第六章 多变量输出反馈控制和解耦控制

《第六章 多变量输出反馈控制和解耦控制》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第六章 多变量输出反馈控制和解耦控制（135页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第六章 多变量输出反馈控制和解耦控制 状态反馈控制的确是线性系统综合的有力工具，但通常需用状态观测器解决状态变量测量问题，这并非是简单的事，而输出变量一般是可测量的，设计人员遇到的大多数系统可用输出量至输入的反馈信息来改善系统性能。倒立摆控制点击观看 倒立摆稳定控制就是通过测量倒立摆的摆杆的角度、角速度和其位移和速度来设计稳定控制系统的。 导弹的姿态控制是通过弹上的传感器测得导弹的姿态角和角速度来设计稳定控制系统。 航天器控制 点击观看 导弹控制 点击观看 航天器的姿态控制是通过航天器上的敏感器测得航天器的姿态角和角速度来设计稳定控制系统。 基本思想： 而对于一个多变量控制系统来说，无论采用状

2、态反馈还是输出反馈，其反馈矩阵诸元的选择均包含了很大的自由度，为了简单有效地配置多变量系统的极点，可以人为地限制反馈矩阵的结构形式。本章主要内容:6.1 状态反馈与输出反馈的单位秩结构6.2 PD输出反馈的设计6.3 PID输出反馈的设计6.4 输出反馈在二连杆机械手控制中的应用6.5 状态反馈解耦6.1 状态反馈与输出反馈的单位秩结构 我们已经学习过用极点配置的方法来设计单输入-单输出系统闭环的极点，这种方法实际上是n个极点来确定反馈阵的n个系数，那么对于输出多输入-多输出系统，如何设计状态反馈矩阵（或输出反馈矩阵）呢？ 状态反馈输出反馈 一、单位秩状态反馈矩阵单位秩状态反馈矩阵 状态反馈控

3、制规律为 (6-2) 式中 为 状态反馈矩阵，则闭环动态方程为 (6-3) (6-1) 设可控的多输入-输出受控对象动态方程为 第一种方法： 适当选择K阵的pn个元素，为配置极点提供了很大的自由，但通常包含大量的数值计算。（不实用） 式中 为 向量, k k为 向量，于是 (6-5) (6-4) 令第二种方法： 采用单位秩的方法，明显降低反馈矩阵的数值计算量。闭环动态方程化为 (6-6) 再来看下面的单输入-多输出受控系统，设 (6-7) (6-8) (6-9) 则 (6-9)与式(6-6)的闭环状态阵完全相同，即具有相同的特征值。故取 为单位秩结构的实质是把一个多输入系统等价地简化成一个单输

4、入系统，这里等价的含意指极点配置等价。 取单位秩结构以后，其中含 个待定元素，通常由设计者规定 的 个元素，只需选择 的 个元素来配置 个极点。 (6-6) 但是，等价的单输入受控系统即式(6-9)必须是能控的，才能以式(6-8)的状态反馈任意配置极点，故设计者规定的 必须保证 是能控的，即要求单输入受控系统的能控性矩阵 (6-10) 具有满秩n。为了保证任意规定 均能使等价的单输入系统具有能控性，有以下定理。定理定理6-16-1 等价的单输入系统以状态反馈任意配置极点的充 要条件是受控系统能控且 是循环的。 张成完整空间 ，即有 (6-11) 则称 相对 是循环的，或称线性系统 是循环的，矩

5、阵 是循环的。 循环性定义循环性定义 令 常数矩阵 是 维向量空间 的 线性 算子， 在 中存 在非零向量 ， 使下 列 个向量 将式(6-10)与式(6-11)对比可知，式(6-10)的存在便意味着 必是循环的，故 循环与 能控是等价的。 对于 中的所有 有 (6-12) 则称 相对是非循环的或 是非循环的。 若 非循环时，便不存在使式(6-10)成立的 。 关于 的循环性有下列判断准则。 定理定理6-2 系统矩阵 是循环的充要条件为有理矩阵(6-13) 是不可约简的。换句话说，其分子多项式矩阵 的全部 个元素与分母多项式 之间无分因子。证明证明 既然存在向量 使等价的单输入系统 能控，但

