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1、E-mail: 1 1 空间直角坐标系空间直角坐标系 今今后后, 我我们们将将介介绍绍三三维维空空间间以以及及三三维维空空间间中中直直线线、曲曲线线、平平面面、曲曲面面的的解解析析关关系系. 对对于于二二维维向向量量空空间间, 我我们们已已很很熟熟悉悉, 本本章章着着重重介介绍绍三维向量空间中的一些基本概念三维向量空间中的一些基本概念.E-mail: 一、空间直角坐标系及点的坐标一、空间直角坐标系及点的坐标对于二维空间对于二维空间, 我们引入相应直角坐标系我们引入相应直角坐标系的途径是通过平面一定点的途径是通过平面一定点 作两条互相垂直的作两条互相垂直的数轴而成数轴而成. 对于三维空间对于三维
2、空间, 我们可类似地建立我们可类似地建立相应的空间直角坐标系相应的空间直角坐标系, 即过空间中一定点即过空间中一定点O, 作三条互相垂直的数轴作三条互相垂直的数轴, 它们以它们以O为公共原点为公共原点且具有相同的单位长度且具有相同的单位长度,这三条数轴分别称为这三条数轴分别称为x 轴轴, y 轴轴, z 轴轴, 都统称为都统称为数轴数轴.E-mail: 数轴正向不同数轴正向不同, , 可建立不同的直角坐标系可建立不同的直角坐标系. . 如如0xyz0xyz0xzy0xyz为统一起见为统一起见, 我们用右手法则确定其正向我们用右手法则确定其正向.OxyzE-mail: 由三条互相垂直的数轴按右手
3、规则由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系组成一个空间直角坐标系. . 坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴x x轴轴( (横轴横轴) )y y轴轴( (纵轴纵轴) )z z 轴轴( (竖轴竖轴) )过空间一定点过空间一定点o,o, 坐标面坐标面 卦限卦限zoxzox面主要名称与记号主要名称与记号:E-mail: 三个坐标平面将空间分为三个坐标平面将空间分为八个部分八个部分,IVVIVVII0xyVIIIIIIIIIz 点在各卦限点在各卦限中坐标的符号：中坐标的符号：III(, +, +)(+, +, +)III(, , +)IV(+, , +)V(+, +, )VI(, +, )VI
4、I(, , )VIII (+, , )E-mail: 坐标轴坐标轴坐标面坐标面E-mail: 向量向量在直角坐标系下在直角坐标系下坐标轴上的点坐标轴上的点 P, Q , R ; ;坐标面上的点坐标面上的点 A A , , B B , , C C点点M特殊点的坐标特殊点的坐标有序数组有序数组( (称为点称为点 M 的的坐标坐标) )原点原点 O(0,0,0);(0,0,0);空间点在空间直角坐标系中的表示法空间点在空间直角坐标系中的表示法E-mail: 点点M 的坐标的坐标点点M(x, y, z)记为记为M (x, y, z)x,y,z 称为称为M 的坐标的坐标.横横坐坐标标纵纵坐坐标标竖竖坐坐
5、标标E-mail: 三维向量与空间点的一一对应关系三维向量与空间点的一一对应关系.点M 一一对应(x, y, z)始点始点终点终点OM E-mail: 二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离现求现求M1 , M2两点间的距离两点间的距离 .设设M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), 为空间两点为空间两点, 连连 M1 , M2得向量得向量 M1M2, 由由图图知知, 为为以以 M1QNP为为 底底 , M1R为为高高的的长长方方体体的的一一条条对对角角线线的长度的长度.POxyzRQR1R2P2P1Q1Q2M2M1NE-mail: 由勾股定理由勾股定理POxyzR
6、QR1R2P2P1Q1Q2M2M1NE-mail: 特别地：特别地：（1）点）点M(x,y,z)到坐标原点到坐标原点O(0,0,0)的距离为：的距离为：（2）点）点M1(x1,y1,z1)到到M2(x2,y2,z2)的距离为的距离为0的充的充 要条件是要条件是M1和和M2两点重合；两点重合；（3）E-mail: 例例1 已知三角形的顶点为已知三角形的顶点为A(1,2,3)，B (7,10,3)和和C(1,3,1)试证明试证明A角为钝角。角为钝角。证明证明:可见可见由余弦定理，就可知由余弦定理，就可知A角为钝角。角为钝角。 E-mail: 例例2 求在求在 z 轴上与两点轴上与两点 A( 4,
7、1, 7)和和 B(3, 5, 2) 等距的点等距的点.解解: 设所求点为设所求点为(0, 0, z), 则则(40)2= 34 4 4z z2 ,18z = 28, (10)2 (7 z)2= (30)2 (50)2 (2 z)2 17 49 14z z2E-mail: 例例3 试在试在xoy平面上求一点，使它到平面上求一点，使它到A(1,1,5)、B(3,4,4)和和C(4,6,1)各点的距离相等各点的距离相等 解解: 设所求点设所求点M的坐标为的坐标为(x, y, 0), 则则又由题意知：又由题意知： |MA| = |MB| = MC| ，即：即： E-mail: 化简可得化简可得 所求的点为所求的点为M（16，5，0）
