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1、1设物体(wt)在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到力的方向与运动(yndng)方向平行,求变力所做的功 。在其上所作的功元素为因此(ync)变力F(x) 在区间 上所作的功为一、变力沿直线作功一、变力沿直线作功 第1页/共16页第一页，共17页。2例1. 弹簧在拉伸过程中，需要的力 F (单位：N)与弹簧的伸长(shn chn)量 s (单位:cm)成正比，即F=ks (k是比例常数)如果(rgu)把弹簧由原长拉伸6cm，计算所做的功。解：当弹簧(tnhung)从x拉伸至x+dx，可认为外力近似于F=kx于是外力做功元素 dW= kxdx而弹簧拉伸6cm，从而第2页/共16
2、页第二页，共17页。3例2.直径(zhjng)为20cm、高为80cm的圆柱体内充满压强为 10N/cm2的蒸汽。设温度保持不变，要使蒸汽体 积缩小一半，问需要做多少功？ 解：建立坐标系如图所示，因为(yn wi)温度不变，当圆柱体的高减少(jinsho)xcm时的压强为dxxyo80是定值。第3页/共16页第三页，共17页。4解: :则木板(m bn)对铁钉的阻力为第一次锤击(chu j)时所作的功为例3. 用铁锤把钉子(dng zi)钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1cm，若每次锤击所作的功相等，问第n次锤击时又将铁钉击入多少？设n次击入
3、的总深度为h厘米n次锤击所作的总功为假如钉子钉入木板的深度为xcm而每次锤击所作的功相等所以n次击入的总深度为第n次击入的深度为第4页/共16页第四页，共17页。5例4.试问要把桶中的水全部(qunb)吸出需作多少功 ? 解: 建立(jinl)坐标系如图。任取一小(y xio)区间这薄层水的体积元素这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为故所求功为( kJ )设水的密度为一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 第5页/共16页第五页，共17页。6作多少(dusho)功 ? 内盛满了水,试问要将容器(rngq)内的水全部吸出需例5. 有一半径为 4 米开口(ki ku)向上的半球形容器
4、, 容器解: 取坐标原点在球心, x轴垂直向下建立坐标系,Oxx x+dx第6页/共16页第六页，共17页。7例6. 半径(bnjng)为R的球沉入水中, 球的上部与水面相切，球 的密度为1，现将球从水中取出,需作多少功？ 相应于区间x，x+dx的球体中的薄片(球台(qi ti)的体积约为 当球体恰好露出水面时，这一薄片(bo pin)在水面以上移动的路程为R+x，解：建立坐标系如图所示。克服重力做功为O xR+x x水面x+dx由于球的比重与水相同，球的这一部分的由x提升到水面不做功。奇函数第7页/共16页第七页，共17页。8二、液体二、液体(yt)(yt)对薄板的侧压对薄板的侧压力力 压力
5、(yl)=压强受力面积= g h受力面积(min j)例7. 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力。 解: 建立坐标系如图.所论半圆的方程为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 小窄条上各点的压强利用对称性 , 侧压力元素端面所受侧压力为第8页/共16页第八页，共17页。9说明(shumng):当桶内充满(chngmn)液体时,小窄条上的压强(yqing)为侧压力元素故端面所受侧压力为奇函数第9页/共16页第九页，共17页。10例8. 有等腰梯形水闸, 上底长10m, 下底6m, 高20m。 试求当水面(shu min)与上底相齐时, 闸门一侧所受的水压力。 解：建立(jinl)坐标
6、系如图所示。直线(zhxin)AB的方程为xB(20,3)A(0,5)Oy闸门上对应于区间x，x+dxxx+dx窄条形所受的压力约为第10页/共16页第十页，共17页。11例10. 有等腰梯形(txng)水闸, 上底长6m, 下底2m, 高10m。 试求当水面位于上底下2 m时, 闸门所受的水压力。 解：建立(jinl)坐标系如图所示。直线(zhxin)AB的方程为x2B(10,1)A(0,3)Oy闸门上对应于区间x，x+dxxx+dx窄条形所受的压力约为第11页/共16页第十一页，共17页。12例11. 设某水库闸门为椭圆形水泥板，椭圆的长轴平行 于水面且离水面的距离(jl)为h，求闸门所受
7、的压力。 解：建立(jinl)坐标系如图所示。椭圆的方程为于是(ysh)窄条所受的水压力约为y由题设，h b在y轴任取区间 y，y+dy椭圆板上对应窄条的面积的近似值为2xdy则所求水压力为xbO-ba-ah奇函数yy+dy第12页/共16页第十二页，共17页。13第13页/共16页第十三页，共17页。14例. 设一锥形贮水池，深15米，口径(kujng)20米，盛满 水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？ 解：任取一小(y xio)区间x, x+dx，则直线(zhxin)AB的方程为建立坐标系如图所示。xx+dxO A(0,10) yxB(15,0)这薄层水的体积元素为把这一部分水吸出所需做的
8、功元素为 第14页/共16页第十四页，共17页。15例. 一底为10cm, 高为6cm的等腰三角形薄片,铅直地 沉入水中,顶在上,底边在下且与水面平行(pngxng),而顶离 水面3cm时, 试求它的一个侧面所受的水压力。解：建立(jinl)坐标系如图所示。直线(zhxin)AB的方程为xx+dxxB(9,5)A(3,0)Oy第15页/共16页第十五页，共17页。16谢谢大家(dji)观赏！第16页/共16页第十六页，共17页。内容(nirng)总结1。当弹簧从x拉伸至x+dx，可认为外力近似于F=kx。例2.直径为20cm、高为80cm的圆柱体内充满压强为。当圆柱体的高减少xcm时的压强为。这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为。内盛满了水,试问要将容器内的水全部吸出需。球的这一部分的由x提升到水面不做功。闸门上对应于区间x，x+dx。在y轴任取区间 y，y+dy。椭圆(tuyun)板上对应窄条的面积的近似值为2xdy。任取一小区间x, x+dx，。谢谢大家观赏第十七页，共17页。