6、其能控的充要条件又可表为向量传递函数 没有 零极点对消，故 是循环的充要条件可表为 不可约。 定理定理6-3 A是循环的充分条件为 A具有相异特征值。 证明证明 当 具有相异特征值时，定可经过非奇异线性变换 化 为对角形，故有 ，式中 为对应 的的列特征向 量 ，满足 ，满足 为 的行特征向量。于是有式中 ， 与 是不可约简的，故 是循环的充分性得证。由于当 时， 只保留了第 元素非零，而其余元素全为零，故对于 有 ，即 为循环的，必有如果 有重特征值，则 既可能是循环的，也可能是非循环的。若存在 (6-14) (6-15) 则 为非循环的；否则， 是循环的。大多数多变量系统是循环的，非循环是

7、一种特殊情况。当可控系统非循环时，可引入附加的状态反馈矩阵 ，使闭环系统具有循环性，也就是使单输入系统 是能控的。通常可任意选择 ，其元素的量较小便能满足循环性要求，只需使 具有相异特征即可。因此，对于非循环受控对象的特征值配置问题可分两步进行，第一步引入任意的 的消去非循环性，这一步骤并不会改变受控系统能控的性质，即 是能控对。第二步再引入单位秩状态反馈矩阵 来配置极点。对于原受控对象来说，总的状态反馈矩阵是 (6-16) 试用单位秩状态反馈将闭环极点配置在 。 解 受控对象的循环性检查： 由于 的特征值为 。计算 ，故 为非循环的。因此设计分两步两步。 第一步第一步：引入状态反馈矩阵 ，式

8、中 为任意非零值。这时状态反馈规律为例6-1 设能控的多变量受控对象状态方程为由于 具有相异特征值 ，故 是循环的。 第二步：第二步：取 。设计单位秩状态反馈矩阵 。由于闭环特征多项式为 意为状态变量 通过反馈系数 反馈至参考输入 ，得到修正的控制对象系统矩阵 为令 ，则希望特征多项式为解得比较同幂项系数有故 对原受控对象的总状态反馈矩阵 为容易验证 的特征值即为规定的 ：单位秩输入反馈矩阵单位秩输入反馈矩阵 设能控能观测的多输入-多输出受控对象动态方程为 (6-17) 输出反馈控制规律常见以下几种类型：比例输出反馈 (6-18) 比例-误差积分-微分输出反馈 (6-21) 比例-微分输出反馈

9、 (6-19) 比例-误差积分输出反馈 (6-20) 式中输出反馈矩阵 均为 常值矩阵。为了简化多变量系统极点配置的算法，对输出反馈矩阵的结构加以限制，使其具有单位秩，若令(6-22) 式中 为 向量， 为 向量。则可把多变量系统化为等价的单输入系统。若令(6-23) 式中 为 向量， 为 向量。则可把多变量系统化为等价的单输入系统。下面以比例-微分反馈为例加以说明。由式(6-19)和式(6-22)有(6-24) 将其代入式(6-17)，则输出反馈闭环动态方程为故 (6-25) 再来看下列单输入-多输出受控系统，设 (6-26) 其闭环动态方程为故 (6-27) 显见式(6-25)和式(6-2

10、7)的闭环状态阵完全相同，即具有相同的特征值，故取式(6-22)所示单位秩结构，可化为等价的单输入受控系统 。由式(6-19)和式(6-23)有(6-28) 故 (6-29) 将其代入式(6-17)，则输出反馈闭环动态方程为 再来看下列多输入-单输出受控系统，设(6-30) 其闭环动态方程为故 (6-31) 显见式(6-29)和式(6-31)的闭环状态阵完全相同，具有相同特征值，故取式(6-23)所示单位秩结构，可化为等价的单输入受控系统 。 当输出向量维数 大于输入向量维数 ，即 时，采用 式(6-22)所示单位秩结构，这时输出反馈矩阵 含有 个参数，化为等价的单输入系统以满足极点配置的需要

11、。当 时，采用式(6-23)所示单位秩结构，这时 含有 个参数，化为等价的单输出系统。至于 时，可任意选择式(6-22)或式(6-23)所示结构。值得指出，受控对象 化为等价的单输入系统 时，当且仅当 是能控能观测时，才能以单位秩反馈矩阵任意配置极点。系统 总是能观测的，当且仅当 是循环的, 才是能控的。故若受控对象能控能观测且 是循环的， 则适当选择 能使 能控。 若受控对象能控能观测但 是非循环的，这时可预先引入一个任意的但尽可能简单的比例输出反馈矩阵 ，即 (6-32) (6-33) 于是修正的受控系统为 式中 是循环的。由于输出反馈不改变原受控系统的能控能观测性，故修正的受控系统 仍是

