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1、第五节第五节二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程一、二阶常系数线性齐次微分一、二阶常系数线性齐次微分 方程解的性质与通解结构方程解的性质与通解结构二、二阶常系数线性齐次微分二、二阶常系数线性齐次微分 方程的解法方程的解法的方程，称为二阶线性微分方程.当 时，方程(1)成为称为二阶线性齐次微分方程，当 时，方程(1)称为二阶线性非齐次微分方程./形如 当系数P(x)、Q(x)分别为常数p、q时，则称方程为二阶常系数线性齐次微分方程，称方程/为二阶常系数线性非齐次微分方程. 设y1(x)， y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个解，则 也是方程(3)的解，其中C1, C
2、2是任意常数.一、二阶常系数线性齐次微分方程解的性质与通解结构证 这个定理表明，二阶线性齐次微分方程任何两个解y1(x)， y2(x)的线性组合 ，仍是方程的解.那么， 是不是方程(3)的通解呢？例1 对于二阶常系数线性齐次微分方程容易验证： 都是它的解.由定理11.1 知C，显然它不是所给方程的通解.问题：方程(3)的两个特解y1(x)， y2(x)满足什么条件时，才是方程(3)的通解？ 由例1分析可知，如果方程(3)的两个特解y1(x)， y2(x)之间不是常数倍的关系，那么它们线性组合得到的解就必定是方程(3)的通解.定义 设y1(x) 与y2(x)是定义在某区间内的两个函数，如果存在不
3、为零的常数k (或存在不全为零的常数k1 , k2)，使得对于该区间内的一切x ，有成立，则称函数y1(x) 与y2(x) 在该区间内线性相关，否则称y1(x) 与y2(x) 线性无关. 例如，例1中 是线性相关的， 是线性无关的.定理 如果函数y1(x) 与y2(x)是二阶常系数线性齐次微分方程(3)的两个线性无关的特解，则就是方程(3)的通解,其中C1, C2为两个任意常数.例2所给方程为二阶常系数线性齐次微分方程解由定理7.2可写出所给方程的通解为其中C1, C2为任意常数.二、二阶常系数线性齐次微分方程的解法把 代入方程(3)，整理后得称一元二次方程(5)为二阶常系数线性齐次微分方程(
4、3)的特征方程.是方程(3)的解，特征方程(5)的根为于是都是方程(3)的解，且即 线性无关.因此方程(3)的通解为于是得到方程(3)的一个特解 ，须找出方程(3)的另一个特解y2，且取一个满足上式且不为常数的u(x),即可得到所求的y2,将上式积分两次,得可取C1=1,C2=0,得u(x)=x,于是得方程(3)的另一个特解线性无关，方程(3)的通解为是方程(3)的复数形式特解.利用欧拉公式再由定理可知，函数也是方程(3)的解，且即 线性无关，故得微分方程(3)的通解为其中C1, C2为任意常数.求二阶常系数齐次线性微分方程(3)的通解步骤：1.写出特征方程，并求出特征方程的两个根；:两个不相等的实根特征方程:微分方程:两个相等的实根一对共轭复根的两个根r1,r2的通解例3 求微分方程 解 其特征方程为即 (r+1)(r3)=0,例4解例5解
