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1、第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用第四章第四章 中值定理与导数应用中值定理与导数应用p第一节第一节 中值定理中值定理p第二节第二节 未定式的定值法未定式的定值法罗必塔法则罗必塔法则p第三节第三节 函数的增减性判别法函数的增减性判别法p第四节第四节 函数的极值与最值函数的极值与最值p第五节第五节 曲线的凹凸性、拐点与渐近线曲线的凹凸性、拐点与渐近线p第六节第六节 函数图形的讨论函数图形的讨论1.理解罗尔定理和拉格朗日中值定理理解罗尔定理和拉格朗日中值定理,掌握这两个定理的简单应用掌握这两个定理的简单应用;2.会用洛必塔法则求极限会用洛必塔法则求极限;3.掌握函数单调性的判别方法及
2、其应用掌握函数单调性的判别方法及其应用,4.掌握函数极值、最大值和最小值的求法掌握函数极值、最大值和最小值的求法,会求解较简单的应用题会求解较简单的应用题;6.会描绘简单函数的图形会描绘简单函数的图形.5.会用导数判断函数图形的凹凸性会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点及渐进线会求函数图形的拐点及渐进线本本章章基基本本要要求求本章重点、难点本章重点、难点重点：导数的应用、带重点：导数的应用、带 等式的证明等式的证明.难点：难点：带带 等式的证明等式的证明.第一节第一节 中值定理中值定理(罗尔中值定理罗尔中值定理)设函数设函数满足下面条件满足下面条件:在闭区间在闭区间在开区间在开区间
3、在区间两个端点处的函数值在区间两个端点处的函数值上连续上连续;内可导内可导;相等相等,即即则至少存在一点则至少存在一点使得使得定理定理证证 因因在在上连续上连续故故在在上一定有最大值上一定有最大值和最小值和最小值则则从而从而所以对于所以对于内任一点都可取作内任一点都可取作故命题成立故命题成立.则在则在内至少存在一点内至少存在一点使得使得下证下证故故几几何何意意义义注注三个条件缺一不可三个条件缺一不可.。(1)(4)(3)(2)例例1 验证函数验证函数在区间在区间上满足罗尔定理全部条件上满足罗尔定理全部条件,并求并求解解在闭区间在闭区间在开区间在开区间在区间两个端点处的函数值相等在区间两个端点处
4、的函数值相等上连续上连续内可导内可导故至少存在一点故至少存在一点使得使得即即故故题型一题型一 验证罗尔定理成立验证罗尔定理成立( ? )( ? )( ? )判断连续性判断连续性二二.分段函数分段函数 分界点用定义判断分界点用定义判断一一.初等函数初等函数判断可导性判断可导性(1)导数的性质导数的性质(2)导函数有定义导函数有定义二二.分段函数分段函数 分界点用定义判断分界点用定义判断一一.初等函数初等函数有定义区间上连续有定义区间上连续例例2证明方程证明方程至多有一个实根至多有一个实根,其中其中 为任意常数为任意常数.证证 假设方程至少有两个不同的实根假设方程至少有两个不同的实根显然显然在在上
5、满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件因此至少存在一点因此至少存在一点使得使得设设即即矛盾矛盾故命题成立故命题成立.题型二题型二 判断方程的根判断方程的根例例3不求导数不求导数,判断函数判断函数的导函数有几个实根的导函数有几个实根,以及所在的范围以及所在的范围.解解在在满足罗尔定理条件满足罗尔定理条件因此至少存在因此至少存在使得使得又又为三次函数为三次函数,则则为二次函数为二次函数,故故在在和和内各有一个实根内各有一个实根.有且仅有两个实根有且仅有两个实根,题型三题型三 证明带证明带 的等式的等式例例4设设在在在在上连续上连续,内可导内可导,则在则在内至少存在一点内至少存在一点使得使得证证 设设显
6、然显然在在上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件因此至少存在一点因此至少存在一点使得使得即即故故例例5 设设在在在在上连续上连续,内可导内可导,且且试证试证:在在存在一点存在一点使得使得证证 设设显然显然在在上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件因此至少存在一点因此至少存在一点使得使得即即内至少内至少故故(拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)设函数设函数满足下面条件满足下面条件:在闭区间在闭区间在开区间在开区间上连续上连续;内可导内可导,则至少存在一点则至少存在一点使得使得证证 设设显然显然在在上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件因此至少存在一点因此至少存在一点使得使得即即定理定理从而原式成立从而原
