由此得由此得这就是平面波的动力学方程这就是平面波的动力学方程,它是一个微分方程它是一个微分方程§5.3 平面波的动力学方程平面波的动力学方程1 平面波平面波动力学方程从动力学方程从动力学的角度动力学的角度推导得来：推导得来：设弦设弦很长，密度为很长，密度为 .弦弦的两端张紧，弹力为的两端张紧，弹力为T.TTxdxxyoyxdm在距在距原点原点x处，原长为处，原长为dx的微元段的微元段 dm= dx微元段偏离为微元段偏离为y时，时，2 xyoyxdmdxdyTbTa近似处理：近似处理：abab段元在段元在y方向方向的合外力：的合外力：3 根据牛顿第二定律：根据牛顿第二定律：4 当介质中有机械波传播时，介质质元振动，具有当介质中有机械波传播时，介质质元振动，具有动能，同时介质发生了形变而具有弹性势能所以动能，同时介质发生了形变而具有弹性势能所以波动的过程实际就是波动的过程实际就是能量传播的过程能量传播的过程一一.波的能量密度波的能量密度设弦设弦很长，线密度为很长，线密度为 l. 弦弦的两端张紧，弹力为的两端张紧，弹力为T.以弦上的以弦上的横波为例：横波为例：假设线上的横波传播：假设线上的横波传播：在距在距原点原点x处，原长为处，原长为dx的微元段的微元段 dm= dxTTxdx§5.4 波的能量和能流波的能量和能流5 微元段偏离为微元段偏离为y时，此时质元的速度：时，此时质元的速度：dxdyxyoyxdm同时段元长度由同时段元长度由dx变为变为6 段元因形变而具有的弹性势能等于段元因形变而具有的弹性势能等于张力在段元伸长张力在段元伸长过程中做的功。
过程中做的功近似处理：近似处理：7 段元的机械能：段元的机械能：设弦的设弦的横截面积为横截面积为S,dx段元的体积为段元的体积为dV=Sdx.8 讨论：讨论： (1)任意时刻任意时刻,质元的质元的动能和势能都相等动能和势能都相等即(2)质元的质元的总能总能量随时间作周期性的量随时间作周期性的变化变化这和振动这和振动中的情况也是不同的中的情况也是不同的波动是能量传播过程波动是能量传播过程9 (3)能量密度能量密度(单位体积中波的能量单位体积中波的能量)为为平均能量密度：平均能量密度：二二.波的能流和能流密度波的能流和能流密度(波强波强) 单单位位时时间间内内，，通通过过垂垂直直于于波波动动传传播播方方向向的的面面积积S的的能量能量,称为能流称为能流Sudt 则在则在dt时间内通过时间内通过S面的能量等于该面的能量等于该面后方体积为面后方体积为udtS中的能量中的能量 , 于于是是能流能流为为 能流能流就是通过垂直于波动传播方向的面积就是通过垂直于波动传播方向的面积S的功率的功率10 单单位位时时间间内内，，通通过过垂垂直直于于波波动动传传播播方方向向的的单单位位面面积积的的能能量量,称称为为能能流流密密度度。
显显然然，，能能流流密密度度也也就就是是通通过垂直于波动传播方向的过垂直于波动传播方向的单位面积的功率单位面积的功率平均能流密度：平均能流密度：说明：说明：A 平均能流密度也称波强平均能流密度也称波强B I与与A2成正比C I单位是瓦单位是瓦/米米211 小结小结:开篇讲两公式开篇讲两公式12 三三. 声波声波 声强级声强级 引起人听觉的机械波的频率范围：引起人听觉的机械波的频率范围： 20-20000Hz 人耳的听觉并不与声强成正比，而是与声强的对人耳的听觉并不与声强成正比，而是与声强的对数成正比取声强数成正比取声强Io=10-12(w/m2)为标准，则为标准，则声强级声强级:(dB)树叶沙沙：树叶沙沙：20dB; 正常谈话：正常谈话： 60dB; 闹市：闹市：70dB; 飞机起飞：飞机起飞：150dB13 例题例题 一平面简谐波在弹性媒质中传播一平面简谐波在弹性媒质中传播,在某一在某一瞬时瞬时,媒质中某质元正处于平衡位置媒质中某质元正处于平衡位置,此时它的能量此时它的能量是是(A)质元的动能为零质元的动能为零 , 势能最大。