12、能控能观测的，对其设计单位秩输出反馈矩阵 和 ，以配置系统特征值。于是，对原受控系统来说，总的反馈矩阵为 ，可以看出， 为非循环的输出反馈设计也是分两步进行。6.2 PD输出反馈的设计 在经典控制理论中，闭环反馈形式都是输出PD反馈形式。能量的PD控制成像系统的PD控制 对于许多单输入-单输出系统，为满足极点配置需求，基本上都采用PD输出反馈；而现在对于多输入-多输出系统，同样为满足极点配置需求，是否也可以采用PD输出反馈来设计控制规律呢？ 假定能控、能观测、循环的线性多变量受控对象动态方程为 (6-34) 式中 为 维状态向量， 为 维输入向量， 为 维输出向量。为满足极点配置需求，采用下列

13、PD输出反馈控制规律(6-35) 可得闭环系统状态方程为(6-36) 式中 通常成立。闭环系统仍为 阶，微分项并不引入任何新的系统极点。为了确定反馈矩阵 的参数，以便把系统极点为配置到规定位置，一种便于工程计算的简单方法是分两步来确定 ，每步均用单位秩结构。第一步第一步：用下列 单位秩比例输出反馈规律 (6-37) 作用于受控对象 ，式中 为 向量， 为 向量，得闭环动态方程为(6-38) 其特征多项式记为 有(6-39) 利用行列式性质 (6-40) (6-41) 则 (6-42) 故 (6-45) 令 (6-44) (6-43) 注意到受控对象的传递函数矩阵 为 (6-46) 式(6-45

14、)给出了闭环特征多项式与开环特征多项式（即受控对象特征多项式）、反馈矩阵的显关系。配置极点时，可任意规 定 向量，使 仍能观测，根据先配置希望闭环极点中的 个极点 来确定向量 ，这就是解下列 个线性方程 (6-47) 则所得闭环系统 有 个极点 。第二步：对第一步所得闭环系统 作用单位秩比例及微分输出反馈规律 (6-48) 式中的 为 向量， 均 为向量。得到结果的闭环动态方程为(6-49) 其闭环特征多项式记为 ，有 (6-50) 令 (6-51) 由于 (6-52) 故 (6-53) 注意到第一步所得闭系统 的传递函数矩阵 为 (6-54) 由于第一步已经配置了 个闭环极点在规定位置上，在

15、第二步设计中应保持这些闭环极点不再改变。当第二步设计采用单位秩结构以后，导出了式(6-33)所示闭环特征多项式，它示出闭环极点与反馈矩阵的显关系，可以看出，按下列方式选择 ，即令(6-55) 可使 与 具有相同极点，即能保持第一步配置的极点，而与 无关。 验证可知 其秩为1，故 只含有一个独立的行，设以 表示，那么式(6-55)又可表为(6-56) 当求出以后，其余 个希望极点通过求解下列线性方程(6-56) 确定 来实现配置。 原受控系统总的比例-微分输出反馈规律为(6-58) 式中总的比例输出反馈矩阵 其秩为2。微分输出反馈矩阵其秩为1。上面所取的单位秩结构将多输入-多输出系统化为等价的单

16、输入-多输出系统。 若 令，则可化为等价的多输入-单输出系统，分两步的设计方法是类似的，这里只列出所需计算公式，推导过程略。 第一步：用 作用于受控对象，与上述第一步相同，唯此时根据先配置 个希望极点来选 ，即解下列 个线性方程： (6-59) 第二步：用 作用于所得闭环系统 得到结果的闭环特征多项式为 (6-60) 为保持第一步所配置的闭环极点不变，按下列方式选择 ，即令(6-61) 式中 为 中任意不为零的列。 求出后，其余 个希望极点通过求解下列线性方程 (6-62) 确定 来实现配置。原受控系统总的比例-微分输出反馈规律为 (6-63) 其中 。不加证明地指出，定义(6-64) 则当

