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1、第四节一元复合函数求导法则本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分微分法则机动 目录 上页 下页 返回 完毕 多元复合函数的求导法则 第九章 一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理. 若函数若函数处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数证证: 设设 t 取增量取增量t ,则相应中间变量且有链式法则机动 目录 上页 下页 返回 完毕 有增量u ,v ,( 全导数公式全导数公式 )(t0 时,根式前加“”号)机动 目录 上页 下页 返回 完毕 若定理中 说明说明: 例如例如:易知:
2、但复合函数偏导数连续减弱为偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在, 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 则定理结论不一定成立.推广推广:1) 中间变量多于两个的情形. 例如,设下面所涉及的函数都可微 .2) 中间变量是多元函数的情形.例如,机动 目录 上页 下页 返回 完毕 又如,当它们都具有可微条件时, 有注意注意: 这里表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导口诀口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导与不同,机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1. 设设解解:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2.2.解解:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例3.
3、设设 求全导数解解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动 目录 上页 下页 返回 完毕 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.为简便起见 , 引入记号例例4. 设设 f 具有二阶连续偏导数,求解解: 令令那么机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (当 在二、三象限时, )例例5. 设设二阶偏导数连续,求下列表达式在解解: 知知极坐标系下的形式(1), 那么机动 目录 上页 下页 返回 完毕 题目 目录 上页 下页 返回 完毕 知注意利用注意利用已有公式已有公式机动 目录 上页 下页 返回 完毕 同理可得题目 目录 上页 下页 返回 完毕
4、二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1 .例例 6. 利用全微分形式不变性再解例1. 解解: :所以机动 目录 上页 下页 返回 完毕 内容小结内容小结1. 复合函数求导的链式法则“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”例如例如,2. 全微分形式不变性不论 u , v 是自变量还是因变量,机动 目录 上页 下页 返回 完毕 思考与练习思考与练习解答提示解答提示:P82 题7P82 题7; 8(2)机动 目录 上页 下页 返回 完毕 P82 题8(2)机动 目录 上页 下页 返回 完毕 备用题备用题1. 知求解解: 由由两边对 x 求导, 得机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2. 求在点处可微 , 且设函数解解: 由题设由题设(2019考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 完毕
