《命题及其关系充分条件与必要条件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《命题及其关系充分条件与必要条件（58页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【知【知识梳理】梳理】1.1.必会知必会知识教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)命命题: :用用语言、符号或式子表达的言、符号或式子表达的, ,可以可以_的的陈述句叫做命述句叫做命题. .其中其中_的的语句叫做真命句叫做真命题,_,_的的语句叫做假命句叫做假命题. .判断真假判断真假判断判断为真真判断判断为假假(2)(2)四种命题及其相互关系四种命题及其相互关系: :(3)(3)充要条件充要条件: :若若p pq,q,则p p是是q q的的_条件条件,q,q是是p p的的_条件条件p p是是q q的的_条件条件p pq q且且q q p pp p是是q
2、 q的的_条件条件p qp q且且q qp pp p是是q q的的_条件条件p pq qp p是是q q的的_ _条件条件p qp q且且q pq p充分充分必要必要充分不必要充分不必要必要不充分必要不充分充要充要既不充分也不必要既不充分也不必要2.2.必必备结论教材提教材提炼记一一记(1)(1)四种命四种命题中的等价关系中的等价关系: :原命原命题等价于等价于_,_,否命否命题等价于等价于_,_,在四种形式的命在四种形式的命题中真命中真命题的个数只能是的个数只能是0 0或或2 2或或4.4.(2)(2)等价等价转化法判断充分条件、必要条件化法判断充分条件、必要条件: :p p是是q q的充分
3、不必要条件的充分不必要条件, ,等价于等价于q q是是p p的的_条件条件. .其他其他情况依次情况依次类推推. .逆否命逆否命题逆命逆命题充分不必要充分不必要(3)(3)用集合的关系判断充分条件、必要条件用集合的关系判断充分条件、必要条件: :p p成立的成立的对象构成的集合象构成的集合为A,A,q q成立的成立的对象构成的集合象构成的集合为B Bp p是是q q的充分条件的充分条件_p p是是q q的必要条件的必要条件_p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件_p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件_p p是是q q的充要条件的充要条件_A AB BB BA AA A B
4、 BB B A AA=BA=B3.3.必用技法核心必用技法核心总结看一看看一看(1)(1)常用方法常用方法: :充分条件、必要条件的判断方法充分条件、必要条件的判断方法: :定定义法、集合法、等法、集合法、等价价转化法化法. .(2)(2)数学思想数学思想: :化化归与与转化思想化思想. .(3)(3)记忆口口诀: :真假能判是命真假能判是命题, ,条件条件结论很清楚很清楚. .命命题形式有四种形式有四种, ,分成两双同真假分成两双同真假. .若若p p则q q真命真命题,p,p是是q q充分条件充分条件, ,q q是是p p必要条件必要条件, ,原逆皆真称充要原逆皆真称充要. .【小【小题快
5、快练】1.1.思考辨析静心思考判一判思考辨析静心思考判一判(1)(1)语句句x x2 2-3x+2=0-3x+2=0是命是命题.(.() )(2)(2)一个命一个命题的逆命的逆命题与否命与否命题, ,它它们的真假没有关系的真假没有关系.(.() )(3)(3)命命题“如果如果p p不成立不成立, ,则q q不成立不成立”等价于等价于“如果如果q q成立成立, ,则p p成立成立”.(”.() )(4)“p(4)“p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件”与与“p“p的充分不必要条件是的充分不必要条件是q”q”表达的表达的意意义相同相同.(.() )【解析】【解析】(1)(1)错误错误. .