17、时，采用化为等价的单输入系统的单位秩结构；当 时，采用化为等价的单输出单位秩结构。例6-2设能控、能观测、循环的受控对象动态方程为试求PD输出反馈矩阵，将闭环极点配置在 。解 计算 故 ，采用化为等价的单输入系统的单位秩结构。 第一步：计算受控对象传递函数矩阵 令 ， 设它将 个极点配置在希望闭环极点处，这里任 取，其 能观测，由下式求 任取 ，则 ，故所得闭环系统 传递函数矩阵 为有一个闭环极点位于 。 第二步：令 作用于系统 ，为保持已配置的极点 不变，需如下选择 满足： 任取 ，则 ，因此 值确定 以后，由下式确定，这里 即 显见 含有 极点而与 无关。令 中 与希望特征多项式（含以外的

18、四个希望极点）相比较，可得下列线性方程组： 解得 。故受控对象 所需 反馈矩阵为可以证实，闭环极点配置到规定位置。6.3 PID输出反馈的设计 在经典控制理论中，闭环反馈形式都是输出反馈形式。水箱PID控制系统转台PID控制系统 对于许多单输入-单输出系统，为满足极点配置需求，基本上都可采用PID输出反馈；而现在对于多输入-多输出系统，同样为满足极点配置需求，是否也可以采用PID输出反馈来设计控制规律呢？设能控能观测线性多变量受控对象动态方程为 (6-65) 式中 为 维状态向量， 为 维输入控制向量， 为 维输出向量， 为 维扰动向量。采用下列PID输出反馈控制规律：(6-66) 式中 为

19、维指令向量， 分别为比例、误差积分、微分输出反馈矩阵，其中 位于反馈通路中， 位于前向通路中。 设计要求是：1.闭环极点处于复平面规定位置，以满足瞬态响应需求；2.稳态时，输出向量 准确跟踪指令向量 ；3.对于终值是常数的任意扰动 ，不影响稳态输出。PD输出反馈可满足第一项要求，而为满足第二、三项要求，需引入积分项。但积分项的引入将增加系统阶数，定义积分器输出 为 (6-67) 选择 为附加的状态向量 ，或(6-65)与式(6-67)联立构成 阶增广受控对象动态方程为(6-68) 式中 为了配置极点，增广对象 应具有能控能观测性，这就要求原受控对象具有能控能观测性，以及矩阵 具有满秩 ，后一条

20、件包含着 （即输入向量维数至少与输出向量维数相等）及 。 为了工程设计的方便，PID控制器设计通常分三步进行。 第一步：施加初始控制规律 (6-69) 作用于增广对象 ， 为任意的满秩 矩阵，结果得到新的增广系统 (6-70) 式中 应具有相异特征值，于是保证了 是循环的。对于系统 ， 至 的传递函数矩阵 为 (6-71) 式中 (6-73) (6-72) 若原受控对象 是循环的，则令 。第二步：以单位秩反馈控制规律 (6-74) 作用于系统 ，将 个极点配置在希望的规定位置，式中 为 向量， 为 向量， 为 向量。所得闭环系统 为(6-75) 或由式(6-67)及式(6-70)导出闭环系统为

21、 (6-76) 式中 具有相同的特征值 。 至 的传递函数矩阵 为 (6-77) 式中 (6-78) (6-79) 其闭环特征多项式 可由分块矩阵的行列式恒等关系(6-80) 展开为(6-81) 由于 是循环的，故可任取 使 能控，根据 个希望闭环极点位置应满足(6-82) 来确定 。第三步：以单位秩反馈控制规律 (6-83) 作用于系统 ，将其余 个极点配置在希望位置，并保持已配置的 个极点不可改变。式中 均为 向量， 为 向量。所得闭环系统为 (6-84) 式中闭环特征多项式为(6-85) 为保持个极点位置不变，需令(6-86) 以便选择 而与 无关。验证可知 ，其秩为1，故 只含一个独立

22、的列向量，设以 表示，故式(6-86)又可表为 (6-87) 值得指出，这样选择 将使单输出系统 变成不能观测的，这是由于在函数向量 中产生了零极点对消，对消的极点即 。 一个旦确定 以后，其余 希望极点可通过求解下列 个线性方程(6-88) 确定 来实现配置。原受控系统 所需的PID输出反馈控制规律为 (6-89) 式中 分别为 单位秩比例输出反馈矩阵与微分输出反馈矩阵， 为 满秩 的积分反馈矩阵，将 个闭环极点配置在规定位置。对于 的多变量系统，利用上述方法所设计的PID控制器能任意配置全部 个闭环极点；对于 的多变量系统，则有 个极点位于未加规定的位置，与设计中所取的 有关。实际上通常是

