6-8 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射 对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变， 这种频率的畸变，可以通过频率的预畸来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变， 然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。 图 6-9 双线性变换时频率的预畸变 （1） 如果给出的是待设计的带通滤波器的数字域转折频率（通、 阻带截止频率）1、2、3、4及采样频率(1/T)，则直接利用式 计算出相应的模拟滤波器的转折频率
30、1、2、3和4。这样得到的模拟滤波器Ha(s)的转折频率1、2、3和4，经双线性变换后就映射到数字滤波器H(z)的原转折频率1、2、3和4。 如果给出的是待设计的带通滤波器的模拟域转折频率（通、 阻带截止频率）f1、f2、f3、f4和采样频率(1/T)，则需要进行频率预畸变。 首先，利用下式计算数字滤波器的转折频率（通、阻带截止频率）、2、3 和4。 再利用式 对频率预畸变，得到预畸变后的模拟滤波器的转折频率1、 3和4。这样得到的模拟滤波器Ha(s)的转折频率、2、3和4, 经双线性变换后映射到数字滤波器H(z)的转折频率1、2、 3、4，并且能保证数字域频率1、2、3、4与给定的模拟域转折
31、频率f1、f、f、f4成线性关系。（2） 按1、2、3和4等指标设计模拟滤波器的系统函数Ha(s)。 （3）将 代入Ha(s)，得H(z)为 其频率响应为 上述这些步骤比用脉冲响应不变法设计滤波器要简便得多。 需要特别强调的是，若模拟滤波器Ha(s)为低通滤波器，应用变换得到的数字滤波器H(z)也是低通滤波器； 若Ha(s)为高通滤波器，应用 变换得到的数字滤波器H(z)也是高通滤波器; 若为带通、带阻滤波器也是如此。 在IIR数字滤波器的设计中，当强调模仿滤波器的瞬态响应时，采用冲激响应不变法较好; 而在其余情况下，大多采用双线性变换法。 五、模拟滤波器的数字化方法五、模拟滤波器的数字化方法
32、 双线性变换法比起冲激响应不变法来，在设计和运算上也比较直接和简单。由于双线性变换法中，s到z之间的变换是简单的代数关系，所以可以直接将式 代入到模拟系统传递函数， 得到数字滤波器的系统函数， 即 频率响应也可用直接代换的方法得到 若阶数较高，这时将H(z)整理成需要的形式，就不是一件简单的工作。为简化设计，一方面， 可以先将模拟系统函数分解成并并联联的的子子系系统统函函数数（子系统函数相加）或级级联联的的子子系系统统函函数数（子系统函数相乘），使每个子系统函数都变成低阶的（例如一、 二阶的），然后再再对对每每个个子子系系统统函函数数分分别别采采用用双双线线性性变变换换。也就是说，分解为低阶的
33、方法是在模拟系统函数上进行的，而模拟系统函数的分解已有大量的图表可以利用，分解起来比较方便。另一方面，可可用用表表格格的的方方法法来来完完成成双双线线性性变变换换设设计计，即预先求出双线性变换法中离散系统函数的系数与模拟系统函数的系数之间的关系式，并列成表格，便可利用表格进行设计了。 设计流程设计流程n n1.根据要求，设定指标。n n2.将各分段频率临界点预畸变。n n3.将数字滤波器的性能指标转换为中间模拟滤波器的性能指标。n n4.根据设计要求，选定双线性变换常数C。n n5.设计中间模拟滤波器的系统函数Ha(s).n n6.将 代入Ha(s)中，得到DF 的H(z).例例6-2 设计一
34、个一阶数字低通滤波器，3 dB截止频率为c=0.25，将双线性变换应用于模拟巴特沃思滤波器。 解解 数字低通滤波器的截止频率为c=0.25，相应的巴特沃思模拟滤波器的 3 dB截止频率是c，就有 模拟滤波器的系统函数为 将双线性变换应用于模拟滤波器，有 由上题可知，T不参与设计，即双线性变换法中用 设计与用 设计得到的结果一致。 例例6-3 用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率为fs=4 kHz（即采样周期为T=250 s），其3dB截止频率为fc=1 kHz。 三阶模拟巴特沃思滤波器为 解解: 首先，确定数字域截止频率c=2fcT=0.5。 第二步，根据频率的非线性关系