6、无法判断真假无法判断真假, ,故不是命题故不是命题. .(2)(2)错误错误. .一个命题的逆命题与否命题是互为逆否命题一个命题的逆命题与否命题是互为逆否命题, ,它们的真假性它们的真假性相同相同. .(3)(3)正确正确. .一个命题与其逆否命题等价一个命题与其逆否命题等价. .(4)(4)错误错误.“p.“p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件”即为即为“p“pq q且且q p”,“pq p”,“p的充的充分不必要条件是分不必要条件是q”q”即为即为“q“qp p且且p q”.p q”.答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)2.2.教材改教材改编链接教材接教材
7、练一一练(1)(1)(选修修1-1P8T2(1)1-1P8T2(1)改改编) )命命题“若若a,ba,b都是偶数都是偶数, ,则a+ba+b是偶数是偶数”的逆的逆否命否命题为. .【解析】【解析】“a,b“a,b都是偶数都是偶数”的否定为的否定为“a,b“a,b不都是偶数不都是偶数,”“a+b,”“a+b是偶数是偶数”的否定为的否定为“a+b“a+b不是偶数不是偶数”,”,故其逆否命题为故其逆否命题为“若若a+ba+b不是偶数不是偶数, ,则则a,ba,b不都是偶数不都是偶数”.”.答案答案: :若若a+ba+b不是偶数不是偶数, ,则则a,ba,b不都是偶数不都是偶数(2)(2)(选修修1-
8、1P10T3(2)1-1P10T3(2)改改编)“(x-a)(x-b)=0”)“(x-a)(x-b)=0”是是“x=a”“x=a”的的条件条件. .【解析】【解析】x=ax=a(x-a)(x-b)=0,(x-a)(x-b)=0,反之不一定成立反之不一定成立, ,因此因此“(x-a)(x-b)“(x-a)(x-b)=0”=0”是是“x=a”“x=a”的必要不充分条件的必要不充分条件. .答案答案: :必要不充分必要不充分3.3.真真题小小试感悟考感悟考题试一一试(1)(2014(1)(2014北京高考北京高考) )设a,ba,b是是实数数, ,则“ab”“ab”是是“a“a2 2bb2 2”的的
9、( () )A.A.充分而不必要条件充分而不必要条件B.B.必要而不充分条件必要而不充分条件C.C.充分必要条件充分必要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解题提示】【解题提示】验证充分性与必要性验证充分性与必要性. .【解析】【解析】选选D.“ab”D.“ab”推不出推不出“a“a2 2bb2 2”,”,例如例如,2-3,2-3,但但49;4bb2 2”也推不出也推不出“ab”,“ab”,例如例如,94,94,但但-32.-32.(2)(2014(2)(2014浙江高考浙江高考) )设四四边形形ABCDABCD的两条的两条对角角线为AC,BD,AC,BD,则“四四边形形AB
10、CDABCD为菱形菱形”是是“ACBD”“ACBD”的的( () )A.A.充分不必要条件充分不必要条件B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充分必要条件充分必要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析】【解析】选选A.“A.“四边形四边形ABCDABCD为菱形为菱形”“ACBD”,“ACBD”“ACBD”,“ACBD”推不推不出出“四边形四边形ABCDABCD为菱形为菱形”,”,所以所以“四边形四边形ABCDABCD为菱形为菱形”是是“ACBD”“ACBD”的充分不必要条件的充分不必要条件. .(3)(2015(3)(2015焦作模焦作模拟) )已知命已知命题:如果如
11、果x3,x3,那么那么x5;x1”m1”是真是真命命题B.B.逆命逆命题是是“若若m1,m1,则函数函数f(x)=ef(x)=ex x-mx-mx在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数”是假是假命命题C.C.逆否命逆否命题是是“若若m1,m1,则函数函数f(x)=ef(x)=ex x-mx-mx在在(0,+)(0,+)上是减函数上是减函数”是是真命真命题D.D.逆否命逆否命题是是“若若m1,m1,则函数函数f(x)=ef(x)=ex x-mx-mx在在(0,+)(0,+)上不是增函数上不是增函数”是真命是真命题(2)(2014(2)(2014陕西高考西高考) )原命原命题为“若若 nN
12、nN+ +, ,则aan n 为递减数列减数列”,”,关于其逆命关于其逆命题, ,否命否命题, ,逆否命逆否命题真假性的判断依次如下真假性的判断依次如下, ,正确的是正确的是( () )A.A.真真, ,真真, ,真真B.B.假假, ,假假, ,真真C.C.真真, ,真真, ,假假D.D.假假, ,假假, ,假假【解题提示】【解题提示】(1)(1)先判断否命题先判断否命题, ,逆命题、逆否命题是否正确逆命题、逆否命题是否正确, ,再判断再判断其真假其真假. .(2)(2)写出逆命题写出逆命题, ,利用原命题与逆否命题利用原命题与逆否命题, ,逆命题与否命题等价来判断逆命题与否命题等价来判断.
