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1、第二章第二章 随机分析随机分析第一节第一节 二阶矩过程二阶矩过程第二节第二节 均方极限均方极限第三节第三节 均方连续均方连续第四节第四节 均方导数均方导数第五节第五节 均方积分均方积分第一节第一节 二阶矩过程二阶矩过程一、定义一、定义则称为二阶矩过程。则称为二阶矩过程。Home解由于 和V都服从正态分布，所以 也具有正态分布，例例1其中 和V是相互独立且都服从正态分布N（0，1）的随机变量，且Home二、性质二、性质二阶矩过程的协方差函数一定存在证由许瓦兹不等式得故即二阶矩过程 的协方差函数存在注注Home说明说明在讨论二阶矩过程中，常假定均值为零，这样相关函数的形式和协方差函数的形式相同。返
2、回Home第二节第二节 均方极限均方极限一、均方收敛一、均方收敛定义定义1设随机变量序列 ，n = 1,2,和随机变量X都存在二阶矩， 如果则称 均方收敛于X，或称X是 的均方极限记作或简记为Home二、均方收敛准则二、均方收敛准则定理定理1柯西准则则 均方收敛的充要条件为证证只证必要性因为 均方收敛于X， 所以有Home又由所以故故Home注注等价等价存在其说明随机变量序列 均方收敛的充要条件是它的相关函数列按普通极限意义收敛。三、均方收敛性质三、均方收敛性质性质性质1若则证由许瓦兹不等式得因故得证注当 均方收敛于X时， 的期望收敛于X的期望Home性质性质2若则证证由许瓦兹不等式得因故得证
3、Home性质性质3若则对任意常数a、b都有证证因为故得证Home性质性质4若则注注因=证证于是即Home均方极限的唯一性均方极限的唯一性解由Cauchy准则，在级数 收敛的条件下，可得均方收敛。例例2Home第三节第三节 均方连续性均方连续性均方收敛均方收敛定义定义1即则称 在点t均方连续。一、均方连续一、均方连续称称 在在 时均方收敛于时均方收敛于Home二、均方连续准则二、均方连续准则定理定理1则证证充分性则所以Home再证必要性又由均方收敛性质2得定理2证由定理1知，Home再由均方收敛性质2，得即Home定理定理3则证由均方连续定义从而说明在均方连续的条件下，均值运算与极限运算的次序可
4、以互换。但要注意，上式左边为普通函数的极限，而右边表示均方收敛意义下的极限。Home第四节第四节 均方导数均方导数一、均方导数的定义一、均方导数的定义定义定义1如果均方极限存在则称 在t处均方可微， 并将此极限记作即有或Home二次均方可微二阶均方导数定义定义2广义二次可微存在Home二、均方可微准则二、均方可微准则定理定理1证证由均方收敛准则知的充要条件是存在而存在Home三、均方导数的性质三、均方导数的性质性质性质1性质性质2Home性质性质3性质性质4证1设设 在在t处均方可微，则处均方可微，则 在在t处均方连续。处均方连续。其它类似可证性质性质5Home四、四、1证注均方导数 的均值等
5、于均值函数的导数。而 为普通意义下的确定性函数，故可用分析的方法求导。Home2.证Home注注求偏导数得到。3证明证明Home即同理可得又因故Home注注随机过程 的相关函数求两次混合偏导数。例例1证明证明返回Home第五节第五节 均方积分均方积分一、均方黎曼可积一、均方黎曼可积定义定义1 分割作和式如果则称并称记作即Home二、均方可积准则二、均方可积准则定理定理1即黎曼积分存在证证由均方收敛准则可知，即存在Home如果上式极限存在，其极限值就是黎曼积分Home定理定理2证明证明由定理1知，三、均方积分的性质三、均方积分的性质性质性质1Home性质性质2其中性质性质3Home性质性质4性质性质5（均方可积的唯一性）四、均方积分的数字特征四、均方积分的数字特征1随机过程 积分的期望Home证证注注1注注2Home2均方积分的方差及协方差函数则证证Home注注同样可以证明3均方积分的自相关函数及互相关函数则Home证证只证明其他类似可证Home例例解在定义中可取则所以HomeHome本章小结本章小结均方连续均方连续均方可导均方可导均方可积均方可积二阶矩变量空间二阶矩变量空间连续性连续性广义二次可导广义二次可导可积性可积性均方收敛均方收敛相关函数相关函数Home作业作业
