有内热源存在时的热传导方程有内热源存在时的热传导方程为为式式(6-27a)(6-27a)在不同坐标系的一般形式如下：在不同坐标系的一般形式如下：直角坐标系：直角坐标系：柱坐标系：柱坐标系：球坐标系：球坐标系： 求解热传导的规律问题，即解出上述微分方程，获得温度求解热传导的规律问题，即解出上述微分方程，获得温度 t 与与时间时间θ及位置及位置( ( x , y , z) )的函数关系，即不同时刻温度在空间的分布的函数关系，即不同时刻温度在空间的分布( (温度场温度场) )所得的解为所得的解为t = = f( (θ, ,x , y , z) )，它不但要满足式，它不但要满足式(7-1)(7-1)或或式式(7-2)(7-2)、式、式(7-3)(7-3)，而且要满足每一问题的初始条件与边界条件而且要满足每一问题的初始条件与边界条件 第一节第一节 稳态稳态热传导热传导一、无内热源的一维稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导对于对于无内热源的一维稳态热传导，已知条件无内热源的一维稳态热传导，已知条件又设沿又设沿 x 或或 r 方向进行一维导热，则方向进行一维导热，则代入代入热传导方程式热传导方程式(7-1)(7-1)～～式式(7-1)(7-1)，可简化为一维的，可简化为一维的Laplace方程，方程，直角坐标系直角坐标系柱坐标系柱坐标系球坐标系球坐标系 ( (一一) )单层平壁一维稳态热传导单层平壁一维稳态热传导单层平壁一维稳态热传导，当热导率单层平壁一维稳态热传导，当热导率 k 为常数时，式为常数时，式(7-4)(7-4)即为描即为描述该导热过程的微分方程，即述该导热过程的微分方程，即设边界条件为设边界条件为将式将式(7-4)(7-4)积分两次，可得积分两次，可得代入边界条件，可得代入边界条件，可得将将C1、、C2代入式代入式(7-7)(7-7)，得温度分布方程，即，得温度分布方程，即由式由式(7-8)(7-8)可知，可知，平壁稳态热传导过程的温度分布为一直线平壁稳态热传导过程的温度分布为一直线。
根据根据Fourier 定律定律，通过，通过 x 处的导热通量处的导热通量将式将式(7-8)(7-8)对对 x 求导，得求导，得代入式代入式(7-9)(7-9)，得，得或或由式由式(7-10)(7-10)可知，热通量可知，热通量 q/ /A和和传热速率传热速率 q是是与与 x 无关是常量无关是常量 ( (二二) )单层筒壁的稳态热传导单层筒壁的稳态热传导 若筒壁很长，即若筒壁很长，即 L>>r ，则沿轴向的导热可忽略不计，且温度，则沿轴向的导热可忽略不计，且温度分布沿轴向对称，可认为温度仅沿径向变化分布沿轴向对称，可认为温度仅沿径向变化 对于对于无内热源的单层筒壁的一维稳态热传导，可用式无内热源的单层筒壁的一维稳态热传导，可用式(7-5)(7-5)表表征热传导方程，即征热传导方程，即设边界条件为设边界条件为对式对式(7-5)(7-5)积分两次，可得积分两次，可得代入边界条件，可得代入边界条件，可得 将将C1、、C2代入式代入式(7-11)(7-11)，得温度分布方程，即，得温度分布方程，即式式(7-12)(7-12)表明，表明，通过筒壁进行径向一维稳态热传导时，温度分布是通过筒壁进行径向一维稳态热传导时，温度分布是半径半径 r 的对数函数的对数函数。
•通过半径为通过半径为 r 的筒壁处的传热速率或热通量的计算的筒壁处的传热速率或热通量的计算柱坐标系的柱坐标系的 Fourier 定律，即定律，即q —半径半径 r 处的导热速率；处的导热速率；q/ /Ar —半径半径 r 处的热通量；处的热通量；r —径向坐标；径向坐标；dt/ /dr — r 处的温度梯度；处的温度梯度；L —筒壁长度；筒壁长度；Ar —半径半径 r 处导热面积，处导热面积， 导热面积导热面积Ar 是半径是半径 r 的函数 将式将式(7-12)(7-12)对对 r 求导求导, ,得：得：代入式代入式(7-13)(7-13)，得，得即即式式(7-14)(7-14)即为单层筒壁的导热速率方程即为单层筒壁的导热速率方程传热速率传热速率 q 与半径与半径 r 无关无关，是，是常量由式由式(7-14)(7-14)可得单位筒长导热速率，即可得单位筒长导热速率，即单位筒长导热速率单位筒长导热速率与半径与半径 r 无关，是无关，是常量 代入式代入式(7-13a),(7-13a),得得即即由式由式(7-14a)(7-14a)可知，热通量可知，热通量 q/ /Ar 随半径随半径 r 而变。