35、式，确定预畸变的模拟滤波器的截止频率 第三步，将c代入三阶模拟巴特沃思滤波器Ha(s)，得 最后，将双线性变换关系代入就得到数字滤波器的系统函数 应该注意，这里所采用的模拟滤波器Ha(s)并不是数字滤波器所要模仿的截止频率fc=1 kHz的实际滤波器，它只是一个“样本”函数，是由低通模拟滤波器到数字滤波器的变换中的一个中间变换阶段。 图6-10给出了采用双线性变换法得到的三阶巴特沃思数字低通滤波器的幅频特性。由图可看出，由于频率的非线性变换， 使截止区的衰减越来越快。图图6-10用双线性变换法设计得到的三阶巴特沃思数字低通滤波器的频响用双线性变换法设计得到的三阶巴特沃思数字低通滤波器的频响设模
36、拟系统函数的表达式为 得 表表6-1双线性变换法中双线性变换法中a(s)的系数与的系数与H(z)的的系数之间的关系系数之间的关系6.5设计设计IIR滤波器的频率变换法滤波器的频率变换法图 6-11模拟频率变换两种等效的设计方法(a) 先模拟频率变换， 再数字化; (b) 将(a)的两步合成一步设计 1、模拟频率变换法的原理框图、模拟频率变换法的原理框图 对于第一种方案，重点是模拟域频率变换，即如何由模拟低通原型滤波器转换为截止频率不同的模拟低通、高通、带通、带阻滤波器，这里我们不作详细推导，仅在表6-2列出一些模拟到模拟的频率转换关系。一般直接用归一化原型转换，取c=1, 可使设计过程简化。
37、然后再通过冲激响应不变法或双线性变换法数字化为所需类型的数字滤波器。表表6-2截止频率为截止频率为c的模拟低通滤波器到其它的模拟低通滤波器到其它频率选择性模拟滤波器的转换公式频率选择性模拟滤波器的转换公式 第二种方法实际上是把第一种方法中的两步合成一步来实现，即把模模拟拟低低通通原原型型变变换换到到模模拟拟低低通通、高高通通、带带通通、带带阻阻等等滤滤波波器器的的公公式式与用用双双线线性性变变换换得得到到相相应应数数字字滤滤波波器器的的公公式式合并，就可直直接接从从模模拟拟低低通通原原型型通过一定的频率变换关系， 一一步步完完成成各各种种类类型型数数字字滤滤波波器器的的设设计计，因而简捷便利，
38、得到普遍采用。 此外，对对于于高高通通、带带阻阻滤滤波波器器，由由于于冲冲激激响响应应不不变变法法不不能能直直接接采采用用，或者只能在加了保护滤波器以后使用，因此，冲激响应不变法使用直接频率变换要有许多特殊考虑，我们在在下下面面只只考考虑虑双线性变换，实际使用中多数情况也正是这样双线性变换，实际使用中多数情况也正是这样。 2、数字频率变换法的原理框图、数字频率变换法的原理框图图图 6-12 数字频率变换法数字频率变换法数字频率变换法数字频率变换法6.6先利用模拟域频带变换法，再利用数先利用模拟域频带变换法，再利用数字化法设计数字各型滤波器字化法设计数字各型滤波器原理原理n n把一个归一化原形模
39、拟低通滤波器经模拟频带变换成所需要类型（截止频率为另一低通、或高通、带通、带阻）的模拟滤波器。然后再通过冲激响应不变法或双线性变换法数字化为所需的数字滤波器。模拟频率变换法的原理框图模拟频率变换法的原理框图模拟归一化模拟归一化低通原型低通原型模拟低通、高通、模拟低通、高通、带通、带阻带通、带阻数字低通、高通、数字低通、高通、带通、带阻带通、带阻频带变换数字化先模拟频率变换，再数字化双线性变换法或冲激不变法注意点注意点n n实际上把以上合成二步来实现。n n模拟归一化低通原型变换到模拟低通、高通、带通、带阻等滤波器的公式+与双线性变换得到相应数字滤波器的公式。n n将以上两公式合并，就可直接从模
40、拟低通归一化原型通过一定的频率变换的关系，一步完成各类数字滤波器的设计。n n这里只谈双线性变换法，因为冲激响应不变法有频率混叠失真效应，只对能严格限带的数字低通、带通滤波器的设计才能应用。对于数字高通、带阻滤波器，不能直接应用。一、一、模拟低通滤波器变换成数字低通滤波器模拟低通滤波器变换成数字低通滤波器 首先，把数字滤波器的性能要求转换为与之相应的作为“样本”的模拟滤波器的性能要求，根据此性能要求设计模拟滤波器， 这可以用查表的办法， 也可以用解析的方法。然后，通过双线性变换法，将此“样本”模拟低通滤波器数字化为所需的数字滤波器H(z)。二、二、模拟低通滤波器变换成数字高通滤波器模拟低通滤波
