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1、二次函数二次函数y=axy=ax2 2的图象和性质的图象和性质xy你还记得有关你还记得有关平面直角坐标平面直角坐标系的相关知识系的相关知识吗吗? ?一一. 平面直角坐标系平面直角坐标系: 1. 有关概念:x(横轴)y(纵轴)o第一象限第二象限第三象限第四象限Pab(a,b)2. 平面内点的坐标:3. 点的位置及其坐标特征: xyo(+,+)(-,+)(-,-)(+,-)P(a,0)Q(0,b).各象限内的点:.各坐标轴上的点:3. 点的位置及其坐标特征: .各象限内的点: .各坐标轴上的点: xyoM(a,b)N(a,-b)A(x,y) B(-x,y)C(m,n)D(-m,-n).对称于坐标轴
2、的两点:.对称于原点的两点: 例1:在同一直角坐标系中，画出 ， 的图象。y = x 2y = - x 2试学活动一试学活动一你想把它画好你想把它画好吗？吗？xy=x2y= - x2.0-2 -1.5-1-0.511.50.52 函数图象画法函数图象画法列表列表描点描点连线连线00.2512.2540.2512.254 描点法描点法描点法描点法用平滑曲线将各个用平滑曲线将各个描出的点连结起来描出的点连结起来0-0.25-1-2.25-4-0.25-1-2.25-4注意：列表时自变量注意：列表时自变量取值要均匀和对称。取值要均匀和对称。试学活动二试学活动二 3、在同一直角坐标系中，画出 ， 的图
3、象。 2、在直角坐标系中，画出 的图象。y = x322y = x212y = 2 x2xy=2x2.0-2 -1.5-1-0.511.50.52xy=x2.0-4 -3-2-123 1400.524.580.524.5800.524.580.524.58xy=2x2.0-3-1.5 -11.51-22301.5-61.5-6二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线抛物线。这条抛物线关于这条抛物线关于y轴轴对称，对称，y轴就是它的轴就是它的对称轴。对称轴。 这条抛物线关于这条抛物线关于y轴轴对称，对称，y轴就是它的轴就是它的对称轴。对称轴。 这条抛物线关于这条抛物
4、线关于y轴轴对称，对称，y轴就是它的轴就是它的对称轴。对称轴。 对称轴与抛物线的交点对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点。对称轴与抛物线的交点对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点。对称轴与对称轴与抛物线抛物线的交点的交点叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点。正比例函数：y = kx （k0）一次函数：y = kx + b（k0）反比例函数：y = xk（ k 0）当k 0时，图象经过第一、三象限，y的值随x的增大而增大；当k 0时，y的值随x的增大而增大；其中当 b 0时，图象不经过第四象限，当b 0时，图象不经过第二象限；当k 0时，图象不经过第三象限，当b 0时
5、，图象在第一、三象限，在同一象限内y的值随x的增大而减小；当k 0时，在对称轴的时，在对称轴的左侧，左侧，y随着随着x的增大而的增大而减小。减小。 当当a0时，在对称轴的时，在对称轴的右侧，右侧，y随着随着x的增大而的增大而增大。增大。 当当a0时，在对称轴的时，在对称轴的左侧，左侧，y随着随着x的增大而的增大而增大。增大。 当当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2在在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且 向上无限伸展；向上无限伸展； 当当a0时，在对称轴的左侧，时，在对称轴的左侧，y随着随着x的增大而减小；的增大而减小；在对称轴右侧，在对称轴右侧，
6、y随着随着x的增大而增大。当的增大而增大。当x=0时函数时函数y的值最小。的值最小。当当a0时，在对称轴的左侧，时，在对称轴的左侧，y随着随着x的增大而增大；的增大而增大；在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y随着随着x增大而减小，当增大而减小，当x=0时，函数时，函数y的值最大。的值最大。二次函数y=ax2的性质4、当、当 | a | 的值越大时，其开口越小。的值越大时，其开口越小。大家准备好了吗？该玩一下了！大家准备好大家准备好了吗？该玩了吗？该玩一下了！一下了！活活 学学 一一根据左边已画好的函数图象填空根据左边已画好的函数图象填空：（1）抛物线）抛物线y=2x2的顶点坐标是的顶点坐标是 ,
7、对称轴是对称轴是 ，在在 侧，侧，y随着随着x的增大而增大；在的增大而增大；在 侧，侧，y随着随着x的增大而减小，当的增大而减小，当x= 时，时，函数函数y的值最小，最小值是的值最小，最小值是 ,抛物抛物线线y=2x2在在x轴的轴的 方（除顶点外）。方（除顶点外）。（2）抛物线抛物线 在在x轴的轴的 方（除顶点外），在对称轴的方（除顶点外），在对称轴的左侧，左侧，y随着随着x的的 ；在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y随着随着x的的 ，当，当x=0时，时，函数函数y的值最大，最大值是的值最大，最大值是 ，当当x 0时，时，y0.（0，0）y轴轴对称轴的右对称轴的右对称轴的左对称轴的左00上上下下
8、增大而增大增大而增大增大而减小增大而减小0活活 学学 二二已知抛物线已知抛物线y=ax2经过点经过点A（-2，-8）。）。 （1）求此抛物线的函数解析式；求此抛物线的函数解析式； （2）判断点）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。的点的坐标。解（解（1）把（）把（-2，-8）代入）代入y=ax2,得得-8=a(-2)2,解出解出a= -2,所求函数解析式为所求函数解析式为y= -2x2.（2）因为）因为 ，所以点，所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上。不在此抛物线上。y=-2x21、已知抛物线、已知
9、抛物线y=ax2经过点经过点A（-2，-8）。）。 （1）求此抛物线的函数解析式；求此抛物线的函数解析式； （2）判断点）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。的点的坐标。解（解（1）把（）把（-2，-8）代入）代入y=ax2,得得-8=a(-2)2,解出解出a= -2,所求函数解析式为所求函数解析式为y= -2x2.（2）因为）因为 ，所以点，所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上。不在此抛物线上。（3）由）由-6=-2x2 ,得得x2=3, 所以纵坐标为所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是的点有两个，它们分别是 二次函数二次函数y=ax2的性质的性质、顶点坐标与对称轴、顶点坐标与对称轴、位置、开口方向和大小、位置、开口方向和大小、增减性与极值、增减性与极值二次函数二次函数y=ax2的画法的画法在同一直角坐标系中，画出 1 ， 1的图象。y = x 2y = x 2