7、式成立.几几何何意意义义等价形式等价形式定理形式定理形式分析课本中辅助函数的令法分析课本中辅助函数的令法.令令直线直线AB曲线曲线AB思路思路: :切线切线 直线直线AB切线斜率切线斜率=直线斜率直线斜率切线斜率切线斜率=直线的切线斜率直线的切线斜率故选故选推论推论1 如果函数如果函数在区间在区间内任一点内任一点的导数的导数都等于零都等于零, 则函数则函数在在内内是一个常数是一个常数.证证任取任取在在上满足拉格朗日定理条件上满足拉格朗日定理条件因此至少存在一点因此至少存在一点使得使得所以所以故命题成立故命题成立.推论推论2 如果函数如果函数在区间在区间都相等都相等,则则在在内至多相差一个常数内
8、至多相差一个常数.内内任一点的导数任一点的导数与与证证因因所以所以即即由推论由推论1知知故命题成立故命题成立.题型一题型一 验证拉格朗日定理成立验证拉格朗日定理成立题型二题型二 证明不等式证明不等式例例5证明不等式证明不等式证证时时, 不等式显然成立不等式显然成立.时时,在在上满足拉格朗日条件上满足拉格朗日条件因此至少存在一点因此至少存在一点使得使得故故例例6试证试证证证 不妨设不妨设在在上满足拉格朗日定理上满足拉格朗日定理所以所以至少存在一个至少存在一个使得使得即即故故同理可证同理可证题型三题型三 证明带证明带 的等式的等式例例7设设在在在在上连续上连续,内可导内可导,则在则在内至少存在一点
9、内至少存在一点使得使得证证 设设显然显然满足拉格朗日定理条件满足拉格朗日定理条件因此至少存在一点因此至少存在一点使得使得从而原式成立从而原式成立.例例8 试证明试证明证证因因题型四题型四 证常数证常数所以所以且且在在上连续上连续则则令令得得题型一题型一 验证拉格朗日定理成立验证拉格朗日定理成立题型二题型二 证明不等式证明不等式题型四题型四 证常数证常数题型三题型三 证明带证明带 的等式的等式题型一题型一 验证罗尔定理成立验证罗尔定理成立题型二题型二 判断方程的根判断方程的根题型三题型三 证明带证明带 的等式的等式罗罗尔尔定定理理拉格朗日定理拉格朗日定理(柯西中值定理柯西中值定理)设函数设函数满
10、足下面条件满足下面条件:在闭区间在闭区间在开区间在开区间上连续上连续;内可导内可导;当当时时,则至少存在一点则至少存在一点使得使得定理定理误证误证用拉格朗日定理用拉格朗日定理相除即可相除即可.证明证明 设设显然显然在在上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件因此至少存在一点因此至少存在一点使得使得即即亦亦证明证明设设显然显然在在上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件因此至少存在一点因此至少存在一点使得使得即即亦亦证明证明设设显然显然在在上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件因此至少存在一点因此至少存在一点使得使得即即从而从而辅助函数辅助函数:题型二题型二 证明带证明带 的等式的等式题型一题型一 验证柯
11、西定理成立验证柯西定理成立题型三题型三 双介值问题双介值问题例例9 设设在在上可导上可导, 且且试证试证: 在在内至少存在一点内至少存在一点使得使得证明证明 设设则则在在上满足柯西定理条件上满足柯西定理条件因此至少存在一点因此至少存在一点使得使得从而原式成立从而原式成立.双介值问题双介值问题例例10设设在在在在上连续上连续,内可导内可导,试证试证 存在存在使得使得且且证证用拉格朗日定理用拉格朗日定理和和用柯西定理用柯西定理相除即可相除即可.双介值问题处理思路双介值问题处理思路:(1)将将和和分开分开(2)涉及一个函数导数用拉格朗日定理涉及一个函数导数用拉格朗日定理涉及两个函数导数的商用柯西定理
12、涉及两个函数导数的商用柯西定理(3) 拉拉+拉拉柯柯+柯柯柯柯+拉拉题型二题型二 证明带证明带 的等式的等式题型一题型一 验证柯西定理成立验证柯西定理成立题型三题型三 双介值问题双介值问题题型一题型一 验证拉格朗日定理成立验证拉格朗日定理成立题型二题型二 证明不等式证明不等式题型四题型四 证常数证常数题型三题型三 证明带证明带 的等式的等式题型一题型一 验证罗尔定理成立验证罗尔定理成立题型二题型二 判断方程的根判断方程的根题型三题型三 证明带证明带 的等式的等式罗罗尔尔定定理理拉拉格格朗朗日日定定理理柯柯西西定定理理题型五题型五 双介值问题双介值问题作业题作业题习题四习题四(A) 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10.