13、.【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选D.f(x)=eD.f(x)=ex x-m,-m,由由f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数知上是增函数知f(x)0,f(x)0,即即memex x在在x(0,+)x(0,+)上恒成立上恒成立, ,又又e ex x1,1,从而从而m1,m1,则原命则原命题是真命题题是真命题. .对于对于A,A,否命题写错否命题写错, ,故故A A错错; ;对于对于B,B,逆命题写对逆命题写对, ,但逆命题但逆命题是真命题是真命题, ,故故B B错错; ;对于对于C,C,逆否命题写错逆否命题写错, ,故故C C错错; ;对于对于D.D.逆否命题写对逆否命题写
14、对, ,且为真命题且为真命题, ,故选故选D.D.(2)(2)选选A.A.由已知条件可以判断原命题为真由已知条件可以判断原命题为真, ,所以它的逆否命题也是真所以它的逆否命题也是真; ;而它的逆命题为真而它的逆命题为真, ,所以它的否命题亦为真所以它的否命题亦为真, ,故选故选A.A.【易【易错警示】警示】解答本例解答本例题(1)(1)有两点容易出有两点容易出错: :(1)(1)根据根据f(x)f(x)是增函数求是增函数求错m m的取的取值范范围. .(2)(2)把把“f(x)“f(x)是增函数是增函数”的否定的否定错误地地认为是是“f(x)“f(x)是减函数是减函数”.”.【规律方法】律方法
15、】1.1.书写否命写否命题和逆否命和逆否命题的关注点的关注点(1)(1)一些常一些常见词语及其否定表示及其否定表示: :词语是是都都是是都不是都不是等等于于大大于于否否定定不不是是不不都都是是至少一至少一个是个是不不等等于于不不大大于于(2)(2)构造否命构造否命题和逆否命和逆否命题的方法、注意点的方法、注意点: :方法方法: :首先要把条件和首先要把条件和结论分清楚分清楚, ,其次把其中的关其次把其中的关键词搞清楚搞清楚. .注意点注意点: :注意其中易混的关注意其中易混的关键词, ,如如“都不是都不是”和和“不都是不都是”,”,其中其中“都不是都不是”是指的一个也不是是指的一个也不是,“,
16、“不都是不都是”指的是其中有些不是指的是其中有些不是. .2.2.命命题真假的判断方法真假的判断方法(1)(1)联系已有的数学公式、定理、系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断行正面直接判断. .(2)(2)利用原命利用原命题与逆否命与逆否命题, ,逆命逆命题与否命与否命题的等价关系的等价关系进行判断行判断. .【变式式训练】命命题“若若f(x)f(x)是奇函数是奇函数, ,则f(-x)f(-x)是奇函数是奇函数”的否命的否命题是是( () )A.A.若若f(x)f(x)是偶函数是偶函数, ,则f(-x)f(-x)是偶函数是偶函数B.B.若若f(x)f(x)不是奇函数不是奇函数, ,则f
17、(-x)f(-x)不是奇函数不是奇函数C.C.若若f(-x)f(-x)是奇函数是奇函数, ,则f(x)f(x)是奇函数是奇函数D.D.若若f(-x)f(-x)不是奇函数不是奇函数, ,则f(x)f(x)不是奇函数不是奇函数【解析】【解析】选选B.B.条件的否定是条件的否定是“f(x)“f(x)不是奇函数不是奇函数”,”,结论的否定是结论的否定是“f(-“f(-x)x)不是奇函数不是奇函数”,”,故该命题的否命题是故该命题的否命题是“若若f(x)f(x)不是奇函数不是奇函数, ,则则f(-x)f(-x)不是奇函数不是奇函数”.”.【加固【加固训练】1.1.命命题“若若= ,= ,则tan=1”t
18、an=1”的逆否命的逆否命题是是( () )A.A.若若 , ,则tan1tan1B.B.若若= ,= ,则tan1tan1C.C.若若tan1,tan1,则 D.D.若若tan1,tan1,则= = 【解析】【解析】选选C.C.原命题的逆否命题是原命题的逆否命题是“若若tan1,tan1,则则 ”, ”,故选故选C.C.2.2.关于命关于命题“若抛物若抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的开口向下的开口向下, ,则x|axx|ax2 2+bx+c0+bx+c0 ”的逆命的逆命题、否命、否命题、逆否命、逆否命题的真假性的真假性, ,下列下列结论成立的是成立的是( () )A.A.都