而变由式由式(7-14)(7-14)，即，即可知，传热速率可知，传热速率 q 与半径与半径 r 无关，是无关，是常量，亦即常量，亦即或或 式式(7-14)(7-14)亦可写成与平壁导热速率方程式亦可写成与平壁导热速率方程式(7-10)(7-10)相类似的形式，即相类似的形式，即式式(7-17)(7-17)与式与式(7-14)(7-14)对比对比可知可知或或 式中式中 rm——筒壁的对数平均半径；筒壁的对数平均半径； Am——筒壁的对数平均面积筒壁的对数平均面积当当 时，对数平均值近似等于算术平均值，即时，对数平均值近似等于算术平均值，即 二、有内热源的一维稳态热传导二、有内热源的一维稳态热传导 若柱体很长，即若柱体很长，即 L>>r ，则沿轴向的导热可忽略不计，且温度，则沿轴向的导热可忽略不计，且温度分布沿轴向对称，可认为温度仅沿径向变化分布沿轴向对称，可认为温度仅沿径向变化 对于有对于有内热源的柱体沿径向的一维稳态热传导，柱坐标系的能内热源的柱体沿径向的一维稳态热传导，柱坐标系的能量方程式量方程式(7-2)(7-2)，即，即可简化为可简化为式式(7-19)(7-19)为具为具有有内热源、沿径向做一维稳态热传导的能量方程。
内热源、沿径向做一维稳态热传导的能量方程若内热源均匀，则若内热源均匀，则 为常数 对式对式(7-19)(7-19)进行一次积分，得进行一次积分，得再积分一次，得再积分一次，得由边界条件可确定积分常数由边界条件可确定积分常数 C1、、C2，代入式，代入式(7-21)(7-21)求得柱体内的求得柱体内的温度分布温度分布 [ [例例7-4]7-4]有一半径为有一半径为 R、长度为、长度为 L 的实心圆柱体，其发热速率为的实心圆柱体，其发热速率为，圆柱体的表面温度为，圆柱体的表面温度为 ts ，，L >>>> R ，温度仅为径向距离的函数设，温度仅为径向距离的函数设热传导是稳态的，圆柱体的热导率热传导是稳态的，圆柱体的热导率 k 为常数，试求圆柱体内的温度为常数，试求圆柱体内的温度分布及最高温度处的温度值分布及最高温度处的温度值解：柱体内一维径向稳态热传导时的温度分布方程为解：柱体内一维径向稳态热传导时的温度分布方程为依题意，设边界条件为依题意，设边界条件为由边界条件由边界条件(2)(2)可得可得 将上式代入式将上式代入式(7-20)(7-20)，即，即并取并取 r = R，即，即得得故故将将 及及边界条件边界条件(1)(1)代入式代入式(7-21)(7-21)，得，得 最后得到温度分布方程为最后得到温度分布方程为由于圆柱体向外导热，最高温度应在圆柱体中心处，即由于圆柱体向外导热，最高温度应在圆柱体中心处，即上两式联立得温度分布方程，无量纲形式为上两式联立得温度分布方程，无量纲形式为 三、二维稳态热传导三、二维稳态热传导对于无内热源的二维稳态热传导，已知条件为对于无内热源的二维稳态热传导，已知条件为代入热传导的基本微分方程代入热传导的基本微分方程式式(7-1),(7-1),即即得得该式为该式为无内热源的二维稳态热传导无内热源的二维稳态热传导微分方程微分方程( (二维二维Laplace 方程方程) )。
根据式根据式(7-22)(7-22)求出的温度分布求出的温度分布 t = f ( x , y ) 为一连续曲面，若为一连续曲面，若将连续变化的偏微分方程用差分方程近似表达，则可通过数值计算将连续变化的偏微分方程用差分方程近似表达，则可通过数值计算法求出温度分布法求出温度分布 ( (一一) )物体内部的结点温度方程物体内部的结点温度方程 将物体分割成若干个由将物体分割成若干个由 组成的小方格，分割线的交点组成的小方格，分割线的交点称为结点称为结点 及及 的长度根据计算精度的要求选取的长度根据计算精度的要求选取 将将式式(7-22)(7-22)近似地写成差分形式，即近似地写成差分形式，即令令 ，则有，则有该式称为物体内部的结点温度分布方程，它表示任一结点该式称为物体内部的结点温度分布方程，它表示任一结点 ( i , j ) 的的温度温度 ti,j 与邻近与邻近 4 4个结点温度之间的关系，即为邻近个结点温度之间的关系，即为邻近 4 4个结点温度的个结点温度的算术平均值。