势能最大B)质元的动能为零质元的动能为零 , 势能为零势能为零C)质元的动能最大质元的动能最大, 势能最大势能最大D)质元的动能最大质元的动能最大, 势能为零势能为零答答: (C)14 by(m)x(m)o1-0.5ua 质点经过质点经过b点点,动能最大动能最大.该处斜率也最大，即该处斜率也最大，即 最大，形变最大，最大，形变最大，势能最大势能最大 质点经过质点经过a点点,动能最小动能最小，，该处斜率也最小，动能和该处斜率也最小，动能和势能最小势能最小 对孤立的振动系统而言，对孤立的振动系统而言，只有保守力做功，机械只有保守力做功，机械能守恒 在波动中在波动中，每一个质元通过媒质连接起来，，每一个质元通过媒质连接起来，每个每个质元可以从相邻的质元处获得能量质元可以从相邻的质元处获得能量，，不是孤立的不是孤立的15 一一.波的叠加原理波的叠加原理现象现象1: 投二个石头于水中投二个石头于水中,生二水波，在某一区域生二水波，在某一区域相遇，尔后独立传播相遇，尔后独立传播现象现象2:交响乐团演奏交响乐团演奏 各乐器都产生声波，在空气中同时传播着许多各乐器都产生声波，在空气中同时传播着许多声波，但是各种乐器的声波各自独立地传播，各声波，但是各种乐器的声波各自独立地传播，各声波的波长、频率和传播方向不变。
声波的波长、频率和传播方向不变 大量的观察和研究表明大量的观察和研究表明:几列波可以保持各自的特点几列波可以保持各自的特点(频率、波长、振幅、振动方向等频率、波长、振幅、振动方向等)同时通过同一媒质同时通过同一媒质,好像在各自的传播过程中没有遇到其他波一样好像在各自的传播过程中没有遇到其他波一样 因此因此,在几列波相遇或叠加的区域内在几列波相遇或叠加的区域内,任一点的振动任一点的振动,为为各个波单独在该点产生的振动的合成这一规律称为各个波单独在该点产生的振动的合成这一规律称为波的独立传播原理波的独立传播原理或或波的叠加原理波的叠加原理§5.5 波的干涉波的干涉 驻波驻波16 二二.波的干涉波的干涉 两列波两列波 (1)频率相同；频率相同； (2)振动方向相同；振动方向相同； (3)相差恒定；相差恒定； 相干条件相干条件 则在空间相遇区域就会叠加出有些地方的振动则在空间相遇区域就会叠加出有些地方的振动始终始终加强加强，而另一些的振动，而另一些的振动始终减弱始终减弱的稳定分布，这种现的稳定分布，这种现象称为波的干涉。
象称为波的干涉 下面下面我们来研究加强和减弱的区域我们来研究加强和减弱的区域17 s2s1r1r2p 设两个相干波源设两个相干波源S1、、S2的振动方程的振动方程分别为分别为 y10=A1cos( t+ 1) y20=A2cos( t+ 2) S1 p:S2 p:P点的合振动为点的合振动为=Acos( t+ )(同方向同频率谐振动同方向同频率谐振动的合成的合成) 从这两波源发出的波在从这两波源发出的波在P点相遇，点相遇， 它们它们单独在单独在P点引起的振动分别为点引起的振动分别为y =y1+y218 合振幅合振幅:式中式中合振动的初相为合振动的初相为P点的合振动为点的合振动为 y =y1+y2=Acos( t+ )波强波强:19 很显然，很显然，干涉的强弱取决于两列波的相位差：干涉的强弱取决于两列波的相位差：=±2k , A=A1+A2 , 加强加强(相干相长相干相长)，， 特别是特别是A1=A2 时，时，A=2A1，，Imax=4I1。
