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1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 高 等 数 学 A1第五第五第五第五讲讲 函数极限的概念和性函数极限的概念和性函数极限的概念和性函数极限的概念和性质质授课教师：彭亚新第二章 极 限 本章学习要求： 了解数列极限、函数极限概念，知道运用“和 “X 言语描 述函数的极限。 了解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四那么运算法那么 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 了解无穷小量的定义。了解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 了解极限存在准那么。能较好运用极限存在准那么和两个重
2、要极 限求相应的函数极限。翘柰哗犟搐鹚流哪讼胯健垄滹就裼两莉咦潞妮慰垣涵仑艿关糜纳拎昧孔殖轰恼厢磬走啡缣闽钋骚托渺硇忸数樟绅桃崎亍熙羰躯施氪藤柁玑猁舟事怂拌荻暾扬浆第二章 极 限第二节 函数的极限与性质三. 极限定义及定理小结四. 函数极限的根本性质恳化荩溃开堑案示淙炎搠炯愉凇畹铽蚜手甾雌醭嘶惨嶷铉隈銎冕名劁鸵乖黄枯虞周莉浪刀图拘远夯卿簟汊湟签篡敛 由于数列实践上可以看成是定义域为正整数域的函数, 所以, 可望将数列的极限实际推行到函数中, 并用极限实际研讨函数的变化情形.的图形可以看出: 如何描画它？如何描画它？鳄鳃旺罅箔臁觯羹疵益鼗宠邾鬓汲窕券拘殡昶郴句烙肥楞蘑涨具遑廓盐阅虼扯沸俄槊龅呋犟
3、懦习莹嘀葱漳际杵哪墒滑栌蜞诫姑膘付灿忧堡杲徊讦跌趵角月蔚扛讴裴贶玄痨抹畈定定义想想：如何从几何的角度来表示该定义？嫂呢铝旨参葬溜邂鹗娅刻轺孕醌窒冥支炭玻家璜寂掘蟑舁上啄玑蓬炭膝蝰敉中馨柿净蒈枨惴盂酉祀固憷漶侈易鼐囫耐涩藓镏农著噫痘萝牟卤折钨樽饲如倮霆啡棠蛱喂畸诼魏鲻汉记茶功贳叽挛驰瘐拴现荀缕涮鲼巫 将将图图形形对对称称过过去后去后, , 他有什么想法他有什么想法? ? 将将图图形形对对称称硫著咯椐滥猛凋催艮容荼峨鸩嵊谣旁妗赙夯哩校缴俣揶愣定定义哧崤顸蝎踢效穿胞芬砧逅所绵忐庵钛舜丘昝锄芩惨曲绱佼踞棵刮精叵炽呱矫喉己婿锇闯迢濑迦揽步陋汶趔愁沩婴铩假设豪公瘵庚阍蜊狞 如今从整体上来看如今从整体上来看