41、器变换成数字高通滤波器 式中，c为模拟低通滤波器的截止频率，c为实际高通滤波器的截止频率。 2、模拟高通到数字高通的变换、模拟高通到数字高通的变换根据双线性变换原理，模拟高通与数字高通之间的S平面与Z平面的关系仍为 1、由模拟低通原型到模拟高通的变换、由模拟低通原型到模拟高通的变换由表6-2可知，由低通模拟原型到模拟高通的变换关系为 把上两个变换式结合起来，可得到直接从模拟低通原型变换成数字高通滤波器的表达式，也就是直接联系s与z之间的变换公式 式中， 。由此得到数字高通系统函数为 式中，Ha(s)为模拟低通滤波器系统函数。 可以看出，数字高通滤波器和模拟低通滤波器的极点数目（或阶次）是相同的
42、。 根据双线性变换，模拟高通频率与数字高通频率之间的关系仍为 则 又因：则：图6-13 从模拟低通变换到数字高通时频率间关系的曲线 应当明确一点，所谓高通数字滤波器，并不是高到都通过， 由于数字域存在折叠频率=，对于实数响应的数字滤波器， 由到2的部分只是由到0的镜像部分。因此，有效数字域仅只是从=0 到=，高通也仅指这一端的高端，即到=为止的部分。 图 6-14 模拟低通变换到数字高通 例例 设计一个巴特沃思高通数字滤波器，其通带截止频率（-3dB点处）为fc=3kHz，阻带上限截止频率fst=2kHz，通带衰减不大于3 dB， 阻带衰减不小于 14dB，采样频率fs=10kHz。 解解 （
43、1） 求对应的各数字域频率: （2）求常数C。采用归一化（c=1）原型低通滤波器作为变换的低通原型，则低通到高通的变换中所需的C为 （3）求低通原型st。设st为满足数字高通滤波器的归一化原型模拟低通滤波器的阻带上限截止频率，可按=Ccot(/2)的预畸变换关系来求，得 （4）求阶次N。按阻带衰减求原型归一化模拟低通滤波器的阶次N，由巴特沃思低通滤波器频率响应的公式|Ha(jst)|取对数， 即 式中c=1。解得 取N=3。 （5） 求归一化巴特沃思低通原型的Ha(s)。取N=3，查表(课本P266，表64)可得Ha(s)为 （6） 求数字高通滤波器的系统函数H(z)， 有 将C代入， 可求得
44、 三、三、模拟低通滤波器变换成数字带通滤波器模拟低通滤波器变换成数字带通滤波器 由表6-2可知， 由低通模拟原型到模拟带通的变换关系为 式中，c为模拟低通滤波器的截止频率，h、l分别为实际带通滤波器的通带上、下截止频率。 根据双线性变换，模拟带通与数字带通之间的S平面与Z平面的关系仍为把上两个变换式结合起来，可得到直接从模拟低通原型变换成数字带通滤波器的表达式，也就是直接联系s与z之间的变换公式 经推导后得 其中： 把模拟低通系统函数一步变成数字带通系统函数把模拟低通系统函数一步变成数字带通系统函数:式中，式中，Ha(s)为模拟低通原型传递函数。为模拟低通原型传递函数。 下面来讨论模拟低通滤波
45、器与数字带通滤波器频率之间的关系。其变换关系曲线如图6-15所示。其映射关系为： =0=0=-=0 也就是说，低通滤波器的通带（=0 附近）映射到带通滤波器的通带（=0附近），低通的阻带（=）映射到带通的阻带（=0, ）。 图6-15 从模拟低通变换到数字带通时频率间关系曲线图 6-16 模拟低通变换到数字带通 例例 采样频率为fs=100kHz, T=10 s，要求设计一个三阶巴特沃思数字带通滤波器，其上、下边带的 3dB截止频率分别为f2=37.5 kHz，f1=12.5 kHz。 解解 首先求出所需数字滤波器在数字域的各个临界频率。通带的上、下边界截止频率为: 1=2f1T=212.51
46、031010-6=0.252=2f2T=237.51031010-6=0.75 求模拟低通的截止频率： 求D为： 求E为： 则： 由N=3，查表可得三阶巴特沃思滤波器的归一化原型系统函数为 3 dB截止频率为c=4/T的三阶巴特沃思滤波器的系统函数为 图 6-17 巴特沃思带通滤波器 从上面设计过程中可以看出，如果在求D参数时，假定c=1，即采用归一化低通原型，则由归一化低通原型模拟滤波器变换得到的数字带通滤波器，将与上面得到的结果一致。这是因为在s/s中的c和D中的c互相抵消，所以只需用c=1 的归一化原型HaN(s)设计即可。 对其他类型的滤波器，同样也可直接利用归一化原型滤波器HaN(s)设计。 四、四、 模拟低通滤波器变换成数字带阻滤波器模拟低通滤波器变换成数字带阻滤波器表表6-3利利用用双双线线性性变变换换法法从从截截止止频频率率为为c的的低低通通原原型型模模拟拟滤波器到实际数字滤波器的变换滤波器到实际数字滤波器的变换
