第13章 边界层理论基础主要内容： 13.0 N-S方程的简化 边界层的概念 13.2 层流边界层的微分方程 13.7 边界层的分离现象及绕流阻力 13.0 N-S方程的简化•Re（惯性力与粘性力之比）很小时小球绕流问题小球绕流问题 小球在静止液体中作自由下落，受力分析如小球在静止液体中作自由下落，受力分析如图由于 f∝∝v，， 则当则当F+f=G 时，小球作时，小球作匀速下降，且速度最大，称匀速下降，且速度最大，称自由沉降自由沉降速度速度可以略去惯性力，只考虑粘性力； 13.0 N-S方程的简化•Re （惯性力与粘性力之比）很大时圆柱绕流问题圆柱绕流问题若略去粘性力，只考虑惯性力实际流体→理想流体 •当理想流体的平行流无环流地绕流圆柱体时，圆柱体既不受阻力作用，也不产生升力达朗伯疑题达朗伯疑题圆柱绕流问题圆柱绕流问题 一、边界层的概念边界层理论：边界层理论： 1904 普朗特普朗特粘滞性粘滞性→固定边壁：固定边壁：u=0 实际液体实际液体 u边界附近区域的横边界附近区域的横边界附近区域的横边界附近区域的横向流速梯度很大向流速梯度很大向流速梯度很大向流速梯度很大（1）物体边界附近薄层由于粘性力作用，有很大的速度梯度du/dy——边界层（附面层）；（2）边界层以外的流动，粘性力作用不计——理想流体无旋流动（势流）边界层的概念边界层的概念 二、边界层厚度边界层的界限边界层的界限：流速：流速uU0的地方的地方 边界层的厚度：边界层的厚度：从平板沿外法线到流速从平板沿外法线到流速uU0处的距离。
处的距离 用符号用符号δ表示边界层厚度表示边界层厚度 边界层的厚度是边界层的厚度是沿板端的距沿板端的距离离x的增加而增大，因此的增加而增大，因此δ一一般表示般表示为x的函数，即的函数，即 三、边界层内液体的流态 1、实际液体运动的两种、实际液体运动的两种流动型态流动型态判别指标：判别指标：Rex 2、边界层内的水流型态、边界层内的水流型态层流边界层层流边界层:紊流边界层：紊流边界层：层流层流:紊流：紊流：板面粘性底层板面粘性底层δ0 (τ= τν)Re=5×105～～106 δ极薄，横向流速梯度很大，很大极薄，横向流速梯度很大，很大的内摩擦阻力（粘滞力的内摩擦阻力（粘滞力τν）） 层流边界层层流边界层紊流边界层：紊流边界层： 现在根据边界层的特征，利用不可压缩粘性流体的运动微分方程来研究边界层内流体的运动规律为简单起见，只讨论流体沿平板作定常的平面流动,x轴与壁面相重合，如图13-3所示假定边界层内的流动全是层流，忽略质量力，则不可压缩粘性流体平面定常流动的微分方程和连续方程为 （13-1） 图13-3 推导层流边界层的微分方程用图 可以利用边界层每一处的厚度都很小的特征，来比较方程组（13-1）中各项的数量级，权衡主次，忽略次要项，这样便可大大简化该方程组。
边界层的厚度 与平板的长度 相比较是很小的，即 ，而y的数值限制在边界层内，并满足不等式为了把方程组（13-1）变换成无量纲的，引入坐标x、y与平板长度 、分速度vx、vy与来流速度 ，压强p与 之比，即引入无量纲物理量： 将它们代入方程组（13-1），整理后得（13-2）式中 很显然，在边界层内， 以及y与 是同一数量级，于是可取（符号~表示数量级相同），所以得到如下一些数量级： 然后，再来求出其它各量的数量级，由连续方程因此 ，于是又得到以下数量级：为了便于讨论，将各项的数量级记载方程组（13-2）相应项的下面现在来分析方程组（13-2）各项的数量级，以达到简化方程的目的 惯性项 和 具有相同的数量级1，而惯性项和 也具有另一个相同的数量级 ，比较这两个惯性项的数量级，方程组（13-2）中第二式中各惯性项可以忽略掉。
另外，比较各粘性项的数量级，可知 与 比较， 可以略去；又 与 比较， 可以略去；最后，比较 和 的数量级， 也可以略去于是在方程组（13-2）的粘性项中只剩第一式中的一项 根据边界层的特征，在边界层内惯性项和粘性项具有同样的数量级，由方程组（13-2）可知，必须使 和 同数量级，所以 ，即 反比于 这表明，雷诺数越大，边界层相对厚度越小 这样，将式（13-2）中的某些项略去，再变换成有量纲量，便得到了层流边界层的微分方程（称为普朗特边界层方程）：（13-3）其边界条件为 （13-4）式中 是边界层外边界上势流的速度分布，可由势流理论来决定对于沿平板流动， 从方程组（13-3）第二式得到一个很重要的结论：在边界层内压强p与y无关，即边界层横截面上各点的压强相等， 。
