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1、 函数的极值与导数函数的极值与导数9/16/2024单调性与导数有何关系单调性与导数有何关系? ?设函数设函数y=f(x)在在某个区间某个区间内可导，内可导，如果如果f (x)0，则，则f(x)为增函数；为增函数；如果如果f (x)0 (x+4)(x-2)0 x2f(x)在在(-4，2)内单调递减。内单调递减。f (x)0 (x+4)(x-2)0 -4x29/16/2024 yxOaby= =f(x)x1 f (x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4 f(x4) 函数函数 y=f (x)在点在点x1 、x2 、x3 、x4处的处的函数值函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、
2、f (x4)，与它们与它们左右附近各点处的函数值，相比有什么特点左右附近各点处的函数值，相比有什么特点?观察图像：观察图像：9/16/2024一、函数的极值定义一、函数的极值定义一般的，设函数一般的，设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对X0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则则f(x0) 是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值= f(x0)；函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值. (极值即峰谷处极值即峰谷处的值的值-不一定最大或最小）不一定最大或最小）使函数取得极值的使函数取得极值的点点x
3、0称为称为极值点极值点9/16/2024yabx1x2x3x4Ox 观察上述图象观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点哪些是极小值点.9/16/2024(1)(1)极值是一个极值是一个局部概念局部概念, ,反映了函数在某一点附反映了函数在某一点附近的大小情况近的大小情况; ;(2)(2)极值点极值点是是自变量的值自变量的值，极值极值指的是指的是函数值函数值; ;(3)(3)函数的极大函数的极大( (小小) )值可能不止一个值可能不止一个, ,而且而且函数的函数的极大值未必大于极小值极大值未必大于极小值; ;【
4、关于极值概念的几点说明关于极值概念的几点说明】(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。点不能成为极值点。9/16/2024【问题探究问题探究】极值与导数的关系极值与导数的关系 函数函数y=y=f(xf(x) )在极值点的导数值为多少在极值点的导数值为多少? ?在极在极值点附近的导数符号有什么规律值点附近的导数符号有什么规律? ?yabx1x2x3x4Ox9/16/2024 f (x)0 yxOx1aby= =f(x)在极大值点附近在极大值点附近在极小值点附近在极小值点附近 f (x)0 f (x)01、如果在、如果在x0附近的左侧附近
5、的左侧f (x)0，右侧右侧f (x)0，则则f (x0)是是极大值；极大值；2、如果在、如果在x0附近的左侧附近的左侧f (x)0， 则则f (x0)是是极小值；极小值；已知函数已知函数f(x)在点在点x0处是处是连续连续的，则的，则二、判断函数极值的方法二、判断函数极值的方法x29/16/2024【思考交流思考交流】导数值为导数值为0 0的点一定是函数的极值点吗的点一定是函数的极值点吗? ? 对于可导函数而言对于可导函数而言, ,其极值点一定是导数其极值点一定是导数为为0 0的点的点, ,反之导数为反之导数为0 0的点不一定是函数的的点不一定是函数的极值点极值点. .因此因此: :导数值为
6、导数值为0 0的点是该点为极值的点是该点为极值点的必要非充分条件点的必要非充分条件. .9/16/2024例例1 求函数求函数 的极值。的极值。x(-，-2）-2(-2，2）2(2，+） y+00+y极大值极大值28/3极小值极小值 -4/3解解：定义域为：定义域为R，y=x2-4由由y=0可得可得x=-2或或 x=2当当x变化时，变化时，y, y的变化情况如下表：的变化情况如下表：因此，当因此，当x=-2时，时， y极大值极大值=28/3 当当x=2时，时， y极小值极小值=4/39/16/2024求可导函数求可导函数f(x)极值的极值的 步骤：步骤：(2)求导数求导数f (x)；(3)求方
7、程求方程f (x）=0的根；的根； (4)把定义域划分为把定义域划分为部分区间，并列成表格部分区间，并列成表格检查检查f (x)在方程根左右的符号在方程根左右的符号如果如果左正右负左正右负（+ -），）， 那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极大大值；值；如果如果左负右正左负右正（- +），）， 那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极小小值；值；(1) 确定函数的确定函数的定义域定义域；9/16/2024x(-,-3)-3(-3,3)3(3,+)y+0-0+y极大值极大值极小值极小值解解：定义域为：定义域为R， y=3x2-27。由由y=0可得可得x1=-3, x2=3当当
8、x变化时，变化时，y , y的变化情况如下表：的变化情况如下表：因此，当因此，当x=3时，时， y极小值极小值=-54， 当当x=-3时，时， y极大值极大值=54，点评：一点是极值点的点评：一点是极值点的充分条件充分条件是这点两侧的导数异号。是这点两侧的导数异号。9/16/2024 （2006年天津卷年天津卷)函数函数 的定义域为开区间的定义域为开区间导函数函数 在在 内的内的图像如像如图所示，所示，则函数函数在开区在开区间 内有（内有（ ）个极小）个极小值点。点。 A.1 B.2 C.3 D. 4A注意：注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别数形结合以及原函数与导函数图像的区别、9/16/2024
