§2 §2 闭区间上连续函数性质的证明闭区间上连续函数性质的证明 一、有界性定理一、有界性定理 二、最大、最小值定理二、最大、最小值定理三、介值性定理三、介值性定理 四、一致连续性定理四、一致连续性定理 在在闭区区间 上连续，上连续， 正数，需应用有限覆盖定理将无限多个邻域转化为有限正数，需应用有限覆盖定理将无限多个邻域转化为有限多个，多个，对应的无限多个正数对应的无限多个正数 转化为有限多个转化为有限多个 ，， 即在无限个邻域内都是即在无限个邻域内都是有界的，有界的，此时有无限多个正数此时有无限多个正数 ，， 连续函数具有局部有界性，连续函数具有局部有界性， 在在 上有界．上有界． 则 来证明第四章来证明第四章§2中给出的闭区间上连续函数的基本性质中给出的闭区间上连续函数的基本性质．． 在本节中在本节中,我们将利用关于实数完备性的基本定理我们将利用关于实数完备性的基本定理有界性定理有界性定理 若函数若函数分析分析 为了能找到一个最大的为了能找到一个最大的 从而找到最大的一个，完成证明从而找到最大的一个，完成证明. 首页首页× 这就证得这就证得 在在 上有界．上有界．由有限覆盖定理由有限覆盖定理,存在存在 的一个有限子集的一个有限子集 显然显然 是是 的的覆盖了覆盖了 ,且存在正数且存在正数 ,使得对一切使得对一切 一个无限开覆盖一个无限开覆盖, 及正数及正数 ,对每一点每一点 都存在都存在邻域域使得使得 证证 ［［证法一证法一］］（应用有限覆盖定理）（应用有限覆盖定理） 由连续函数的局部有界性（定理），由连续函数的局部有界性（定理）， 考考虑开区开区间集集 有有 令令则对任何则对任何 必属于某必属于某 首页首页× 类似地可证类似地可证 在在 上有下界，上有下界， 利用利用 在点在点倘若倘若 在在则对任何正整数则对任何正整数 , ［证法二［证法二］］（（应用致密性定理）应用致密性定理） 上无界，上无界， 存在存在 使得使得 依次取依次取 则得到数列则得到数列 由致密性定理，它含有收敛子列由致密性定理，它含有收敛子列 记记 由由及数列极限的保不等式性，及数列极限的保不等式性，连续，推得连续，推得 从而从而 在在 上有界上有界 . 所以所以 在在 上有上界．上有上界． 另一方面，由另一方面，由 的选取方法又有的选取方法又有 这与上式相矛盾．这与上式相矛盾． 首页首页× 从而将局部有从而将局部有界转化为了整体有界界转化为了整体有界. 注注1 1在证法一中，在证法一中， 能被有限个邻域覆盖时，能被有限个邻域覆盖时， 中求得最大的一个中求得最大的一个 有限覆盖定理的作用在于当一闭区间有限覆盖定理的作用在于当一闭区间 可以在有限个区域上的可以在有限个区域上的 经常在反证法中对选出的有界数列应用致密性定理经常在反证法中对选出的有界数列应用致密性定理. 注注2 2首页首页× 由有界性定理知由有界性定理知即即 在在 上有最大值．上有最大值． 设 是是 的一个上界，的一个上界， 故故 在在 上有上界．上有上界． 易易见 在在 上连续，上连续， 倘若不然，倘若不然，对一切一切 都有都有 存在存在 ，使，使 的值域的值域 有上确界有上确界,记为记为 由于已由于已证得得 在在 上有界，上有界， 在在 上连续，上连续， 在在 则则 定理定理 （最大、最小值定理）（最大、最小值定理）若函数若函数 在闭区间在闭区间上有最大值与最小值．上有最大值与最小值． 分析分析 上有界，上有界， 由确界原理知由确界原理知有上、下确界，有上、下确界， 的值域的值域 只要证明上下确界分别为最大、最小值即可只要证明上下确界分别为最大、最小值即可. 证证证证（应用确界原理）（应用确界原理） 故由确界原理，故由确界原理， 以下我们证明：以下我们证明： 令令 则则从而推得从而推得 但但这与与 为为 的上确界（最小上界）相矛盾．的上确界（最小上界）相矛盾． 所以必存在所以必存在使使 同理可同理可证 在在 上有最小值上有最小值.首页首页× 则 也是也是若若 为介于为介于 设函数函数 在闭区间在闭区间 上连续，且上连续，且定理定理 ( (介值性定理）介值性定理） 与与之之间的任何的任何实数数 则存在存在 使得使得 ． 