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1、2.3 数学归纳法数学归纳法（）（）证明某些与自然数有关的数学题证明某些与自然数有关的数学题, ,可用下列方法来可用下列方法来证明它们的正确性证明它们的正确性: :(1)(1)验证验证当当n n取第一个值取第一个值n n0 0( (例如例如n n0 0=1)=1)时命题成立时命题成立, ,(2)(2)假设假设当当n=n=k(kk(k N N* * ，k k n n0 0 ) )时命题成立时命题成立, , 证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从完成这两步，就可以断定这个命题对从n n0 0开始的所开始的所有正整数有正整数n n都成立。这种证明方
2、法叫做都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法。注意注意 1 1. .用数学归纳法进行证明时用数学归纳法进行证明时, ,要分两个步要分两个步骤骤, ,两个步骤缺一不可两个步骤缺一不可. .2 (1)(1)(归纳奠基归纳奠基) )是递推的基础是递推的基础. . 找准找准n n0 0(2)(2)(归纳递推归纳递推) )是递推的依据是递推的依据n nk k时时命题成立作为必用的条件，而命题成立作为必用的条件，而n nk+1k+1时情时情况则有待况则有待利用假设利用假设及已知的定义、公式、定及已知的定义、公式、定理等加以证明理等加以证明回顾回顾例例:已知数列已知数列 计算计算 ,根据计算的结果根
3、据计算的结果,猜想猜想 的表达式的表达式,并用数学归纳法进行证明并用数学归纳法进行证明.例例: :是否存在常数是否存在常数a a、b,b,使得等式使得等式: : 对一切正整数对一切正整数n n都成立都成立, ,并证明你的结论并证明你的结论. .点拨点拨: :对这种类型的题目对这种类型的题目, ,一般先利用一般先利用n n的的特殊值特殊值, ,探求出待定系数探求出待定系数, ,然后用数学归纳然后用数学归纳法证明它对一切正整数法证明它对一切正整数n n都成立都成立. .解解: :令令n=1,2,n=1,2,并整理得并整理得以下用数学归纳法证明以下用数学归纳法证明: :(2)(2)假设当假设当n=k
4、n=k时结论正确时结论正确, ,即即: :则当则当n=k+1n=k+1时时, ,故当故当n=k+1n=k+1时时, ,结论也正确结论也正确. .根据根据(1)(1)、(2)(2)知知, ,对一切正整数对一切正整数n,n,结论正确结论正确. .(1)(1)当当n=1n=1时时, ,由上面解法知结论正确由上面解法知结论正确. .例例: :比较比较 2 2n n 与与 n n2 2 ( (n nN N* *) )的大小的大小注：注：先猜想，再证明先猜想，再证明解：当解：当n=1n=1时，时，2 2n n=2,n=2,n2 2=1, 2=1, 2n nnn2 2 当当n=2n=2时，时，2 2n n=
5、4,n=4,n2 2=4, 2=4, 2n n=n=n2 2 当当n=3n=3时，时，2 2n n=8,n=8,n2 2=9, 2=9, 2n nnnn2 2 当当n=6n=6时，时，2 2n n=64,n=64,n2 2=36, 2=36, 2n nnn2 2猜想猜想当当n n5 5时，时，2 2n nnn2 2( (证明略证明略) )例例: :平面内有平面内有n n条直线条直线, ,其中任何两条不平其中任何两条不平行行, ,任何三条不过同一点任何三条不过同一点, ,证明交点的个数证明交点的个数f(nf(n)=n(n-1)/2.)=n(n-1)/2.说明说明: :用数学归纳法证明几何问题用数
6、学归纳法证明几何问题, ,重难重难点是处理好当点是处理好当n=k+1n=k+1时利用假设结合几时利用假设结合几何知识证明命题成立何知识证明命题成立. .注注: :在上例的题设条件下还可以有如下二个结论在上例的题设条件下还可以有如下二个结论: :(1)(1)设这设这n n条直线互相分割成条直线互相分割成f(n)f(n)条线段或射线条线段或射线, ,-则则: : f(nf(n)=n)=n2 2. .(2)(2)这这n n条直线把平面分成条直线把平面分成( (n n2 2+n+2)/2+n+2)/2个区域个区域. .: :平面内有平面内有n n条直线条直线, ,其中任何两条不平行其中任何两条不平行,
7、 ,任何三条任何三条不过同一点不过同一点, ,证明这证明这n n条直线把平面分成条直线把平面分成f(nf(n) )(n(n2 2+n+2)/2+n+2)/2个区域个区域. .作业：作业：组组1:1:n n边形有边形有f(n)f(n)条对角线条对角线, ,则凸则凸n+1n+1边形的对角线边形的对角线 -的条数的条数f(n+1)=f(n)+_.f(n+1)=f(n)+_.2:2:设有通过一点的设有通过一点的k k个平面个平面, ,其中任何三个平面或其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条直线三个以上的平面不共有一条直线, ,这这k k个平面将个平面将 空间分成空间分成f(kf(k) )个区域个区域, ,则则k+1k+1个平面将空间分成个平面将空间分成 f(k+1)=f(k+1)=f(kf(k)+_)+_个区域个区域. .思考题思考题