23、 个小的数目，通过重复设计 及 ，从而重新设计PID控制器，能够得到满意结果。某些 的系统，利用PID控制器可能得不到一个稳定的闭环系统，这意味着将需要一个更加复杂的控制器。为配置极点所需的PID控制器也可以完全位于前向通路中，即 (6-90) 现在来考虑式(6-84)所示闭环系统的稳态特性。只要闭环系统稳定，对于阶跃指令向量 ，稳态时有 ，即稳态输出向量 ，其稳态误差为零。另外，对于终值为常数的任意扰动d，也有 ，即 ，故稳态时输出向量不受d的影响。值得指出，在系统参数有大的变化而闭环系统仍能稳定，上述稳态特性得以保持的意义上来说，PID控制具有鲁棒性。 为了改善闭环系统的瞬态响应，可将求得

24、的PID控制器矩阵 修改为 ，这里 称为调谐参数。独立地改变 ，可分别研究比例项、积分项、微分项对瞬态响应的影响。一般情况下，通过合适地选择极点位置及调谐参数，总能获得满意的瞬态响应。 上述PID控制器的设计方法、能满足许多实际多变量系统的瞬态响应和稳态特性需求。试设计PID控制器，将闭环极点配置在 。 例6-3 设能控能观测、循环的多变量受控对象动态方程为解 该受控对象为双输入-双输出系统， 故不稳定。 已知 能控能观测，且引入积分器以后的增广系统矩阵 故可用 任意配置极点。由于 ，PID控制器可任意配置 个闭环极点，其设计步骤如下：第一步：令 ，已知 是循环的，取 。增广受控对象传递函数矩

25、阵 为式中 第二步：令 ，将 个即1个极点配置在希望位 置 处，任意选择 ，由式(6-82)有 任取 ，故 。所得系统传递函数矩阵 为 式中 ，它将一个极点配置在规定位置 。 第三步：令 ，使极点 得以保持且配置另外 个极位于 处。为保持极点 ，需满足式(6-87)，即 任取 ，故 。闭环特征多项式由式(6-85)给出为该式表明有一闭环极点位于 而与 无关。为了适当选择 以配置其余六个闭环极点，可令中括号内的表达式与六个希望极点的特征多项式相等，即求解下列线性方程组：解得所需PID控制规律为式中 容易证明闭环极点已位于规定的位置。6.4 输出反馈在二连杆机械手控制中的应用 设在垂直平面内运动的

26、二连杆机械手如图所示，它模仿限制在垂直平面内运动的人的臂，连杆类似人的上臂、下臂，关节象人的肩、肘，终端操作装置象人的手。 在每一个关节处装有伺服雷达，提供关节力矩 （作为控制变量）去驱动连杆，以一定的角速度转过的角度作为输出变量，使机械手从一初始位姿态运动到最终姿态。这种二连杆机械手可用来完成取物作业。一、二连杆机械手动力学模型 用欧拉拉格朗日动力学方程可导出机械手通用的动力学方程如下：（6-91）式中 控制力矩向量； 关节角、角速度、角加速度向量； 重力力矩向量； 哥氏力及离心力向量； 惯性矩阵； 机械手连杆数目。 机械手动力学方程是很复杂的，它由n个非线性、耦合、二阶微分方程组成。对于二

27、连杆机械手，其动力学方程可展开成下列两个方程： （6-92）式中 假定机械手各关节无摩擦，连杆为匀质细长杆，连杆质量为 、 ，其重心位于连杆中点。 现在想为这样一个非线性机械手设计线性多变量输出反馈控制器，必须首先对该模型进行小扰动线性化。假设条件：二、机械手的线性化模型 考虑下列技术参数： 则设机械手的工作点 为 它对应于臂垂向下的位姿，在小扰动情况下，可得到机械手的线性化动力学方程如下：（6-93） 式中三、机械手的稳定 检查 的特征值有 受控对象有两对极点位于虚轴上，故在工作点 处，受控对象根本上是不稳定的。为保证引入单位秩输出反映控制器以后能得到闭环稳定，需检查受控对象的可控性、可观测