19、真都真B.B.都假都假C.C.否命否命题真真D.D.逆否命逆否命题真真【解析】【解析】选选D.D.原命题为真命题原命题为真命题, ,则其逆否命题为真命题则其逆否命题为真命题. .考点考点2 2充分条件、必要条件的判断充分条件、必要条件的判断知知考情考情充分条件、必要条件的判断是高考命充分条件、必要条件的判断是高考命题的的热点点, ,常以常以选择题的形的形式出式出现, ,作作为一个重要一个重要载体体, ,考考查的知的知识面很广面很广, ,几乎涉及数学知几乎涉及数学知识的的各个方面各个方面, ,如函数、不等式、三角函数、平面向量、解析几何、立体如函数、不等式、三角函数、平面向量、解析几何、立体几何
20、等知几何等知识. .明明角度角度命命题角度角度1:1:定定义法判断充分条件、必要条件法判断充分条件、必要条件【典例【典例2 2】(2014(2014湖北高考湖北高考) )设U U为全集全集,A,B,A,B是集合是集合, ,则“存在集合存在集合C C使使得得A AC,BC,B U UC”C”是是“AB=“AB= ”的的( () )A.A.充分而不必要的条件充分而不必要的条件B.B.必要而不充分的条件必要而不充分的条件C.C.充要条件充要条件D.D.既不充分也不必要的条件既不充分也不必要的条件【解题提示】【解题提示】考查集合与集合的关系、充分条件与必要条件的判断考查集合与集合的关系、充分条件与必要
21、条件的判断. .【规范解答】【规范解答】选选C.C.依题意依题意, ,若若A A C,C,则则 U UC C U UA,A,当当B B U UC,C,可得可得AB=AB= ; ;若若AB=AB= , ,不妨令不妨令C=A,C=A,显然满足显然满足A A C,BC,B U UC,C,故满足条件的集合故满足条件的集合C C是存是存在的在的. .命命题角度角度2:2:集合法判断充分条件、必要条件集合法判断充分条件、必要条件【典例【典例3 3】(2014(2014安徽高考安徽高考)“x0”)“x0”是是“ln(x+1)0”“ln(x+1)0”的的( () )A.A.充分不必要条件充分不必要条件B.B.
22、必要不充分条件必要不充分条件C.C.充分必要条件充分必要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解题提示】【解题提示】分清条件和结论分清条件和结论, ,根据充分条件、必要条件的定义判断根据充分条件、必要条件的定义判断. .【解析】【解析】选选B.B.由由ln(x+1)0,ln(x+1)0,得得0x+11,0x+11,即即-1x0,-1x0,由于由于x|-1x0 x|x0,x|-1x0 x|x0,故故“x0”“x0”是是“ln(x+1)0”“ln(x+1)0”的必要不充分条件的必要不充分条件. .命命题角度角度3:3:等价等价转化法判断充分条件、必要条件化法判断充分条件、必要条件【
23、典例【典例4 4】(2013(2013山山东高考高考) )给定两个命定两个命题p,q.p,q.若若p p是是q q的必要而不的必要而不充分条件充分条件, ,则p p是是q q的的( () )A.A.充分而不必要条件充分而不必要条件B.B.必要而不充分条件必要而不充分条件C.C.充要条件充要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解题提示】【解题提示】借助原命题与逆否命题等价判断借助原命题与逆否命题等价判断. .【规范解答】【规范解答】选选A.A.因为因为p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件, ,则则q qp p但但p pq,q,其逆否命题为其逆否命题为p pq q但但
24、q p,q p,所以所以p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件. .悟悟技法技法充要条件的三种判断方法充要条件的三种判断方法(1)(1)定定义法法: :根据根据p pq,qq,qp p进行判断行判断. .(2)(2)集合法集合法: :根据根据p,qp,q成立的成立的对应的集合之的集合之间的包含关系的包含关系进行判断行判断. .(3)(3)等价等价转化法化法: :根据一个命根据一个命题与其逆否命与其逆否命题的等价性的等价性, ,把判断的命把判断的命题转化化为其逆否命其逆否命题进行判断行判断. .这个方法特个方法特别适合以否定形式适合以否定形式给出的出的问题, ,如如“xy1”“xy1”
25、是是“x1“x1或或y1”y1”的何种条件的何种条件, ,即可即可转化化为判断判断“x=1“x=1且且y=1”y=1”是是“xy=1”“xy=1”的何种条件的何种条件. .通通一一类1.(20141.(2014新新课标全国卷全国卷)函数函数f(x)f(x)在在x=xx=x0 0处导数存在数存在, ,若若p:f(xp:f(x0 0)=0;q:x=x)=0;q:x=x0 0是是f(x)f(x)的极的极值点点, ,则( () )A.pA.p是是q q的充分必要条件的充分必要条件B.pB.p是是q q的充分条件的充分条件, ,但不是但不是q q的必要条件的必要条件C.pC.p是是q q的必要条件的必要