证证 ［［证法一证法一］］（应用确界原理）（应用确界原理） 不妨不妨设令令 连续函数，函数， 上的上的且且于是定理的于是定理的结论转化化为：存在：存在使得使得这个个简化的情形称化的情形称为根的存在性定理（定理的推根的存在性定理（定理的推论））. . 记显然然为非空有界数集非空有界数集 故由确界原理，故由确界原理， 有下确界，有下确界，记 因因 由连续函数的局部保号性，由连续函数的局部保号性， 在在 内内 存在存在 使得在使得在 内内 由此可由此可见即即 首页首页× 当当 时，记时，记 若若 , ,则则 即为所求；即为所求； 将将 等分为两个子区间等分为两个子区间 即若函数即若函数 在在 上连续，上连续，但但这与与 矛盾，故必有矛盾，故必有下证下证倘若倘若 不妨不妨设 则又由局部保号性，存在又由局部保号性，存在使在其内使在其内 特特别有有［证法二［证法二］］（应用区间套定理）（应用区间套定理） 同上述证法一，我们把问题转化为证明根的存在性定理， 同上述证法一，我们把问题转化为证明根的存在性定理， 则存在存在使得使得若若 则则 于是有于是有且且 当当 时时,记记 再从区再从区间 出发，重复上述过程，得到：出发，重复上述过程，得到： 或者在或者在 的中点的中点 上有上有 或者有或者有闭区区间 ，满足，满足 ，且，且 首页首页× 而由定理的推而由定理的推论，当，当 充分大时有充分大时有倘若倘若 ，不妨设，不妨设 则由局部保号性，存在由局部保号性，存在 ，使在其内有，使在其内有（２）在任一区（２）在任一区间的中点的中点 上均上均 ，则得到闭区间列，则得到闭区间列 （１）在某一区（１）在某一区间的中点的中点 上有上有 ，则，则 即为所求；即为所求； 将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形：将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形： 满足满足 且且 由区间套定理，由区间套定理， 存在点存在点 下下证但但这与与 选取时应满足的选取时应满足的 相矛盾相矛盾, 因而有因而有故必有故必有注注 上面证法二中的方法是计算方法中用二分法求函数方程上面证法二中的方法是计算方法中用二分法求函数方程 的根的理论基础的根的理论基础. 首页首页× 则则 在在 上一致连续．上一致连续．任任给 ，对每一点，对每一点 若函数若函数 在闭区间在闭区间 上连续，上连续， 定理定理4.9 4.9 （一致连续性定理）（一致连续性定理） 证证 ［证法一］［证法一］（应用有限覆盖定理）（应用有限覆盖定理） 由由 在在 上的连续性，上的连续性， 都存在都存在 使得当使得当 时有时有 考虑集合考虑集合 显然然 是是 的一个开覆盖．的一个开覆盖． 由有限覆盖定理，存在由有限覆盖定理，存在的的 一个有限子集一个有限子集 覆盖了覆盖了 记 首页首页× 设 ，即，即 对任何任何 必属于必属于 中某开区间，中某开区间， 此时有此时有 故由（２）式同时有故由（２）式同时有 由此得由此得所以所以 在在 上一致连续．上一致连续． 首页首页× 当当 取遍所有正整数时，得数列取遍所有正整数时，得数列 与与 令令 （（n 为正整数），与它相应的两点记为为正整数），与它相应的两点记为 则存在某存在某 对任何对任何 都存在相应的两点都存在相应的两点 倘若倘若 在在 上不一致连续，上不一致连续， ［证法二］［证法二］（应用致密性定理）（应用致密性定理） 用反证法．用反证法． 尽管尽管 但有但有 尽管尽管 但有但有 由致密性定理，由致密性定理， 存在存在的收敛子列的收敛子列 ,且设且设 首页首页× 所以所以 在在 一致连续一致连续. . 这与这与 相矛盾．相矛盾． 同时由同时由 又得又得 最后，由（３）式有最后，由（３）式有在上式中令在上式中令 由由 的连续性及数列极限的保不等式性，的连续性及数列极限的保不等式性， 得到得到首页首页× 。