28、性和循环性。 由于 故受控对象可控、可观测。由于 具有相异特征值，故 是循环的。 首先以最简单的比例输出反馈（P）来设计控制器，设控制器方程为 （6-94） 式中 为 参考指令向量，即 ； 为 常值反馈矩阵。 由式（6-93）和式（6-94）可得闭环状态方程为（6-95） 其特征多项式 为（6-96） 式中 均与 阵元素有关。由于式（6-96）有缺项，故无论怎样选择都不能使闭环稳定。 引入比例微分输出反馈（PD）控制器的情况，设控制器方程为（6-97） 式中 均为 常值反馈矩阵。由式（6-93）和式（6-97）可得闭环状态方程为（6-98） 可看出增加微分输出反馈并未增加系统阶次，其闭环特征多

29、项式为 （6-99） 该式将反馈增益矩阵 与 以显式相联。设利用下列单位秩结构 （6-100） 且规定希望闭环极点位置为（6-101） 运用上节所述PD控制器设计方法可得: 故（6-102） 值得指出，上述 的设计是基于机械手线性化模型得出的，当其应用于非线性模型时，只要系统运动在工作点附近，便会具有满意的特性。 四、机械手的跟踪控制 先来研究稳定跟踪，即只在稳态时要求 跟踪指令向量 （通常是阶跃函数）；再来研究完全跟踪，即不仅在稳态时，还要在状态转移过程中跟踪指令向量，前者需要设计PID控制器，后者需要引入复合控制，设计一个指令匹配控制器。 1稳态跟踪的PID控制器 为使稳态时跟踪阶跃指令无

30、误差，控制器中应含有积分器。首先试以最简单的比例积分（PI）控制器来实现稳态跟踪的情况。PI控制器方程为 （6-103） 式中 均为 增益矩阵。 应考虑积分控制器的输出 作为附加的状态向量，有 故 （6-104） 增广受控对象动态方程为又 故增广受控对象是可控、可观测的。 得到增广的闭环系统状态方程 ：（6-105） 其闭环特征多项式为 （6-106） 式中 与 的参数有关。 由于式（6-106）是缺项的，PI控制器不满足稳定必要条件。PID控制器方程为 （6-107） 可得增广的闭环系统状态方程 （6-108） 其闭环特征多项式（6-109） 式中 与 的参数有关。 设利用下列单位秩结构 （

31、6-110） 且规定希望闭环极点位置为 （6-111） 运用上节所述PID控制器设计方法可得 （6-112） 将设计的PID控制器应用于机械手非线性模型，不但在工作点附近运动时稳态输出能精确地跟踪阶跃指令，甚至偏离工作点较大但只要闭环系统稳定，上述稳态特性仍然能够保持。2完全跟踪的指令匹配控制器 这里是将按输入指令的复合控制原理应用于机械手多变量控制，使机械手输出向量在动态和稳态时都能跟踪对应指令向量。 已知机械手线性化动态方程以 表示，则受控对象传递函数矩阵 为（6-113） 指令匹配控制器由反馈控制器 和前馈控制器 组成，由反馈控制器提供的控制分量为 ，由前馈控制器提供的控制分量为 。 于

32、是总的控制作用为 （6-114） 故（6-115） 为使闭环系统稳定，反馈控制器设计成多变量PD控制器，即（6-116） 若选择前馈控制器 满足 ，即（6-117） 这意味着不管 按什么规律变化，总有相同规律的输出，称为输出与指令相匹配。 （6-118） 则式（6-115）有计算可得前馈控制器为（6-119） 显见 中含有双重微分及比例项，是一个 控制器。 反馈控制器为 （6-120） 故指令匹配控制器方程为 （6-121） 6.5 状态反馈解耦 用状态反馈可对多变量系统实现解耦，其推导过程比较复杂，先来概述状态反馈解耦问题及其求解步骤，然后就实现状态反馈解耦的充要条件和具体方法进行论证。 导

33、弹的解耦控制设线性定常、可控的受控对象动态方程为 （6-122） 受控对象的传递函数矩阵 为 阶方阵，有 （6-123） 选择如下线性状态反馈控制规律 （6-124） 式中 为适当选去的 状态反馈增益矩阵， 为 维参考输入向量， 为适当选取的 阶非奇异输入变化矩阵，则闭环系统状态方程为（6-125） 其闭环系统 的传递函数矩阵 是对角化非奇异矩阵，其中元素均为具有一定阶数的积分环节，形如 （6-126） 式中 是与 的结构有关的一个参数，并称闭环系统 为积分型解耦控制。 显然，积分型解耦系统的闭环极点都位于复平面原点，不能满足动态性能需求，故进一步引入状态反馈： （6-127） 下面从分析传递