算术平均值 ( (二二) )物体边界上的结点温度方程物体边界上的结点温度方程处于物体表面的结点，由于外界的影响，其温度不能用式处于物体表面的结点，由于外界的影响，其温度不能用式(7-23)(7-23)来来表达，需要根据具体情况来建立表达，需要根据具体情况来建立1.1.绝热边界绝热边界取垂直纸面的距离为单位长度对虚线包围的微元作热量衡算，得取垂直纸面的距离为单位长度对虚线包围的微元作热量衡算，得 令令 ，则有，则有 2.2.一般对流边界一般对流边界设周围流体的主体温度为设周围流体的主体温度为 tb，且维持不变，微元体表面与流体之间，且维持不变，微元体表面与流体之间的对流传热系数为的对流传热系数为 h ，亦维持不变，对虚线包围的微元作热量衡算，亦维持不变，对虚线包围的微元作热量衡算，得，得 令令 ，则有，则有 即即 3.3.对流边界上的外角对流边界上的外角对虚线包围的微元作热量衡算，得对虚线包围的微元作热量衡算，得令令 ，则有，则有 整理得整理得 4.4.对流边界上的内角对流边界上的内角对虚线包围的微元作热量衡算，得对虚线包围的微元作热量衡算，得 令令 ，则有，则有 整理得整理得 ( (三三) )二维稳态温度场的结点温度方程组二维稳态温度场的结点温度方程组 式式(7-23)(7-23)、式、式(7-24)(7-24)表示无内热源二维稳态温度场中各结点温表示无内热源二维稳态温度场中各结点温度之间的关系，各式均为线性代数方程。
求解温度场时，可根据物度之间的关系，各式均为线性代数方程求解温度场时，可根据物体内部及边界情况，并考虑精度要求，将物体分割成若干个等边的体内部及边界情况，并考虑精度要求，将物体分割成若干个等边的小方格，将分割线的交点统一编号小方格，将分割线的交点统一编号( ( i = 1 , 2 , … , n ) )，然后根据每，然后根据每个结点所在的位置分别写出相应的结点温度方程，从而得到整个温个结点所在的位置分别写出相应的结点温度方程，从而得到整个温度场的结点温度方程组，即度场的结点温度方程组，即ai,j 和和 bi( (i = 1 , 2 , … , n) )均为常数，均为常数，ti ( (i = 1 , 2 , … , n) )为未知温度为未知温度式式(7-25)(7-25)为线性方程组，共有为线性方程组，共有 n 个方程，未知温度亦为个方程，未知温度亦为 n 个，求解个，求解此方程组即可求出此方程组即可求出 ti ( (i = 1 , 2 , … , n) )的数值，于是整个温度场即可的数值，于是整个温度场即可求出 第二节第二节 不稳态热传导不稳态热传导 物体内任一点的温度均物体内任一点的温度均随时间而变化随时间而变化的导热称为不稳态导热。
的导热称为不稳态导热求解不稳态导热问题时，需要应用热传导方程式求解不稳态导热问题时，需要应用热传导方程式(7-1)(7-1)、、式式(7-2)(7-2)或或式式(7-3) (7-3) ，并须满足具体的，并须满足具体的初始条件和边界条件初始条件和边界条件通过求解满足这通过求解满足这些定解条件的微分方程，求得温度分布随时间的变化关系，从而求些定解条件的微分方程，求得温度分布随时间的变化关系，从而求得特定时刻的传热速率得特定时刻的传热速率 初始条件是指在导热过程开始的瞬时物体内部的温度分布情况初始条件是指在导热过程开始的瞬时物体内部的温度分布情况边界条件视具体情况一般可分为边界条件视具体情况一般可分为 3 3类：类： 第一类边界条件是给出第一类边界条件是给出任何时刻任何时刻物体端面的温度分布；物体端面的温度分布； 第二类边界条件是给出第二类边界条件是给出所有时刻所有时刻物体端面处的导热通量；物体端面处的导热通量； 第三类边界条件是物体第三类边界条件是物体端面与周围流体端面与周围流体介质进行热交换，端面介质进行热交换，端面处的导热速率等于端面与流体之间的对流传热速率。
处的导热速率等于端面与流体之间的对流传热速率 不稳态导热过程中传热速率取决于介质内部热阻和表面热阻不稳态导热过程中传热速率取决于介质内部热阻和表面热阻 一、忽略一、忽略内部热阻内部热阻的不稳态导热的不稳态导热——集总热容法集总热容法 有一热的金属有一热的金属小球小球，浸泡在冷流体中不稳态导热过程中，传，浸泡在冷流体中不稳态导热过程中，传热速率取决于固体内部热阻和表面热阻亦即小球内部的温度分布热速率取决于固体内部热阻和表面热阻亦即小球内部的温度分布除与材料的热导率有关外，还与小球表面和周围流体的对流传热系除与材料的热导率有关外，还与小球表面和周围流体的对流传热系数有关若固体的热导率很大或内热阻很小，而环境流体与固体表数有关若固体的热导率很大或内热阻很小，而环境流体与固体表面之间的对流传热系数很小或对流传热热阻较大，便可忽略内热阻面之间的对流传热系数很小或对流传热热阻较大，便可忽略内热阻，即认为在任一时刻固体内部各处的温度均，即认为在任一时刻固体内部各处的温度均匀一致，温度梯度主要产生于小球表面的流匀一致，温度梯度主要产生于小球表面的流体层内 设设金属球密度金属球密度 ρ，比热容，比热容 cp ，体积，体积 V ，，表面积表面积 A，初使温度均匀为，初使温度均匀为 t0 ，环境流体的，环境流体的主体温度恒定为主体温度恒定为 tb，流体与金属球表面的对，流体与金属球表面的对流传热系数为流传热系数为 h，且不随时间变化。