26、条件, ,但不是但不是q q的充分条件的充分条件D.pD.p既不是既不是q q的充分条件的充分条件, ,也不是也不是q q的必要条件的必要条件【解析】【解析】选选C.C.因为若因为若f(xf(x0 0)=0,)=0,则则x x0 0不一定是极值点不一定是极值点, ,所以命题所以命题p p不是不是q q的充分条件的充分条件; ;因为若因为若x x0 0是极值点是极值点, ,则则f(xf(x0 0)=0,)=0,所以命题所以命题p p是是q q的必要条件的必要条件. .2.(20132.(2013湖南高考湖南高考)“1x2”)“1x2”是是“x2”“x2”成立的成立的( () )A.A.充分不必要
27、条件充分不必要条件B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充分必要条件充分必要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析】【解析】选选A.A.因为集合因为集合(1,2)(1,2)是集合是集合(-,2)(-,2)的真子集的真子集, ,所以所以“1x2”“1x2”是是“x2”“x2”成立的充分不必要条件成立的充分不必要条件, ,故选故选A.A.3.(20133.(2013上海高考上海高考) )钱大姐常大姐常说“便宜没好便宜没好货”,”,她她这句句话的意思是的意思是:“:“不便宜不便宜”是是“好好货”的的( () )A.A.充分条件充分条件B.B.必要条件必要条件C.C.充分必要
28、条件充分必要条件D.D.既非充分也非必要条件既非充分也非必要条件【解析】【解析】选选B.“B.“便宜便宜没好货没好货”等价于等价于“好货好货不便宜不便宜”,”,故选故选B.B.考点考点3 3充分条件、必要条件的充分条件、必要条件的应用用【典例【典例5 5】(1)(1)函数函数f(x)= f(x)= 有且只有一个零点的充分不有且只有一个零点的充分不必要条件是必要条件是( () )A.a0A.a0B.0aB.0aC. a1C. a1a1(2)(2)设条件条件p:2xp:2x2 2-3x+10;-3x+10;条件条件q:xq:x2 2-(2a+1)x+a(a+1)0,-(2a+1)x+a(a+1)0
29、,若若p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件, ,则实数数a a的取的取值范范围是是. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)先找出充要条件先找出充要条件, ,再根据集合之间的关系确定答案再根据集合之间的关系确定答案. .(2)(2)先解不等式把条件先解不等式把条件p,qp,q具体化具体化, ,再由互为逆否命题的等价性确定再由互为逆否命题的等价性确定p,qp,q之间的关系之间的关系, ,最后根据集合间的关系列不等式组求解最后根据集合间的关系列不等式组求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选A.A.因为函数因为函数f(x)f(x)过点过点(1,0),(1,0),所以函数所以函
30、数f(x)f(x)有且只有且只有一个零点有一个零点函数函数y=-2y=-2x x+a(x0)+a(x0)没有零点没有零点函数函数y=2y=2x x(x0)(x0)与直线与直线y=ay=a无公共点无公共点. .由数形结合由数形结合, ,可得可得a0a0或或a1.a1.观察选项观察选项, ,根据集合间关系根据集合间关系a|a0 a|a0a|a1,a1,故选故选A.A.(2)(2)由由2x2x2 2-3x+10-3x+10得得 x1,x1,由由x x2 2-(2a+1)x+a(a+1)0-(2a+1)x+a(a+1)0得得axa+1.axa+1.由由p p是是q q的必要不充分条件知的必要不充分条件
31、知,p,p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件, ,则有则有x| x1 x|axa+1,x| x1 x|axa+1,所以所以 解得解得0a .0a .答案答案: : 0, 0, 【规律方法】律方法】1.1.与充要条件有关的参数与充要条件有关的参数问题的求解方法的求解方法解决此解决此类问题一般是根据条件把一般是根据条件把问题转化化为集合之集合之间的关系的关系, ,并由此并由此列出关于参数的不等式列出关于参数的不等式( (组) )求解求解. .提醒提醒: :求解求解时要注意区要注意区间端点端点值的的检验. .2.2.充要条件的充要条件的证明方法明方法在解答在解答题中中证明一个明一个论断是另一
