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1、2.1.1椭圆及其标准方程仙女座星系星系中的椭圆星系中的椭圆一、椭圆的定义：一、椭圆的定义： 平面内与两个定点平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数的距离的和等于常数（大于（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做椭圆椭圆，这两个定点叫做这两个定点叫做椭圆的椭圆的焦点焦点(F1、F2 )，两焦点的距离叫做两焦点的距离叫做椭圆的椭圆的焦距焦距|F1F2|.1、椭圆的定义：、椭圆的定义： 平面内到平面内到两两个定点个定点F1、F2的距离之的距离之和和等于等于常常数数（大于（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做）的点的轨迹叫做椭圆椭圆。 这两个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆的焦点焦点，两焦
2、点间的距离，两焦点间的距离叫做椭圆的叫做椭圆的焦距焦距。M几点说明：几点说明：1、F1、F2是是两个不同的点两个不同的点；2、M是椭圆上任意一点是椭圆上任意一点，且，且|MF|MF1 1| + |MF| + |MF2 2| = | = 常数常数；3、通常这个通常这个常数常数记为记为2a，焦距焦距记为记为2c，且，且2a2c；4、如果如果2a = 2c，则，则M点的点的轨迹是线段轨迹是线段F1F2.5、如果如果2a |F1F2|=4，故点，故点M的轨迹为的轨迹为椭圆。椭圆。因因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点，故点M的轨迹的轨迹不是椭圆不是椭圆 (是线段是线段F1F2)。(3)
3、到到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为的距离之和为3的点的轨迹。的点的轨迹。因因|MF1|+|MF2|=4|F1F2|=4，故点故点M的轨迹不存在。的轨迹不存在。如图，建立直角坐标系如图，建立直角坐标系xOy，使使x轴经过点轴经过点F1、F2，并且，并且点点O与线段与线段F1F2的中点重合的中点重合.设点设点M(x, y)是椭圆上任一点，是椭圆上任一点，椭圆的焦距为椭圆的焦距为2c(c0). 焦点焦点F1、F2的坐标分别是的坐标分别是 (c, 0)、(c, 0)又设又设M与与F1和和F2的距离的和等于常数的距离的和等于常数2a|MF1|MF2|2a2. 椭圆标准方程的推导：椭圆标准方
4、程的推导：讲授新课讲授新课OXYF1F2M如图所示：如图所示： F1、F2为两定为两定点，且点，且|F1F2|=2c，求平面，求平面内到两定点内到两定点F1、F2距离之距离之和为定值和为定值2a（2a2c)的动的动点点M的轨迹方程。的轨迹方程。 解：以解：以F1F2所在直线为所在直线为X轴，轴， F1F2 的中的中点为原点建立平面直角坐标系，则焦点点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y) 设设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，为所求轨迹上的任意一点，则则:|MF1|+ |MF2|=2aOXYF1F2M(-
5、c,0)(c,0)(x,y)两边平方得：两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因为因为2a2c，即，即ac，所以，所以a2-c20，令，令a2-c2=b2，其中，其中b0，代入上式可得：，代入上式可得：b2x2+a2y2=a2b2两边同时除以两边同时除以a2b2得：得：(ab0)这个方程叫做这个方程叫做椭圆的标准方程，椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的它所表示的椭圆的焦点在焦点在x 轴上。轴上。(ab0).椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：是是F1(c, 0)、F2(c, 0)，且，且c2a2b2.它
6、所表示的椭圆的焦点在它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点轴上，焦点讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课 如果使点如果使点F1、F2在在y轴上，点轴上，点F1、F2的坐标是的坐标是F1(0,c)、F2(0, c)，则椭圆方程为：则椭圆方程为：(ab0).如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？ 椭圆的方程两种形式的标准方程的比较：两种形式的标准方程的比较：与与 椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上 椭圆标准方程中椭圆标准方程中x2项的分母较大；项的分母较大； 椭圆的焦点在椭圆的焦点在y轴上轴上 椭圆标准方程中椭圆标准方程中y2项的分母较大项的分母较大椭圆的方程aA
7、1yOF1F2xB2B1A2cb椭圆方程的几何意义：椭圆方程的几何意义：椭圆的标准方程椭圆的标准方程定义定义图形图形方程方程焦点焦点a、b、c之之间的关间的关系系F1F2MyxOyxOMF1F2|MF1|+|MF2|=2a (2a|F1F2|)(c,0)、( c,0)(0,c)、(0, c)b2=a2 c2分母分母哪个哪个大大，焦点焦点就在哪一根就在哪一根坐标轴坐标轴上上 答答:在在 x 轴上轴上(-3,0)和和(3,0）答答:在在 y 轴上轴上(0,-5)和和(0,5）答答:在在y 轴上轴上(0,-1)和和(0,1)焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴上。判定下列椭圆的焦点在判定下列
8、椭圆的焦点在 哪个轴上，写出焦点坐标。哪个轴上，写出焦点坐标。写出适合下列条件的椭圆的标准方程写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a =4，b=1，焦点在，焦点在 x 轴轴上上； (2) a =4，b=1，焦点在坐标轴上；，焦点在坐标轴上； 或 例题讲解例题讲解例、椭圆的两个焦点的坐标分别是例、椭圆的两个焦点的坐标分别是(4, 0 )、( 4 , 0 )，椭圆上一点椭圆上一点P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10,求椭圆的标准方程。求椭圆的标准方程。 12yoFFMx解：解： 椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上设它的标准方程为设它的标准方程为: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为: 课堂练习课堂练习5：若方程：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在表示的曲线是焦点在y轴上的轴上的椭圆，求椭圆，求k的取值范围。的取值范围。方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆解之得：0k4k的取值范围为0k4。作作 业业教材教材3636 2 2 结束
