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1、 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY四、四、 函数的间断点及其分类函数的间断点及其分类一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 第八节函数的连续性与间断点 第一章 三、三、 初等函数的连续性初等函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 连续函数的运算性质连续函数的运算性质 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例1.1. 设函数设函数一、一、 函数连续的概念函数连续的概念定义定义:在在的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , 则称函数则称函数设函数设函数且且，讨论，讨论在在处的连续性。处的连续性。
2、机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY由例题可见由例题可见 , 函数函数在点在点(1) 在点在点即即(2) 极限极限(3)连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在 ;有定义有定义 ,存在存在 ;例例2.2. 设函数设函数，讨论，讨论处的连续性。处的连续性。在在机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY则称则称在在或称它为该区间上的或称它为该区间上的连续函数连续函数 .在闭区间在闭区间上的连续函数的集合记作上的连续函数的集合记作称称在在点处左连
3、续点处左连续称称在在点处右连续点处右连续如果如果在开区间在开区间内每一点都连续内每一点都连续 , 上连续上连续 , 则称则称且在且在 a 点右连续，点右连续，如果如果在开区间在开区间上连续上连续 , 在在 b 点左连续，点左连续，在闭区间在闭区间上连续。上连续。机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例如例如,在在上连续上连续 .有理整函数（多项式函数）有理整函数（多项式函数） 又如又如, 有理分式函数有理分式函数在其定义域内连续在其定义域内连续.只要都有机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERS
4、ITYYANGZHOU UNIVERSITY对自变量的增量对自变量的增量有有函数的增量函数的增量函数函数在点在点连续有下列连续有下列等价命题等价命题:机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY函数函数在点在点连续有两种形式的定义：连续有两种形式的定义：用于判断一个具体函数在一个已知点处的连续性用于判断一个具体函数在一个已知点处的连续性用于证明函数在任意点处的连续性；用于证明函数在任意点处的连续性； 或用于函数连或用于函数连续的理论分析续的理论分析机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYAN
5、GZHOU UNIVERSITY例例3. 证明函数证明函数在在内连续内连续 .证证: 即即这说明这说明在在内连续内连续 .同样可证同样可证: 函数函数在在内连续内连续 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY定理定理2. 连续单调递增连续单调递增 函数的反函数函数的反函数在其定义域内连续在其定义域内连续定理定理1. 在某点连续的在某点连续的有限个有限个函数经函数经有限次有限次和和 , 差差 , 积积 , 商商(分母不为分母不为 0) 运算运算, 结果仍是一个在该点连续的函数结果仍是一个在该点连续的函数 .例如例如,例如例
6、如,在在上连续单调递增，上连续单调递增，其反函数其反函数(递减递减).(证明略证明略)在在 1 , 1 上也连续单调递增上也连续单调递增.递增递增(递减递减)也连续单调也连续单调二、连续函数的运算性质二、连续函数的运算性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY定理定理3. 由连续函数构造的复合函数也是连续函数由连续函数构造的复合函数也是连续函数.在在上连续上连续 单调单调 递增递增,反函数反函数在在上也连续单调递增上也连续单调递增. 又如又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYY
7、ANGZHOU UNIVERSITY例如例如,是由连续函数链是由连续函数链因此因此在在上连续上连续 .复合而成复合而成 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY三三 . 初等函数的连续性初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数在在定义区间内定义区间内都连续都连续例如例如,的连续区间为的连续区间为(端点为单侧连续端点为单侧连续)的连续区间为的连续区间为的定义域为的定义域为因此它
8、无连续点因此它无连续点而而机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY在在在在四、四、 函数的间断点及其分类函数的间断点及其分类(1) 函数函数(2) 函数函数不存在不存在;(3) 函数函数存在存在 , 但但 不连续不连续 :设设在点在点的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 , 则则这样的点这样的点下列情形下列情形之一之一时时, 函数函数 f (x) 在在点点 虽有定义虽有定义 , 但但虽有定义虽有定义 , 且且称为称为间断点间断点 . 在在无定义无定义 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVER
9、SITYYANGZHOU UNIVERSITY为其无穷间断点为其无穷间断点 .为其振荡间断点为其振荡间断点 .为可去间断点为可去间断点 .例例4. 4. 求下列函数的间断点求下列函数的间断点时无定义，时无定义，且且时无定义，时无定义，且且不存在，不存在，时无定义，时无定义，且且机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY且且为其可去间断点为其可去间断点 .(4)(5) 为其跳跃间断点为其跳跃间断点 .是分段点是分段点是分段点是分段点机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UN
10、IVERSITY 初等函数的间断点只能产生在函初等函数的间断点只能产生在函数孤立的无定义点上数孤立的无定义点上 分段函数的间断点往往产生在分段点上分段函数的间断点往往产生在分段点上（具（具体判别）体判别）机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点的寻找：间断点的寻找： YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:及及均存在均存在 ,若若称称若若称称第二类间断点第二类间断点:及及中至少一个不存在中至少一个不存在 ,称称若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡 , 称称若其中有一个为若其中有一个为为为第一类可去间断点第
11、一类可去间断点 .为为第一类跳跃间断点第一类跳跃间断点 .为为第二类无穷间断点第二类无穷间断点 .为为第二类振荡间断点第二类振荡间断点机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例5.5. 讨论函数讨论函数x = 2 是第二类无穷间断点是第二类无穷间断点 .间断点间断点例例6 . 设设提示提示:为连续函数为连续函数,求求 a，b .答案答案: x = 1 是第一类可去间断点是第一类可去间断点 ,及类型。及类型。机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例7. 确定函数确定函数间断点的类型间断点的类型. .解解: 间断点间断点为无穷间断点为无穷间断点;故故为跳跃间断点为跳跃间断点. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY作业作业P41 1( 2，3 )；2（2，3）； 4（3，4，5）；5第九节 目录 上页 下页 返回 结束