且不随时间变化 球坐标系的热传导方程为球坐标系的热传导方程为由于金属球的内热阻可忽略，温度与位置无关，即由于金属球的内热阻可忽略，温度与位置无关，即故式故式(7-3)(7-3)简化为简化为因，金属球发热速率等于表面对流传热速率，即因，金属球发热速率等于表面对流传热速率，即代入式代入式(7-26)(7-26)，得，得 因因故上式应为故上式应为初始条件为初始条件为由于物体的温度仅随时间改变而与位置无关，不存在边界条件由于物体的温度仅随时间改变而与位置无关，不存在边界条件令令 ，则，则式式(7-26a)(7-26a)可化为可化为初始条件为初始条件为 积分积分式式(7-27)(7-27)，得，得或或该式即为忽略物体内热阻情况下物体温度与时间的定量关系式该式即为忽略物体内热阻情况下物体温度与时间的定量关系式指数中的量可整理如下：指数中的量可整理如下：令令 Fo 称为称为Fourier数，其物理意义表示时间之比，即无量纲时间数，其物理意义表示时间之比，即无量纲时间 令令 Bi 称为称为 Biot 数，其物理意义为数，其物理意义为 Bi 表示物体内部的导热热阻与表面对流热阻之比表示物体内部的导热热阻与表面对流热阻之比。
当当Bi大时，表示传热过程中物体内部的导热热阻起控制作用，大时，表示传热过程中物体内部的导热热阻起控制作用，物体内部存在较大的温度梯度不能采用集总热容法物体内部存在较大的温度梯度不能采用集总热容法 当当Bi小时，表示物体内部的热阻很小，表面对流传热的热阻起小时，表示物体内部的热阻很小，表面对流传热的热阻起控制作用，在起控制作用，物体内部的温度梯度很小，在同一瞬时控制作用，在起控制作用，物体内部的温度梯度很小，在同一瞬时各处温度较为均匀各处温度较为均匀 将式将式(7-30)(7-30)、式、式(7-31)(7-31)代入式代入式(7-28)(7-28)得得 研究表明，当研究表明，当Bi < <0.10.1时，系统的传热可用集总热容法处理，此时，系统的传热可用集总热容法处理，此时可用式时可用式(7-28)(7-28)或式或式(7-32)(7-32)计算物体温度与时间的关系，其结果与计算物体温度与时间的关系，其结果与实际比较不超过实际比较不超过5 5％ 二、忽略二、忽略表面热阻表面热阻的不稳态导热的不稳态导热 忽略表面热阻的不稳态导热过程发生在表面热阻比内阻很小的忽略表面热阻的不稳态导热过程发生在表面热阻比内阻很小的情况，即情况，即Bi >> 0.10.1时，由于表面热阻可忽略，表面温度时，由于表面热阻可忽略，表面温度 ts 在在 θ′>0>0 的的所有时间内均为一个常数所有时间内均为一个常数, ,其数值基本等于环境温度。
其数值基本等于环境温度 (一一) )半无限大固体的不稳态导热半无限大固体的不稳态导热 半无限大固体是指从半无限大固体是指从 x = 0 的界面开始向正的的界面开始向正的 x 方向及其它两个方向及其它两个坐标坐标( (y , z) )方向无限延伸的物体方向无限延伸的物体 在导热开始时，物体的初始温度为在导热开始时，物体的初始温度为 t0 0，然后突然将左端面的温，然后突然将左端面的温度变为度变为 ts s，且维持不变假设除物体的左右两端面外，其它表面均，且维持不变假设除物体的左右两端面外，其它表面均绝热由于右端面在无限远处，其温度在整个过程中均维持导热开绝热由于右端面在无限远处，其温度在整个过程中均维持导热开 始时的初始温度始时的初始温度 t0 0 不变 这类导热问题可视为沿这类导热问题可视为沿 x 方向的无内热源的一维导热问方向的无内热源的一维导热问 题。
题 柱坐标系的热传导方程为柱坐标系的热传导方程为对于沿对于沿 x 方向的无内热源的一维导热，即方向的无内热源的一维导热，即式式(7-2)(7-2)化简为化简为( (用用 θ 表示时间表示时间) )初始条件和边界条件为初始条件和边界条件为 •采用采用合成变量法合成变量法求解式求解式(7-33)(7-33)引入变量引入变量 η，即令，即令于是有于是有 将式将式(7-35)(7-35)、式、式(7-36)(7-36)代入式代入式(7-33)(7-33)，整理得，整理得 式式(7-37)(7-37)中的自变量仅为中的自变量仅为 η，故可写成常微分方程，即，故可写成常微分方程，即式式(7-38)(7-38)对应的定界条件为对应的定界条件为令令将式将式(7-39)(7-39)代入式代入式(7-38)(7-38)，得，得将式将式(7-40)(7-40)分离变量并积分，得分离变量并积分，得 将式将式(7-41)(7-41)积分，得积分，得将定解条件将定解条件(2)(2)代入式代入式(7-42)(7-42)，得，得故得故得再将定解条件再将定解条件(1)(1)代入式代入式(7-42)(7-42)，得，得故得故得 将将 C1、、C2 代入式代入式(7-42)(7-42)，得，得或或式中误差函数为式中误差函数为式式(7-44)(7-44)即为半无限大固体在加热或冷却过程中不同时刻的温度分即为半无限大固体在加热或冷却过程中不同时刻的温度分布表达式。