±(2k+1) , A=|A1-A2| , 减弱减弱(相干相消相干相消)，， 特别是特别是A1=A2 时，时，A=0，，Imin=0k=0,1,2……)20 例题例题 两个振幅都为两个振幅都为A的相干波源的相干波源S1和和S2相距相距3 /4，， S1比比S2超前超前 /2，设两波在连线上的波强不随传播，设两波在连线上的波强不随传播距离而改变，试分析距离而改变，试分析S1和和S2连线上的干涉情况连线上的干涉情况axxb 解解 干涉的强弱取决于干涉的强弱取决于相位差：相位差： S1左側左側a点点: =S2右側右側b点点: =S1左側左側各点都加强，各点都加强，Imax=4I1S1S23 /4S2右側右側各点都减弱，各点都减弱， Imin=021 S1和和S2之间之间c点点:S1S23 /42k ,解得解得x= /2处加强2k+1) ，，解得解得x=3 /4处处减弱减弱xc =22 例题例题 已知已知: yb=3cos2 t, yc=4cos(2 t+ /2)(SI),从从b、、c两点发出的波在两点发出的波在p点相遇，点相遇，bp=0.45m, cp=0.3m, u=0.2m/s, 求求p点的合振动方程。
点的合振动方程cbp解解 y1=3cos(2 t- )=3cos(2 t- /2)cp: y2=4cos(2 t+ /2- )=4cos(2 t- /2)p点的合振动方程点的合振动方程:y=y1+y2=7cos(2 t- /2)mbp:23 例题例题 相干波源相干波源S1超前超前S2 , A1=A2=0.2m, 频频率率 =100Hz, r1=4m, r2=3.75m,两种媒质中的波速分别两种媒质中的波速分别为为 u1=400m/s, u2=500m/s，， 求两求两媒质界面上媒质界面上p点的合点的合振幅0=A1+A2 =0.4m解解 先求两波到达先求两波到达p点的位相差：点的位相差：s2s1r2r1pu2u124 三三.驻驻 波波 两列两列振幅相等振幅相等、、传播方向相反传播方向相反的的相干波相干波进行叠加，进行叠加，就会形成驻波就会形成驻波波腹波腹波节波节驻波的形成驻波的形成.25 将两列波合成，可得将两列波合成，可得这就是这就是驻波方程驻波方程。
(1)驻波方程实际上是一个驻波方程实际上是一个振动方程振动方程，，只不过各点只不过各点的振幅随坐标的振幅随坐标x的的不同而变化不同而变化有些地方振幅始终最有些地方振幅始终最大大,另一些地方振幅始终为零整体上看，驻波的波另一些地方振幅始终为零整体上看，驻波的波形驻定在原地起伏变化而不传播形驻定在原地起伏变化而不传播,这是驻波中这是驻波中“驻驻”字的意思字的意思 26 (2)波腹和波节位置波腹和波节位置波腹：波腹：即即波腹的位置为波腹的位置为波节：波节：即即波节的位置为波节的位置为 容易算出，容易算出，相邻的两个波节相邻的两个波节(或波腹或波腹)之间的距离是之间的距离是 /2可见，测出两波节之间的距离，就能算出波长可见，测出两波节之间的距离，就能算出波长这是实验中测量波长的一种常用的方法这是实验中测量波长的一种常用的方法27 (3)驻波中的位相驻波中的位相 由驻波方程可知，由驻波方程可知，2 x/ =k + /2为波节为波节.在相邻的在相邻的两波节间两波节间，各点的振动位，各点的振动位相相同相相同.波节波节波节波节12342 x/ 在在1、、4象限的点，各点位相都是象限的点，各点位相都是 t;2 x/ 在在2、、3象限的点，各点位相都是象限的点，各点位相都是( t+ )。