而在边界层外边界上，边界层内的流动与外部有势流动相合所以压强 可以根据势流的速度 由伯努力方程来决定，即因为 ，即 ，这就是说，压强项和惯性项 具有同一个数量级 对于在壁面上的各点， 由式（13-3）的第一式可得（13-5） 方程组（13-3）是在物体壁面为平面的假设下得到的，但是，对于曲面物体，只要壁面上任何点的曲率半径与该处边界层厚度相比很大时（机翼翼型和叶片叶型即如此），该方程组仍然是适用的，并具有足够的精确度这时，应用曲线坐标，x轴沿着物体的曲面，y轴垂直于曲面 虽然层流边界层的微分方程（13-3）比一般的粘性流体运动微分方程要简单些，但是，即使对最简单的物体外形，这方程的求解仍是很复杂的由于这个缘故，解决边界层问题的近似法便具有很大的实际意义边界层的动量积分关系式为近似揭发提供了基础 (1)正对圆心的流线正对圆心的流线(0流线流线)：： u愈接圆柱体愈接圆柱体u愈小愈小 p愈接圆柱体愈接圆柱体p愈大愈大 N点：点：uN=0, pN=pmax (2)N点点→A(B)点点流线变密，流线变密，A(B)点：点：uA(B)=umax, pN=pmin 由此可知：这一段边界层内的液流是处于加速减压状态的。
由此可知：这一段边界层内的液流是处于加速减压状态的即，在该段边界层内用压强下降来补偿能量损失外，尚有一即，在该段边界层内用压强下降来补偿能量损失外，尚有一部分压能变为动能，到部分压能变为动能，到A或或B点压强减至最小，流速增至最大点压强减至最小，流速增至最大13.7 边界层的分离现象及绕流阻力一、边界层的分离现象 u (3)A(B)点以后点以后流线扩散流线扩散 C点：点：u=0 一、边界层的分离现象 u 在在A点或点或B点以下边界层内液流是点以下边界层内液流是处于减速增压状态越向下游前进动处于减速增压状态越向下游前进动能越小、结果到了能越小、结果到了C点由于动能减小点由于动能减小至零而停止前进，在至零而停止前进，在C点以下，若压点以下，若压强继续增加，就无动能可以变为压能，强继续增加，就无动能可以变为压能，因此主流只有离开曲面，以减缓水流因此主流只有离开曲面，以减缓水流扩散，下游液体随即填补主流所空出扩散，下游液体随即填补主流所空出的区域，形成旋涡．这种现象叫做边的区域，形成旋涡．这种现象叫做边界层的分离界层的分离 流线型流线型 C点的位置与物体形状、表面粗点的位置与物体形状、表面粗糙度及液流状态均有密切关系，至糙度及液流状态均有密切关系，至今尚无一般方法可以确定。
当固体今尚无一般方法可以确定当固体表面有凸出的锐角时，其分离点往表面有凸出的锐角时，其分离点往往就在锐角的尖端往就在锐角的尖端 边界层分离后，旋涡在产生与边界层分离后，旋涡在产生与衰减的过程中损失的能量转化为热衰减的过程中损失的能量转化为热能，这种能量损失称为旋涡损失能，这种能量损失称为旋涡损失与此相应的阻力称为旋涡阻力与此相应的阻力称为旋涡阻力 分离点愈接近于物体的尾部，分离点愈接近于物体的尾部，旋涡区就愈小，旋涡阻力也就愈小，旋涡区就愈小，旋涡阻力也就愈小，否则形成较大的阻力否则形成较大的阻力 二、绕流阻力 绕流阻力绕流阻力绕流阻力绕流阻力摩擦摩擦阻力阻力压差阻力压差阻力作用在绕流物体上的力作用在绕流物体上的力作用在绕流物体上的力作用在绕流物体上的力固体表面的摩擦力（切应力）固体表面的摩擦力（切应力）漩涡阻力：压强阻力漩涡阻力：压强阻力在水流方在水流方向的投影向的投影摩擦阻力摩擦阻力 二、绕流阻力 作用在绕流物体上的总阻力作用在绕流物体上的总阻力作用在绕流物体上的总阻力作用在绕流物体上的总阻力 Re<1蠕动，无分离，摩擦阻力D∝v11≤Re≤500Re>60——卡门涡街，摩擦阻力、压差阻力， D∝v1.5阻力系数随Re数而变化，分6个区域 500≤Re≤2×105分离严重，压差阻力，D∝v22×105≤Re≤5×105分离区缩小，Cd跌落Re≥5×105分离点又向前移，Cd回升Re>3×106Cd与Re无关 。