布表达式式中式中 可视为在可视为在 θ 瞬时物体某一位置瞬时物体某一位置 x 处的温度处的温度 t 同左端面温同左端面温度度 ts 之差与最大温度差之比之差与最大温度差之比 当当 时，表示物体某位置时，表示物体某位置 x 处的温度已经冷却或加处的温度已经冷却或加热到了左端面的温度热到了左端面的温度 ts ，此时由，此时由式式(7-44)(7-44)知知查得查得由于由于 x 为一有限值为一有限值 ，所以，所以 θ = ∞，即需要无限长时间物体，即需要无限长时间物体各处各处( (除除左左端面端面外外) )才能才能达到左端面的温度达到左端面的温度 ts 但实际情况是，经过某一足够长但实际情况是，经过某一足够长的时间之后，的时间之后，t 即开始以渐进的方式趋近于即开始以渐进的方式趋近于 ts •半无限大物体不稳态导热时的热流速率半无限大物体不稳态导热时的热流速率 半无限大物体的初始温度为半无限大物体的初始温度为 t0 ，当其左端面温度突然变为，当其左端面温度突然变为 ts 且且维持不变时，单位时间经左端面流入物体或自物体流出的热量可由维持不变时，单位时间经左端面流入物体或自物体流出的热量可由Fourier定律计算。
定律计算设左端面的面积为设左端面的面积为A，则瞬时的导热通量为，则瞬时的导热通量为由由式式(7-43)(7-43)求得求得由由式式(7-34)(7-34)求得求得故故 上式代入上式代入式式(7-45)(7-45)，得，得即即式式(7-46)(7-46)即为半无限大物体不稳态导热过程中即为半无限大物体不稳态导热过程中, , 瞬时通过瞬时通过 x = 0 平面平面的热通量表达式在的热通量表达式在 0～～θ 时间内通过时间内通过 x = 0 平面的总热量为平面的总热量为积分得积分得 ( (二二) )两个端面均两个端面均维持恒定温度维持恒定温度的大平板的不稳态导热的大平板的不稳态导热 假定除垂直于平板两端面的方向外，其它侧面上所传导的热量假定除垂直于平板两端面的方向外，其它侧面上所传导的热量均可忽略不计，在此情况下，具有两个平行端面的大平板中的导热均可忽略不计，在此情况下，具有两个平行端面的大平板中的导热问题，可视为一维导热问题处理问题，可视为一维导热问题处理两个端面相互平行，设其间距为两个端面相互平行，设其间距为 2 2l ，平板的初始温度，平板的初始温度 t0 0 各处均匀。
各处均匀现令两个端面的温度现令两个端面的温度突然变为突然变为 ts s，且在整个导，且在整个导热过程中维持不变热过程中维持不变热传导方程仍为式热传导方程仍为式(7-33)(7-33) ，即，即初始条件初始条件平板两端面维持恒定条件，即第一类边界条件平板两端面维持恒定条件，即第一类边界条件 采用采用分离变量法分离变量法求解热传导方程，并满足初始条件和边界条件求解热传导方程，并满足初始条件和边界条件引入无量纲数引入无量纲数 无量纲温度无量纲温度 无量纲长度无量纲长度 无量纲时间无量纲时间依依式式(7-48)(7-48)～式～式(7-50)(7-50)，，可求得可求得 将上述结果代入将上述结果代入式式(7-33)(7-33) ，得，得相应的定界条件变为相应的定界条件变为式式(7-51)(7-51)中的中的 L* * 和和 Fo 为自变量，而为自变量，而 T * * 为函数为线性齐次偏为函数为线性齐次偏微分方程，可微分方程，可采用采用分离变量法分离变量法求解因因 令令于是有于是有 将上述结果代入将上述结果代入式式(7-51)(7-51) ，得，得分离变量，得分离变量，得固有固有只有当上式中的常数只有当上式中的常数小于零时小于零时，该式才可能有满足定解条件的非零，该式才可能有满足定解条件的非零解，所以设解，所以设λ 称为特征值。