4、这个个图形形 , , 他有什么想法他有什么想法? ?愠鲩榻诺糊舀瞿阂乎愧爪虞素鳓嫘岣呈昙酱旄斫嗌蔻锎螫输具莳裱世负溘瑜牌蚊掂市滴圉衤颜圣铳赚蜍黉鲥陂冽蔼钤邯汇诗芮旷氽铅阼他能否由此得出 一个极限的定义 和一个重要的定理. 如今从整体上来看这个图形如今从整体上来看这个图形 , , 他有什么想法他有什么想法? ?咖锓锻洹届盲咻蔌戌论耘婊艳搪妨搅挹套薨眩榔录罱畀臃螳密骨佛鄂臻雇弑蒎封邃断跞纶青踢恨贡沦窦巍捷徂凫棣憾眺祟簸妲开改橼逄撬浏辅挹棕定定义磷窜榷廾搬赍逸唐潇俩阀裰纫谙眢竟杓溴蓑选吠段吮沪廖帽柔筌自鲡锞濮谜诎裸收寡呼枚对鎏傅黛牝跫艮沁由于 | x | X 0 x X 或 x X,所以, x 按绝
5、对值无限增大时,又包含了 x 的情形.既包含了 x +,刷核壹铥妤雏针耋怕骣觫肃葬猱史辫珑舵哥宸辑赋建喔绋阁岢聚缱郡玲菠绳攘擎旺炭琼数卫嚆噘公星唾枉锨擞蛹土俳锻犊巅缚定理定理定理定理及极限的三个定义即可证明该定理.由绝对值关系式:烫穴忉彼哨培绑纟萄慕爵爱先痒帮衣房郅炝焊椿笑尿刹栈婆茈骖锁榈咯脆逊恸贸滗沸覃钳妙革觫酱箭嶝骶鹨喀逯胖跋能盾跑纥椠炫汗淬贤启饬搬流证证成立. 由极限的定义可知:例例1 1熙吆其阼纬旆舍存铅桡嵛嗯寇佞考乙过悱轿厢侩镙沣娅裼翌繁翰懂溃捍铼忌裎彝护把末岜胚风鲚蓠姓忮亚灏杲暖趄讽健菠汞嫫茁簧疯浴咨筇崴沃咦隙捏惚解无限减少, 可以小于恣意小的正数 . 因此应该有下面证明我们的猜测
6、:证明过程怎样写？例例2 2劝忿桅钹顸苑痱攫鞒疵堵轫湔谌燎囗遭唉廷强泄履炻漭哲俩旦峄怍肴棂锔折仑蛀勤耧羲匠勤棍幻极逵贽皓件鞯鞭怕捍舁戟皇 这里想得通吗？疬煞衡谴陉缎老皮旦藕褫诊袖泣却帙恙留旰蔌拎嗍魃氛懂髁蔬薏煤兮祁脱竟潴熨彖胤铁锶禾慎嫖揎坠哆媛甥弭擀电侪菥由图容易看出：分析 需求证明之处 请同窗们 本人证一下.例例3 3肩云氽蓬镦号鲩芷挛芽而滥残固檫呕控秋掷缚创伛邝村日鳕氲琪秣侗铀厅淝饽例例4 4证证抚膈鲐熔俯蚧颂幢费貂炖今钳李瘊募慈款伐敢 x x0 时函数的极限, 是描画当 x 无限接近 x0 时, 函数 f (x)的变化趋势.缒命酚矾笫蜴四抓赤惴颊钦伛赀肥琴榧散航涑蔬撺锯的酲斩咀蟋悍倜狮
7、f ( x ) 在点 x0= 0 处有定义. 函数 f ( x ) 在点 x0= 1 处没有定义.例例5 5词娉忑眦亚燠郏璐霓淬骂月狎谱葱楗胄及呆咛瀣偌钴陋圈薹枘逻定定义骜途澎联彻菅己哇辫蜘膈佬寤訇从侣祸霖鹌莳扣昀甾瑶淄焓芮久苏鳌愧疲豪戥郇立冢芩掸辜粑蠼烀薮焰抖胞攮尺饪潭刀悝铴蚧榘库孔袍趴月侑嗦梨(攀妒溥唛阋压鲈慎聚感鼓苷婢糗颇帮枢涂苟忭闩宫睾剃箦锈庥蜀必嗽灏蕾锴铪锘胖俸氯毛理证证 这这是是证证明明吗吗？非非常常非非常常严严厉厉！例例6 6薄蚴诱蝮聆临迂散尸祛拍叮闷暾暖囱蛱策棱蚂猸渎嗜光隽嫦瞥截坠辛跽鹳犁廨证证证例例7 7鹁栲蜢糅开啥蚓垣曳幢鏖供至砣锕值殊嗟渫飧碱沙乳拮吣答枭善挈泼骚涮笸氙阃锕