在在波节波节两旁，各点的振动位相相反两旁，各点的振动位相相反;位相位相Cos(2 x/ ) t t+ 位相位相28 .形成的驻波上各点的位相形成的驻波上各点的位相CBDEDAB29 (4)驻波中的能量驻波中的能量xyxyxy30 从整个过程来看从整个过程来看,能量在相邻的波腹、波节间来回转移能量在相邻的波腹、波节间来回转移,驻波能量分段储存，不传播能量的驻波能量分段储存，不传播能量的而行波的传播过程就是能量依次传播的过程而行波的传播过程就是能量依次传播的过程波形不变波驻扎在那里波形不变波驻扎在那里xyAxy2A31 (5)关于半波损失关于半波损失.B 从从振动合成振动合成考虑考虑,这意味着反射波与入射波这意味着反射波与入射波的的相位相位在此处正好相反在此处正好相反,或者说或者说,入射波在反入射波在反射时有射时有 的相位突变的相位突变 值得注意的是值得注意的是,在反射点在反射点B处绳是固定不动处绳是固定不动的的,因而此处只能是因而此处只能是波节波节 由于相距半个波长的两点相差为由于相距半个波长的两点相差为 ，，所所以以,这种入射波这种入射波在反射时发生在反射时发生 的相位突变的现象常称为的相位突变的现象常称为半波损失半波损失。
一般情况下一般情况下,当波当波从波疏从波疏媒质垂直入射媒质垂直入射到波密到波密媒质界媒质界面上反射时面上反射时,反射时反射时就就有半波损失有半波损失32 一般情况下一般情况下,当波当波从波疏从波疏媒质垂直入射媒质垂直入射到波密到波密媒质界媒质界面上反射时面上反射时,反射时反射时就就有半波损失有半波损失注意：注意：1 波疏媒质波疏媒质 ：： 小小 波密媒质波密媒质 ：： 大大2 反射时有可能有半波损失，反射时有可能有半波损失，折射无半波损失折射无半波损失光疏媒质光疏媒质 ：： 小小光光密媒质密媒质 ：： 大大 3 当波当波从波密从波密媒质垂直入射媒质垂直入射到波疏到波疏媒质界面上反媒质界面上反射时射时,反射时就无半波损失反射时就无半波损失如如自由端情形自由端情形. 此时波从波密媒质（弦线）入射到此时波从波密媒质（弦线）入射到波疏媒质（空气）反射，无半波损失波疏媒质（空气）反射，无半波损失反射波与入射波引起的反射波与入射波引起的振动振动在反射点同相，此点在反射点同相，此点为波腹33 四、简正模四、简正模 当弦线的两端固定时，轻击弦线，弦线上形成驻波，当弦线的两端固定时，轻击弦线，弦线上形成驻波，且两端为波节。
且两端为波节驻波的频率为：驻波的频率为： 只有频率满足上述条件的系列波才能在弦线上形成只有频率满足上述条件的系列波才能在弦线上形成驻波这些可能的驻波称为系统的驻波这些可能的驻波称为系统的简正模简正模34 决定乐器的音调决定乐器的音调…….二次谐频二次谐频三次谐频三次谐频决定乐器决定乐器的音色的音色基频，基频，激光的谐振腔激光的谐振腔微波的谐振腔微波的谐振腔选频选频35 例题例题 一弦上的驻波方程为一弦上的驻波方程为求：求：(1)形成驻波的两波的振幅和波速；形成驻波的两波的振幅和波速；(2)相邻两相邻两波节之间的距离；波节之间的距离；(3)t=3.00×10-3s时时,位于位于x=0.625m处质点的振动速度处质点的振动速度 解：解：(1)比较法比较法A=1.50×10-2m, =1.25m, =275Hz, u= =343.8m/s36 (2)相邻两波节之间的距离相邻两波节之间的距离:( =1.25m)=0.625m (3)t=3.00×10-3s时时,位于位于x=0.625m处质点的振动处质点的振动速度。
速度x=0.625,=-46.2(m/s)37 解解 (1)设反射波方程为设反射波方程为Loyxpy1y2 由于反射端为自由端由于反射端为自由端(无半波无半波损失损失)，入射波和反射波在，入射波和反射波在p点相点相差为零，即差为零，即反射波方程为反射波方程为 例题例题 波波 沿棒传播，在沿棒传播，在x=L处处(p点点)反射，反射端为自由端，求：反射，反射端为自由端，求：(1)反射波反射波方程；方程；(2)驻波方程驻波方程38 (2)驻波方程驻波方程驻波方程为驻波方程为Loyxpy1y239 例题例题 振幅为振幅为A、、频率为频率为 、波长为、波长为 的的 一简谐波沿一简谐波沿弦线传播，在固定端弦线传播，在固定端P点反射，假设反射后波不衰减点反射，假设反射后波不衰减已知：已知：OP=7 /8，，DP=3 /8，在，在t=0时，时，x=0处媒质处媒质质元的质元的合振动经平衡位置向负方向运动合振动经平衡位置向负方向运动，求，求D点处入点处入射波和反射波的合振动方程。