称为特征值 由式由式(7-54)(7-54) ，可得，可得分别对上两式求解，得分别对上两式求解，得将将式式(7-57)(7-57) 、式式(7-58)(7-58) 代入代入式式(7-52)(7-52)，得，得或或积分常数积分常数A、、B可有定解可有定解条件条件(1)(1)、、(2)(2)、、(3)(3)确定确定 •应用边界条件应用边界条件(3)(3)，即，即将式将式(7-59)(7-59)对对 L* * 求导数，即求导数，即将边界条件将边界条件(3)(3)代入式代入式(7-60)(7-60) ，得，得因因 ，故，故于是式于是式(7-59)(7-59)变为变为 •应用边界条件应用边界条件(2)(2)，即，即将边界条件将边界条件(2)(2)代入式代入式(7-62)(7-62)，得，得由于由于 A=0A=0，故，故 B B≠≠0 0，则由式，则由式(7-63)(7-63)可得可得由式由式(7-64)(7-64)可知，特征值可知，特征值 λ 可以有无限多个，即可以有无限多个，即将式将式(7-65)(7-65)中的中的 λi 值值代入式代入式(7-62)(7-62)，得，得式式(7-66)(7-66)为式为式(7-51)(7-51)的一个特解。
的一个特解 线性齐次方程线性齐次方程式式(7-51)(7-51)的通解为的通解为•应用边界条件应用边界条件(1)(1)，即，即将边界条件将边界条件(1)(1)代入式代入式(7-67)(7-67)，得，得该式为该式为 Fourier 级数，级数，Bi为为Fourier 级数的系数，由级数的系数，由正交性原理正交性原理得得积分得积分得 解得解得或或将将 Bi 值代入值代入式式(7-67)(7-67)，最后，最后得得 T * 的表达式为的表达式为式式(7-70)(7-70)即为式即为式(7-33)(7-33)的解该式表示平板两个平行端面维持恒温的解该式表示平板两个平行端面维持恒温情况下进行导热时某瞬间板内的温度分布由给定的时间和位置定情况下进行导热时某瞬间板内的温度分布由给定的时间和位置定出出Fo 和和L* * ，然后通过该式计算，然后通过该式计算 T * ，，最后即可得到给定的时间和位最后即可得到给定的时间和位置条件下的温度置条件下的温度 t 值 •式式(7-70)(7-70)还可以用于平板一个端面绝热，另一个端面骤然升温至还可以用于平板一个端面绝热，另一个端面骤然升温至 ts 情况下的导热计算。
情况下的导热计算 由于大平板的温度分布在中心面两侧完全对称，因此中心面的由于大平板的温度分布在中心面两侧完全对称，因此中心面的温度梯度为零，即温度梯度为零，即这也是绝热情况下的边界条件，因此这也是绝热情况下的边界条件，因此一个端面绝热平板的不稳态导一个端面绝热平板的不稳态导热问题完全可以用式热问题完全可以用式(7-70)(7-70)计算•关于防火墙问题关于防火墙问题墙的一面骤然被加热至墙的一面骤然被加热至 ts，热流不稳定地通入墙，热流不稳定地通入墙壁，墙的另一面绝热，绝热面的温度为壁，墙的另一面绝热，绝热面的温度为 tc因因 将上式代入式将上式代入式(7-70)(7-70)，得，得即即式式(7-71)(7-71)表明：表明：(1)(1)防火墙材料的热导率应越小越好防火墙材料的热导率应越小越好, ,而比热容和密度应越大越好而比热容和密度应越大越好假定假定 ，代入式，代入式(7-71)(7-71)并取级数的第一项，得并取级数的第一项，得可知，绝热面温度可知，绝热面温度 tc 随随 α 的减小而减小，亦即的减小而减小，亦即 k 减小或减小或 ρcp 增大均增大均会使会使 α 减小，从而使减小，从而使 tc 降低。
降低 (2)(2)绝热面温度升高到某一定值所需的时间与墙壁厚度的平方成正绝热面温度升高到某一定值所需的时间与墙壁厚度的平方成正比由式由式(7-71)(7-71)可知可知而而所以，当所以，当 θ 和和 l 2 2 做同样程度的改变时将不影响绝热面温度的变化，做同样程度的改变时将不影响绝热面温度的变化，亦即绝热面温度升高到某一定值所需的时间与墙壁厚度的平方成正亦即绝热面温度升高到某一定值所需的时间与墙壁厚度的平方成正比 三、内部热阻和表面热阻三、内部热阻和表面热阻均不能忽略时均不能忽略时的大平板的不稳态导热的大平板的不稳态导热 假定大平板的厚度为假定大平板的厚度为 2l，其初始温度，其初始温度 t0 均匀，然后突然将其置均匀，然后突然将其置于主体温度为于主体温度为 tb 的流体中，两端面与流体之间的对流传热系数的流体中，两端面与流体之间的对流传热系数 h 为为已知热流沿已知热流沿 x 方向亦即垂直于两端面的方向流动方向亦即垂直于两端面的方向流动在此情况下在此情况下热传导方程仍为式热传导方程仍为式(7-33)(7-33) ，即，即初始条件初始条件两平板端面与周围介质有热交换，即第三类边界条件两平板端面与周围介质有热交换，即第三类边界条件 ts( (θ) )为任一瞬时平板表面的温度，此温度随时间而变；为任一瞬时平板表面的温度，此温度随时间而变；tb 为流体介为流体介质的主体温度，假定为恒定值。