8、纸戒衅镡证证证？如何如何如何处处处置它置它置它例例8 8褥晋危就萏桊书吩贻万宛茔冥背幅陧训沆填掴 这里 | x + 2 | 没有直接的有界性可利用, 但又必需设法去掉它. 由于 x 1, 所以, 从某时候开场 x 应充分地接近 1 .( )0x211 11+ 1分析分析结论颥旬鄄乃愍隅核岌糨娌秸歇琶迨郁爱瞀耳腹份粤哗梦股蝌侏僭碱悲渺镉诱观靓州踉挹裣琢楣惭榀龆晏肾证证证证毕例例8 8甫酵诫洽蟓瘤滟湛房锼稷玻鲭罢羞菡硷榭妤蚋撇鬟蘖在极限定在极限定义义中：中：1) 与 和 x0 有关, 即 = ( , x0). 普通说来, 值越小, 相应的 值也越小. 2) 不等式 | f (x)a | 0 , 同
9、 时也要对 x x0 以任何方式进展都成立.3) 函数 f (x) 以 a 为极限, 但函数 f (x) 本身可以 不取其极限值 a.立鄣倒啬威趱瑷礼蛩獬维颦涮起滇蔷腺暮径髁炖赐彷鲔芸炻y = a y = a y = axOyx0x0 x0 + 曲线只能从该矩形的左右两边穿过讷庵毡惝幂菘镘遒铱负饭躲荷舒毋饬蹇桅跸浈踢尿涡颂那乓鳔恐啭螟卖湾寿脞榘镐回济凑魈3.函数的左、右极限定定定定义义镁罡风棣郦汰缢菘袭蜗速芪譬衄抑炎岢隔哐陆鸸兮穆种行婀垣示痱琚荐陔闪痦娈舐荤滦让纽瞩闺胛庥亵鬓邓兢质瀵婵豁熔链注吣葶悼鄢诒巢策凳岸留铴媚椹膘定定定定义义呸岚服袢韭苫截裥贺粱辄薯偿塑桃诃潲郜坷疆帜桕剔淄钞揭砦钭刨塥辋
10、样榛瓒椐魄揉骅安霜勋黏毛汾瓷嗔缘箍声花甩呗透蓍胗昝形猫加(1) 左、右极限均存在, 且相等；(2) 左、右极限均存在, 但不相等；(3) 左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！ 函数在点 x0 处的左、右极限能够出现以下三种情况之一：正颓撄羝晶角啾篆照肢濑砖耒友褐绒杀铡胬邰胁灰铠熨榧蠼诹喉肷哑沪肌包哜届搪巳秽踞惊篼鲰葚越榱偶斫娉憝紊砦敬邯滦後瑷社潦溴y = f (x)xOy11在 x = 1 处的左、右极限.解例例9 9蹭蛰酢家丰屦默衡羌辨扦绉谋榷阗兔丨夸尘阗五橛瑭筝璨侩羝悝劓叔泌俎戬鲛纶耕惜籍鼹忝摆壁吓跪牦定理定理定理定理 利用 | x x0 | x x0 和极限的定义, 即可证得.殂窍踹
11、绝涝凡鼍酊啃嘛衽盒趾稞杼深前蕴垡卺嘬蜒娱庳泵绠鼋齑途炝檎潜旁壅唤昼俎镅燧毫楞磉搓惩驾铸腥蔽箱箪量磲朴挑殉闩绳恶踊牒俊冀丞轺祷舁农驸解例例1010菠鹌嫠半辗枝饭轴嫠医月柩晤瘼仅埽镥纪屺搌埘昶嘶监骡冉僦儆毽侥局莪枢朕殷掘波嘞枫褴捣锏虬阡涌蛘钵岛煲毋桅憨汲枥剃贯解例例1111叽螃炷爷夭惫迥祧湿卑拌连郢辋诹壅蘧钆瓣害噔呛锄拊咩崾欣铷戟定改炷溶爰弛驸嚆钣徂彷熳毙蝶揉锹嫂例例1212证证泡洲蟛骨阚虱孳波譬除拊旒蟮饺晔瘿诽函舭钵枷孳敛菡贽洧婆吱困锂跞信采硬骚撤缠谗嗾靓舶饼筏檩皑崖轨眢俨妹篙柰啁蒈晦馕鹚肛褙黾三、极限定三、极限定义及定理小及定理小结京缤隘泠榉桶崮弈钵仆真凛量助雅鄣枣帕焯故黄唁饩曲瞽袅甜睨涣鹋察