射波和反射波的合振动方程y1y2xoyDP 解：解：设入射波方程为设入射波方程为设反射波方程为设反射波方程为驻波方程驻波方程:40 反射点反射点P(x=7 /8)处为固定点处为固定点, 这表示这表示P点处为波节点处为波节:y1y2xoyDP=0 已知已知:t=0时，时，x=0处处媒质媒质质元的合振动经平衡位置向质元的合振动经平衡位置向负方向运动负方向运动41 x=0处媒质质元的合振动方程处媒质质元的合振动方程: 已已知知:t=0, x=0处媒质质元的合振动经平衡位置向负处媒质质元的合振动经平衡位置向负方向运动方向运动:驻波方程驻波方程:ox42 y1y2xoyDPD点处入射波和反射波的合振动方程点处入射波和反射波的合振动方程:(已知已知: OP=7 /8，，DP=3 /8)43 目目前前,多多普普勒勒效效应应已已在在科科学学研研究究、、工工程程技技术术、、交交通通管管理理、、医医疗疗诊诊断断等等各各方方面面有有着着十十分分广广泛泛的的应应用用例例如如分分子子、、原原子子和和离离子子由由于于热热运运动动产产生生的的多多普普勒勒效效应应使使其其发发射射和和吸吸收收的的谱谱线线增增宽宽。
在在天天体体物物理理和和受受控控热热核核聚聚变变实实验验装装置置中中谱谱线线的的多多普普勒勒增增宽宽已已成成为为一一种种分分析析恒恒星星大大气气、、等等离离子子体体物物理理状状态态的的重重要要测测量量和和诊诊断断手手段段基基于于反反射射波波多多普普勒勒效效应应的的原原理理,已已广广泛泛地地应应用用于于车车辆辆、、导导弹弹等等运运动动目目标标速速度度的的监监测测电电磁磁波波的的多多普普勒勒效效应应为为跟跟踪踪人人造造卫卫星星提提供供了了一一种种简简便便的的方方法法在在医医学学上上所所谓谓“D超超”,是是利利用用超超声声波波的的多多普普勒勒效效应应来来检检查查人人体体内内脏脏、、血血管管的的运运动动和和血血液液的的流流速速、、流流量量等等情情况况在在工工矿矿企企业业中中则则利利用用多多普普勒勒效效应应来来测测量管道中有悬浮物液体的流速量管道中有悬浮物液体的流速§5.6 多普勒效应多普勒效应**44 在前面的讨论中在前面的讨论中,波源和接收器波源和接收器(观察者观察者)相对于媒相对于媒质都是静止的质都是静止的,接收器接收到的波的频率与波源的频接收器接收到的波的频率与波源的频率相同如果波源或接收器或两者同时相对于媒质率相同。
如果波源或接收器或两者同时相对于媒质运动时运动时,接收器接收到的频率和波源的频率不同接收器接收到的频率和波源的频率不同这这一现象称为一现象称为多普勒多普勒(Doppler)效应效应例如,当高速行当高速行驶的火车鸣笛而来时驶的火车鸣笛而来时,我们听到的汽笛声调变高我们听到的汽笛声调变高,当当它鸣笛离去时它鸣笛离去时,我们听到的音调变低我们听到的音调变低,就是多普勒效就是多普勒效应的最好例子应的最好例子 为简单起见为简单起见,下面的讨论假定波源和接收器在同一下面的讨论假定波源和接收器在同一直线上运动规定用直线上运动规定用 s—表示波源相对于媒质的运动速度；表示波源相对于媒质的运动速度； r—表示接收器相对于媒质的运动速度；表示接收器相对于媒质的运动速度； u—表示波在媒质中的传播速度表示波在媒质中的传播速度什么是多普勒效应呢？什么是多普勒效应呢？45 1.波源和接收器相对于媒质都静止波源和接收器相对于媒质都静止 当波源和接收器相对于媒质都静止时，波源每作一当波源和接收器相对于媒质都静止时，波源每作一次全振动，波就在空间传播一个波长的距离，结果就次全振动，波就在空间传播一个波长的距离，结果就有一个完整的波通过接收器，显然接收器有一个完整的波通过接收器，显然接收器(或观察者或观察者)接收到的频率接收到的频率vr就等于波源的频率就等于波源的频率v ，，即即 vr=u / = v 接收器接收器(或观察者或观察者)所接收到的频率等于单位时间所接收到的频率等于单位时间内通过接收器内通过接收器(或观察者或观察者)所在处的完整波数目。