32、个断是另一个论断的充要条件断的充要条件时, ,其基本方法是其基本方法是分分“充分性充分性”和和“必要性必要性”两个方面两个方面进行行证明明. .这类试题一般有两种一般有两种设置格式置格式. .(1)(1)证明明:A:A成立是成立是B B成立的充要条件成立的充要条件, ,其中充分性是其中充分性是A AB,B,必要性是必要性是B BA.A.(2)(2)证明明:A:A成立的充要条件是成立的充要条件是B,B,此此时的条件是的条件是B,B,故充分性是故充分性是B BA,A,必要必要性是性是A AB.B.提醒提醒: :在分充分性与必要性分在分充分性与必要性分别进行行证明的明的试题中中, ,需要分清命需要分
33、清命题的条的条件是什么件是什么, ,结论是什么是什么; ;在一些在一些问题中充分性和必要性可以同中充分性和必要性可以同时进行行证明明, ,即用等价即用等价转化法化法进行推理行推理证明明. .【变式式训练】已知已知P=x|xP=x|x2 2-8x-200,S=x|1-mx1+m.-8x-200,S=x|1-mx1+m.(1)(1)是否存在是否存在实数数m,m,使使xPxP是是xSxS的充要条件的充要条件, ,若存在若存在, ,求出求出m m的取的取值范范围. .(2)(2)是否存在是否存在实数数m,m,使使xPxP是是xSxS的必要条件的必要条件, ,若存在若存在, ,求出求出m m的取的取值范
34、范围. .【解析】【解析】由由x x2 2-8x-200-8x-200得得-2x10,-2x10,所以所以P=x|-2x10,P=x|-2x10,(1)(1)因为因为xPxP是是xSxS的充要条件的充要条件, ,所以所以P=S,P=S,所以所以 所以所以 这样的这样的m m不存在不存在. .(2)(2)由题意由题意xPxP是是xSxS的必要条件的必要条件, ,则则S S P,P,当当S=S= 时时,1-m1+m,1-m1+m,解得解得m0,m1”1”是是“xa”“x11得得x1x1或或x-1.x-1.由题意知由题意知x|x1x|x1或或x-1,x-1,所以所以a-1,a-1,从而从而a a的最
35、大值为的最大值为-1.-1.答案答案: :-1-12.2.已知已知ab0,ab0,证明明a+b=1a+b=1成立的充要条件是成立的充要条件是a a3 3+b+b3 3+ab-a+ab-a2 2-b-b2 2=0.=0.【证明】【证明】先证充分性先证充分性: :若若a a3 3+b+b3 3+ab-a+ab-a2 2-b-b2 2=0,=0,则则(a+b-1)(a(a+b-1)(a2 2-ab+b-ab+b2 2)=0,)=0,所以所以(a+b-1) (a+b-1) =0,=0,由由ab0ab0得得a+b-1=0,a+b-1=0,所以所以a+b=1a+b=1成立成立, ,充分性得证充分性得证.
36、.再证必要性再证必要性: :若若a+b=1,a+b=1,则由以上对充分性的证明知则由以上对充分性的证明知a a3 3+b+b3 3+ab-a+ab-a2 2-b-b2 2=(a+b-1)(a=(a+b-1)(a2 2-ab+b-ab+b2 2)=0,)=0,故必要性得证故必要性得证. .综上知综上知,a+b=1,a+b=1成立的充要条件是成立的充要条件是a a3 3+b+b3 3+ab-a+ab-a2 2-b-b2 2=0.=0.自我自我纠错1 1充分条件、必要条件的判断充分条件、必要条件的判断【典例】【典例】(2015(2015天津模天津模拟) )设a,bR,a,bR,且且a0,a0,则“(
37、a-b)a“(a-b)a2 20”0”是是“ab”“ab”的的( )( )A.A.充分而不必要条件充分而不必要条件B.B.必要而不充分条件必要而不充分条件C.C.充要条件充要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解【解题过程】程】【错解分析】解分析】分析上面解分析上面解题过程程, ,你知道你知道错在哪里在哪里吗? ?提示提示: :(1)(1)忽略忽略a0a0这一条件这一条件. .(2)(2)只考虑了只考虑了abab(a-b)a(a-b)a2 200.0.由由(a-b)a(a-b)a2 200知知,a-b0,a-b0,即即ab.ab.所以所以“(a-b)a(a-b)a2 20”0”是是“ab”a0.0.因为因为ab,ab,即即a-b0,a-b0,所以所以(a-b)a(a-b)a2 20.0.所以所以“(a-b)a(a-b)a2 20”0”是是“ab”ab”的必要条件的必要条件. .综上综上, ,应选应选C.C.