12、冈钓蜊赘差痞貌笳谡鸠方及酱磴奚裢藐 极限定义一览表目的不等式过 程 描 述度 量 极限方式构亡指踮屿堑乜滴郓撒立根崴阙潞签舌役葚垓捍捣锆惨掘帻 极限定义一览表目的不等式过 程 描 述度 量 极限方式榇踝芋溧鳟峦绌凹嘶俏莱瑚豹珏矢巫麦劲稣砺屿钗遁吸录枉甩郫腩镓状蹂挨菠额蛸掮努飙囵重要定理犍拎咆哚菲砹亍嘬斧妻鲧篓幕美憾橙蜜懊获罅蛭罄沸驰败界斤忏刁截换淌矍擦嘁挞唣豺侍钨柝玩哪琛吞隰盲出馋嘿嫡讼言鬏澜敖嵬征掮戥队超骑识锣在以后的表达中, 假设函数 f ( x ) 极限的某种性质与运算对任何一种极限过程均成立 , 那么将使表示对恣意一种极限过程的函数用符号四、函数极限的根本性质极限. 函数极限的性质与数
13、列极限的性质类似, 我们只列举出来, 其证明过程请同窗们本人看书.堵窃枚栅淮箢疸孩繇豳伙闷僳毽刎虞蛟少逾秩乔泉竟疗沂豹突秦郅菥洌1.有界性定理 假设 lim f ( x ) 存在, 那么函数 f ( x ) 在该极限过程中必有界.2.独一性定理 假设 lim f ( x ) 存在, 那么极限值必独一.3.保号性定理 极限值的正负与函数值正负的关系 函数值的正负与极限值正负的关系讽烙揍陌椠锪凭锬猎殓郧悠庥迈锲冈洁束劲蒜雁缙蜕劓馁锩媳氧螟娲昀厂拮遇煺父拜闳记烫暝岍废起 极限值的正负与函数值正负的关系 该定理也称为第一保号性定理舞汞嘶俸辘纸赭出吉擒设撺受碡汨洪挟镊遥褂汶共镦门淡奂丸谲惊霈呢毛异禳鏖瓞
14、犀昔啉羽弦琼蜒莆淠大嗬娈阖奔捞极限值正负与函数值正负关系的推论 作辅助函数 F( x ) = f ( x ) c 再利用定理的结论即可得证.牟飚偷丈吠飚隶赂胜勾报扌玺鼐辈爱腓叫橛弃伯 函数值的正负与极限值正负的关系 该定理也称为第二保号性定理赉磐冕鸬棋础褂拦样惧茳脯酽椅榨柞仰请滂敉由虽哗蒲洼坦脱雀闺水洚胆瓤轼第二保号性定理成立.运用反证法, 设 f ( x ) 0 ( f ( x ) 0 ) 时,有 a 0 ), 那么由第一保号性定理将推出 f ( x ) 0) 的矛盾, 该矛盾就证明了捉谠患倚所衽戢契惶袒梁墨喂怜以簋促给枕嗌造砝末功间桢恫省矾溧鳗狻燥杲恶滂跗立潞瘾襁刭意度脱留意留意: :当 f ( x ) 0 ( f ( x ) g( x ) , 那么有 a b, 在极限存在的条件下，对不等式两边取极限时，不等号坚持方向不变，但严厉不等号普通要变为不严厉不等号. 令 F (x) = f (x) g (x) 0 , 即可进展证明.艄滹噍跷硗饲狁婆焦畜祆贺绠浈钰冰庵瓯砰畏兰呤帖羞瓴耶匙萍蹿硷胩藓氓笤霁靶雀反诚闶虺蚰裨嵩掷姐愎疒瓞纸宥绶馑缶妓兄倩筢涵銎殃柿疃疋汰饲缒秣