34、函数矩阵 和 的结构入手来展开状态反馈解耦问题的研究。 一、 和 的结构分析 上式所示受控对象有 ，其 各元素均为严格有理真分式函数，即其分母多项式阶次一定大于分子多项式阶次。 记 为 的 第 行（ ），计算该行诸元素的分母多项式阶次与分子多项式阶次之差，取其差值的最小值再减1，则有 定义定义 显然 是 的一个结构参数。 由于 诸元素的分母多项式至多为 阶，故当 中有一个元素的分子多项式阶次为 时， 便有 ； 当 中所有元素的分子多项式阶次为零时，便有 ，故有 与 的关系为（6-128） 用 表示对于 有 该式两端均左乘 有 化简，得： （6-129） 由于 的分子多项式的最高阶次为 ，故不存

35、在等阶次更高的诸项，即 故（6-130） （6-131） 定义 （6-132） 为 向量，显然 也是 的一个结构参数，计算可知 故有 （6-133） 同理，对于 ，可类似定义 ，且可导出（6-134） （6-135） 可以验证以下恒等式： 对于 ，则存在下列恒等式： 上面导出的结构参数 ， 使构造状态反馈矩阵 及输入变换矩阵 所需要的。 由以上推导可得如下定理 传递函数矩阵为 的受控对象，可用状态反馈控制规律 实现积分型解耦系统的充要条件是下列矩阵 （6-136） 为 阶非奇异矩阵。 小结：求解积分型解耦系统的步骤如下：1.计算受控对象的 ，并确定与 对应的 值；2构造 阵并检查是非奇异的：3

36、 构造 阵：4求 阵， ； 5求 阵， ； 引入状态反馈控制规律 （6-137） 积分型解耦系统的动态方程为 （6-138） 其闭环传递函数矩阵 是仅含积分环节的对角化非奇异矩阵，且包括 个独立子系统，子系统的传递函数均为不可约传递函数，其分母的阶数为 。 若 维积分型解耦系统是可控且可观测的，则有 ；若是可控但不可观测的，则有 ，意为状态向量维数将大于不可约传递函数分母的阶数，这是由传递函数的零、极点对消形成的。二、附加状态反馈对积分器解耦系统实现极点配置 设积分器解耦系统可控可观测，则存在非奇异变化矩阵 ，使 ，这里 （6-139） 经变换，积分型解耦系统可化为下列标准解耦系统：（6-14

37、0） 式中 为 阶子方阵， 为 维列向量， 为维行向量，即 （6-141） 标准解耦系统是分块对角化的系统，对各子系统 （6-142） 取下列状态反馈控制规律： （6-143） 可使标准解耦系统仍然解耦，且可实现极点的任意配置。 所得闭环系统动态方程为 （6-144） 由于 ，可得原闭环系统动态方程为 （6-145） 三、稳态解耦 有时受控对象不存在非奇异的 阵，有时积分型解耦系统含有不稳定的不可观测的状态变量，这时可附加一些动态单元使系统稳定，但增加了控制规律的复杂性及实现的难度，以致输入-输出之间仍然存在耦合，于是有时宁可放宽对解耦问题的要求和提法，即实现稳态解耦。 定义 设系统 是稳定的

38、，且其稳态增益矩阵 （6-146） 是非奇异对角阵，则称系统是稳态解耦的。 对于受控系统 ，并假定系统是可控的，用状态反馈控制规律 ，可得闭环系统动态方程 。 通过 的适当选择， 总是稳定矩阵，这时有闭环传递函数矩阵由于闭环系统稳定，则存在稳态增益矩阵 （6-147） 意为存在 ， 即 应为非奇异阵。 若令 （6-148） 式中 为希望的稳态对角化非奇异矩阵 可以证明， 非奇异与受控对象 非奇异是等价的。 则矩阵 可按下式选择： 即 应是非奇异的，便能实现稳态解耦。 （6-149） 定理 使受控对象 实现稳态解耦的充要条件是：状态反馈控制规律K可使系统稳定，且 为非奇异矩阵。 实现稳态解耦的条件与实现动态解耦的 阵应非奇异的条件相比要简单得多，故稳态解耦有实际意义，它为抑制和消除扰动、提高跟踪精度的工程设计提供了一种依据。