质的主体温度，假定为恒定值 采用采用分离变量法分离变量法对式对式(7-33)(7-33)求解，并使其满足定界条件求解，并使其满足定界条件(1)(1)、、(2)(2)、、(3)(3)，结果为，结果为式中式中 λi 为特征值，通过下式确定为特征值，通过下式确定通常将特征值通常将特征值 λi 表示为表示为将式将式(7-74)(7-74)代入式代入式(7-72)(7-72)，最后得温度分布方程为，最后得温度分布方程为式式(7-75)(7-75)表述了大平板两端面与周围介质有热交换时平板内部的温表述了大平板两端面与周围介质有热交换时平板内部的温度随时间的变化规律，式中度随时间的变化规律，式中 δi 值通过式值通过式(7-73)(7-73)和式和式(7-74)(7-74)确定 由于应用式由于应用式(7-75)(7-75)计算计算 t 与与 x 、、θ 的关系的关系相当麻烦相当麻烦，在工程实际中，在工程实际中，将式，将式(7-75)(7-75)无量纲化后，绘制成算图，采用图算法无量纲化后，绘制成算图，采用图算法无量纲温度无量纲温度 ；无量纲时间；无量纲时间相对热阻相对热阻 ；相对位置；相对位置t0——物体的初始温度；物体的初始温度；tb——周围流体介质的温度，为恒定值；周围流体介质的温度，为恒定值； t ——某一瞬时、某一位置处的温度；某一瞬时、某一位置处的温度；h ——物体表面与周围流体介质之间的对流传热系数；物体表面与周围流体介质之间的对流传热系数；k, ,α ——分别为物体的热导率和热扩散系数；分别为物体的热导率和热扩散系数；x1——平板的半厚度或由绝热面算起的厚度；平板的半厚度或由绝热面算起的厚度；x ——由平板中心面或绝热面至某点的距离。
由平板中心面或绝热面至某点的距离 图图7-87-8的适用条件：的适用条件：无限大平板无限大平板( (一维一维) )不稳态导热；不稳态导热；物体内部无热源；物体内部无热源；物体的初始温度均匀，为物体的初始温度均匀，为t0 0；；第三类边界条件；第三类边界条件；物体表面的温度随时间而变，物体表面的温度随时间而变，但流体介质的主体温度但流体介质的主体温度tb b为恒为恒定值 图图7-97-9的适用条件：的适用条件：无限长圆柱无限长圆柱( (一维一维) )不稳态导热；不稳态导热；物体内部无热源；物体内部无热源；物体的初始温度均匀，为物体的初始温度均匀，为t0 0；；第三类边界条件；第三类边界条件；物体表面的温度随时间而变，物体表面的温度随时间而变，但流体介质的主体温度但流体介质的主体温度tb b为恒定为恒定值 图图7-107-10的适用条件：的适用条件：球体的不稳态导热；球体的不稳态导热；物体内部无热源；物体内部无热源；物体的初始温度均匀，为物体的初始温度均匀，为t0 0；；第三类边界条件；第三类边界条件；物体表面的温度随时间而变，物体表面的温度随时间而变，但流体介质的主体温度但流体介质的主体温度tb b为恒为恒定值。
定值 四、多维不稳态导热四、多维不稳态导热 将一维分析解推广到二维和三维导热问题中的将一维分析解推广到二维和三维导热问题中的 Newman 法则 一平板，其一平板，其 z 方向为无限大，方向为无限大，x 和和y 方向上的长度分别为方向上的长度分别为 2 2x1 1、、2 2y1 1物体的热导率为物体的热导率为 k，初始温度均匀，为，初始温度均匀，为 t0 0 现骤然将其置于主体温度为现骤然将其置于主体温度为 tb b 的流体介质中，物体各表面与介的流体介质中，物体各表面与介质间的对流传热系数为此情况的导热为二维质间的对流传热系数为此情况的导热为二维( ( x, ,y方向方向 ) )的不稳态的不稳态导热，并属于第三类边界条件导热，并属于第三类边界条件该物体在时间该物体在时间θ、位置、位置( (x, ,y) )处的无量纲温度为处的无量纲温度为 分别为沿分别为沿x 和和y 方向进行一维方向进行一维不稳态导热时的无量纲温度不稳态导热时的无量纲温度 式式(7-80)(7-80)表明，二维不稳态导热问题，可化为两个一维不稳态导热表明，二维不稳态导热问题，可化为两个一维不稳态导热问题处理，二维不稳态导热时的无量纲温度可以用两个一维不稳态问题处理，二维不稳态导热时的无量纲温度可以用两个一维不稳态导热的无量纲温度的乘积表示。
导热的无量纲温度的乘积表示 可由式可由式(7-75)(7-75)或或由算图得出由算图得出 其他形状的简单物体，亦可视为由无限平面和无限长圆柱等适其他形状的简单物体，亦可视为由无限平面和无限长圆柱等适当组合而成然后将物体的二维或三维导热问题化为当组合而成然后将物体的二维或三维导热问题化为2 2个或个或3 3个一维个一维导热问题处理，而这些一维导热的解的乘积即为该物体多维导热问导热问题处理，而这些一维导热的解的乘积即为该物体多维导热问题的解如图，边长为如图，边长为 2 2x1 1、、2 2y1 1、、2 2z1 1 的长方体，即的长方体，即可视为，各为可视为，各为 2 2x1 1、、 2 2y1 1、、2 2z1 1 的大平板相互的大平板相互切割而成沿切割而成沿 x、、y、、z 各各个方向的不稳态导个方向的不稳态导热，在某时刻热，在某时刻 θ，某位置，某位置( ( x, ,y, ,z ) )处的温度处的温度可采用下式计算，即可采用下式计算，即 又如图，半径为又如图，半径为 r1 1、高度为、高度为 2 2x1 1 的短圆柱体，可视为由无限长圆柱的短圆柱体，可视为由无限长圆柱和无限大平板垂直切割而成。