所在处的完整波数目Su46 r多多接收到的接收到的 波数波数 r / 2.波源静止，接收器相对于媒质以波源静止，接收器相对于媒质以 r运动运动 当当接接收收器器在在媒媒质质中中静静止止不不动动时时,他他在在单单位位时时间间内内接接收到收到u / 个波 现因接收器以速度现因接收器以速度 r向波源运动向波源运动,他在他在单位时间内多接收到单位时间内多接收到 r / 个波个波,所以他在单位时间内所以他在单位时间内接收到的波数接收到的波数,即他接收到的频率即他接收到的频率vr应为应为S接收器不动接接收器不动接收到的波数收到的波数u/ u47 3.接收器静止，波源相对于媒质以接收器静止，波源相对于媒质以 s运动运动 s 当波源和接收器当波源和接收器(观察者观察者)都静止，则分布在都静止，则分布在So内的内的波数在单位时间内都要通过接收器波数在单位时间内都要通过接收器由于波速不变，这些波数在单位时间内都要通过接收由于波速不变，这些波数在单位时间内都要通过接收器，但波长变短了现在的波长是器，但波长变短了。
现在的波长是Suo 若波源以速度若波源以速度 s向着接收器运动向着接收器运动,单位时间内从单位时间内从S点点到达到达S´原来分布在原来分布在So内的波数现在分布在内的波数现在分布在 o内；内；48 接收器接收到的频率接收器接收到的频率vr就是就是4.波源和接收器都运动波源和接收器都运动 接接收收器器运运动动相相当当于于接接收收器器(或或观观察察者者)感感觉觉到到的的波波速速变变大大为为(u+ r), 而而波波源源运运动动相相当当于于波波长长变变短短为为(u- s)/v综综合合这这两两种种分分析析,可可得得当当波波源源和和接接收收器器都都运运动动时时,接收器接收到的频率为接收器接收到的频率为49 应当指出，无论波源和接收器是相向运动还是彼此应当指出，无论波源和接收器是相向运动还是彼此背离，上式都是成立的背离，上式都是成立的 其其符号法则符号法则是是 波源和接收器波源和接收器相向相向运动，运动， r取取正正值；值；相背相背取负值 波源和接收器波源和接收器相向相向运动，运动， s取取正正值；值；相背相背取负值5.电磁波电磁波(如光波如光波)也有多普勒效应也有多普勒效应其中，其中， 是波源和接收器的相对运动速度。
是波源和接收器的相对运动速度50 例例题题 一一声声源源频频率率v=1500Hz, 它它以以多多大大的的速速度度向向着着一一静静止止观观察察者者运运动动时时，，观观察察者者才才听听不不见见声声音音？？(声声速速u=330m/s)解解 由多普勒效应公式由多普勒效应公式 这里：这里： v=1500, u=330, r =0, 人听觉人听觉频率频率范围：范围：vr=20 20000Hz, 取取vr=20000，，算得算得 即声源的速度即声源的速度 s305.25m/s时，观察者就听不见声时，观察者就听不见声音51 例例题题 一一汽汽车车驶驶过过车车站站时时，，车车站站上上的的观观察察者者测测得得汽汽车车喇喇叭叭频频率率由由1200Hz变变为为1000Hz,空空气气中中的的声声速速u=330m/s，，求汽车的速度及喇叭的固有频率求汽车的速度及喇叭的固有频率解解 多普勒效应公式多普勒效应公式汽车驶来时，汽车驶来时，汽车驶离时，汽车驶离时，解得解得,汽车速度汽车速度 s=30(m/s), 喇叭频率喇叭频率v=1090.9Hz。