二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式 § 3.4一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用 — 应用应用用多项式近似表示函数用多项式近似表示函数理论分析理论分析近似计算近似计算泰勒 ( Taylor )公式 1 特点特点:一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立以直代曲以直代曲在微分应用中已知近似公式在微分应用中已知近似公式 :需要解决的问题需要解决的问题如何提高精度如何提高精度 ?如何估计误差如何估计误差 ?x 的一次多项式的一次多项式2 1. 求求 n 次近似多项式次近似多项式要求要求:故令则3 2. 余项估计余项估计令(称为余项) , 则有4 5 公式公式 ①① 称为称为 的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 .公式公式 ②② 称为称为n 阶泰勒公式的阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项 .泰勒定理泰勒定理 :阶的导数阶的导数 ,时时, 有有①①其中其中②②则当则当6 公式公式 ③③ 称为称为n 阶泰勒公式的阶泰勒公式的皮亚诺皮亚诺(Peano) 余项余项 .在不需要余项的精确表达式时在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为泰勒公式可写为注意到注意到③③④④* 可以证明可以证明: ④④ 式成立式成立7 注意注意:(1) 当当 n = 0 时时, 泰勒公式变为泰勒公式变为(2) 当当 n = 1 时时, 泰勒公式变为泰勒公式变为给给出拉格朗日中值定理出拉格朗日中值定理可见可见误差误差8 (5)(5)拉格朗日型余项主要用于拉格朗日型余项主要用于证明命题证明命题，皮亚诺型余，皮亚诺型余项主要用于项主要用于求极限求极限. .9 称为称为麦克劳林（麦克劳林（ Maclaurin ））公式公式 .则有则有在泰勒公式中若取在泰勒公式中若取则有误差估计式则有误差估计式若在若在公式成立的区间上公式成立的区间上由此得近似公式由此得近似公式10 二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式其中其中11 其中其中12 类似可得类似可得其中其中13 其中其中14 已知已知其中其中类似可得类似可得15 构造泰勒公式的方法构造泰勒公式的方法(1) (1) 求各阶导数，套用公式．求各阶导数，套用公式．(2) (2) 化为已知的初等函数的形式．化为已知的初等函数的形式．例例 1 1解解16 说明说明(1) (1) 如果要求拉格朗日型余项，并无特别的技巧．如果要求拉格朗日型余项，并无特别的技巧．(2) (2) 注意求哪一点处的泰勒公式．注意求哪一点处的泰勒公式．例例 217 解解18 三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用（（1）） 在近似计算中的应用在近似计算中的应用 误差误差M 为为在包含在包含 0 , x 的某区间上的上界的某区间上的上界.需解问题的类型需解问题的类型:1) 已知已知 x 和误差限和误差限 , 要求确定项数要求确定项数 n ;2) 已知项数已知项数 n 和和 x , 计算近似值并估计误差计算近似值并估计误差;3) 已知项数已知项数 n 和误差限和误差限 , 确定公式中确定公式中 x 的适用范围的适用范围.19 已知已知例例1 计算无理数计算无理数 e 的近似值的近似值 , 使误差不超过使误差不超过解解:令令 x = 1 , 得得由于由于欲使欲使由计算可知当由计算可知当 n = 9 时上式成立时上式成立 ,因此因此的麦克劳林公式为的麦克劳林公式为20 例例2. 用近似公式用近似公式计算计算 cos x 的近似值的近似值,使其精确到使其精确到 0.005 , 试确定试确定 x 的适用范围的适用范围.解解: 近似公式的误差近似公式的误差令令解得解得即当即当时时, 由给定的近似公式计算的结果由给定的近似公式计算的结果能准确到能准确到 0.005 .21 例例1. 求求解解:由于由于用洛必塔法则用洛必塔法则不方便不方便 !用泰勒公式将分子展到用泰勒公式将分子展到项项,（（2 2）利用带皮亚诺型余项的泰勒公式求极限）利用带皮亚诺型余项的泰勒公式求极限22 解：原式解：原式23 例例3解：原式解：原式24 例例4解：原式解：原式25 例例5解：解：26 3. 利用泰勒公式证明不等式或等式利用泰勒公式证明不等式或等式例例6. 证明证明证证:27 28 29 由题设对由题设对证证:有有且且例例830 下式减上式下式减上式 , 得得令令31 内容小结内容小结1. 泰勒公式泰勒公式其中余项其中余项当当时为时为麦克劳林公式麦克劳林公式 .32 2. 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式3. 泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1) 近似计算近似计算(3) 其他应用其他应用求极限求极限 , 证明不等式证明不等式 等等.(2) 利用多项式逼近函数利用多项式逼近函数 , 33 思考与练习思考与练习 计算计算解解:原式36 （（2））37 两边同乘两边同乘 n != 整数整数 +假设假设 e 为有理数为有理数( p , q 为正整数为正整数) ,则当则当 时时, 等式左边为整数等式左边为整数;矛盾矛盾 !证明证明 e 为无理数为无理数 . 证证: 时时,当当故故 e 为无理数为无理数 .等式右边不可能为整数等式右边不可能为整数.40 。