在某时刻和无限大平板垂直切割而成在某时刻 θ，，某位置某位置( (x, ,y, ,z) )处的温度处的温度可采用下式计算，即可采用下式计算，即 五、一维不稳态导热的五、一维不稳态导热的数值解数值解 对于非规则的边界条件或初始温度分布对于非规则的边界条件或初始温度分布( (环境温度、表面传热环境温度、表面传热速率速率) )不均匀的情形，不稳态导热问题可通过数值法来求解不均匀的情形，不稳态导热问题可通过数值法来求解 以无内热源的一维不稳态热传导为例，说明数值求解方法以无内热源的一维不稳态热传导为例，说明数值求解方法 如图物体的初始温度为如图物体的初始温度为 t0 0，将其左侧平面置于温度为，将其左侧平面置于温度为 tb b的对流的对流环境中，右侧平面绝热描述此环境中，右侧平面绝热描述此不稳态导热的微分方程为不稳态导热的微分方程为将物体分割成相距为将物体分割成相距为△△x的若干等分，在物体内部任一平面的若干等分，在物体内部任一平面 i 处附近处附近 有有 又又将式将式(7-33)(7-33)左侧左侧的导数写成差分形式，即的导数写成差分形式，即式中式中△△θ ——所选取的时间间隔；所选取的时间间隔；ti , ti′——某点某点 i 处在处在 θ 瞬时和瞬时和 θ+△△θ 瞬瞬时的温度。
时的温度将式将式(7-83)(7-83)、式、式(7-84)(7-84)代入式代入式(7-33)(7-33)，得，得或或式式(7-86)(7-86)即为物体内部不稳态导热时的结点温度方程即为物体内部不稳态导热时的结点温度方程 △△x、、△△θ为计算时选用的距离间隔和时间间隔，选取的越小，精度为计算时选用的距离间隔和时间间隔，选取的越小，精度越高，计算量越大越高，计算量越大为使计算简化，可根据精度要求选取为使计算简化，可根据精度要求选取△△x或或△△θ之一，然后由下式计之一，然后由下式计算另一个量的值，即算另一个量的值，即将式将式(7-87)(7-87)代入式代入式(7-86)(7-86)，得，得整理得整理得式式(7-88)(7-88)表明，物体内部任一点表明，物体内部任一点 i 处在处在 θ+△△θ 瞬时的温度等于与其瞬时的温度等于与其相邻两点在相邻两点在 θ 瞬时温度的算术平均值瞬时温度的算术平均值 •不稳态导热时对流边界的结点温度方程不稳态导热时对流边界的结点温度方程取平面取平面1 1和平面和平面2 2之间之间的半个物块作为热量衡算的对象的半个物块作为热量衡算的对象在在△△θ 时间内，经由物块左侧时间内，经由物块左侧平面平面1 1输入的热量，为输入的热量，为在在△△θ 时间内，经由物块右侧时间内，经由物块右侧平面平面1.51.5输出的热量，为输出的热量，为物块在物块在△△θ 时间内积累的热量为时间内积累的热量为 t ′1.25、、 t1.25 分别表示物块中心分别表示物块中心面面1.251.25在在θ+△△θ和和θ时刻的温度。
时刻的温度因因 由热量衡算可得如下的近似关系式，即由热量衡算可得如下的近似关系式，即将将代入上式，整理得代入上式，整理得式式(7-89)(7-89)即为不稳态导热时对流边界的结点温度方程即为不稳态导热时对流边界的结点温度方程 •不稳态导热时绝热边界的结点温度方程不稳态导热时绝热边界的结点温度方程取平面取平面(n-1)n-1)和平面和平面(n)(n)之间之间的半个物块作为热量衡算的对象的半个物块作为热量衡算的对象在在△△θ 时间内，经由物块左侧时间内，经由物块左侧平面平面(n-0.5)(n-0.5)输入的热量，为输入的热量，为由于边界面由于边界面(n)(n)绝热，固有绝热，固有累积的热量为累积的热量为因因 精品课件精品课件！ 精品课件精品课件！ 故热量衡算式为故热量衡算式为将将代入上式，整理得代入上式，整理得式式(7-90)(7-90)即为不稳态导热时绝热边界的结点温度方程由此可知，即为不稳态导热时绝热边界的结点温度方程由此可知，绝热边界经历绝热边界经历△△θ 时间之后的温度等于物体内距离边界面为时间之后的温度等于物体内距离边界面为△△x的面的面上未经历上未经历 △△θ 时间以前的温度时间以前的温度。