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1、分类计数原理分类计数原理分类计数原理分类计数原理 与分步计数原理与分步计数原理与分步计数原理与分步计数原理实例引入实例引入1. 从甲地到乙地，从甲地到乙地，可以可以乘火车，乘火车，也可以也可以乘汽车乘汽车.一天里火车有一天里火车有3班，汽车有班，汽车有2班班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？到乙地共有多少种不同的走法？乙地乙地甲地甲地实例引入实例引入1. 从甲地到乙地，从甲地到乙地，可以可以乘火车，乘火车，也可以也可以乘汽车乘汽车.一天里火车有一天里火车有3班，汽车有班，汽车有2班班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地那么一天中，
2、乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？到乙地共有多少种不同的走法？共有共有325种不同的种不同的走法走法火车火车1火车火车2火车火车3汽车汽车1汽车汽车2乙地乙地甲地甲地讲授新课讲授新课分分类类计数原理计数原理 完成一件事，有完成一件事，有n类类办法，在第办法，在第1类办法中有类办法中有m1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类类办法中有办法中有m2种不同的方法种不同的方法在第在第n类类办法中有办法中有mn种不同的方法那么完成种不同的方法那么完成这件事共有这件事共有 种不同的方法种不同的方法讲授新课讲授新课分分类类计数原理计数原理 完成一件事，有完成一件事，有n类类办法，在第办法
3、，在第1类办法中有类办法中有m1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类类办法中有办法中有m2种不同的方法种不同的方法在第在第n类类办法中有办法中有mn种不同的方法那么完成种不同的方法那么完成这件事共有这件事共有 Nm1m2mn种不同的方法种不同的方法对于分类计数原理，注意以下几点：对于分类计数原理，注意以下几点：讲授新课讲授新课从分类计数原理中可以看出，各类之间相从分类计数原理中可以看出，各类之间相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所以加，所以分类计数原理分类计数原理又称又称加法原理加法原理；对于分类计数原理，注意以下几点：对于分类计数原理，注意
4、以下几点：讲授新课讲授新课分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类；分类；从分类计数原理中可以看出，各类之间相从分类计数原理中可以看出，各类之间相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所以加，所以分类计数原理分类计数原理又称又称加法原理加法原理；对于分类计数原理，注意以下几点：对于分类计数原理，注意以下几点：讲授新课讲授新课分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类的标准
5、，然后在确定的分类标准下进行分类；分类；完成这件事的任何一种方法必属于某一类，完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法的方法从分类计数原理中可以看出，各类之间相从分类计数原理中可以看出，各类之间相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所以加，所以分类计数原理分类计数原理又称又称加法原理加法原理；对于分类计数原理，注意以下几点：对于分类计数原理，注意以下几点：讲授新课讲授新课2. 从甲地到乙地，从甲地到乙地，先先乘火车到丙地，乘火车到丙地，再再乘乘汽车到乙地一天中从甲地到丙地
6、火车有汽车到乙地一天中从甲地到丙地火车有3班，从丙地到乙地汽车有班，从丙地到乙地汽车有2班那么一天班那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？多少种不同的走法？实例引入实例引入甲地甲地乙地乙地2. 从甲地到乙地，从甲地到乙地，先先乘火车到丙地，乘火车到丙地，再再乘乘汽车到乙地一天中从甲地到丙地火车有汽车到乙地一天中从甲地到丙地火车有3班，从丙地到乙地汽车有班，从丙地到乙地汽车有2班那么一天班那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？多少种不同的走法？实例引入实例引入甲地甲地火车火车1
7、火车火车2火车火车3汽车汽车1汽车汽车2丙丙地地乙地乙地2. 从甲地到乙地，从甲地到乙地，先先乘火车到丙地，乘火车到丙地，再再乘乘汽车到乙地一天中从甲地到丙地火车有汽车到乙地一天中从甲地到丙地火车有3班，从丙地到乙地汽车有班，从丙地到乙地汽车有2班那么一天班那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？多少种不同的走法？共有共有326种不同的种不同的走法走法实例引入实例引入甲地甲地火车火车1火车火车2火车火车3汽车汽车1汽车汽车2丙丙地地乙地乙地分分步步计数原理计数原理 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个个步步骤，骤，做第做第1步有
8、步有m1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步步有有m2种不同的方法种不同的方法做第做第n步有步有mn种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法种不同的方法讲授新课讲授新课分分步步计数原理计数原理 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个个步步骤，骤，做第做第1步有步有m1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步步有有m2种不同的方法种不同的方法做第做第n步有步有mn种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法那么完成这件事共有 Nm1m2mn种不同的方法种不同的方法讲授新课讲授新课对于对于分步分步计数原理，注意以下几点：计数原理，注意以下几点：讲授新课讲授新
9、课对于对于分步分步计数原理，注意以下几点：计数原理，注意以下几点：讲授新课讲授新课对于对于分步分步计数原理，注意以下几点：计数原理，注意以下几点：分步时首先要根据问题的特点确定一个分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；分步的标准；讲授新课讲授新课对于对于分步分步计数原理，注意以下几点：计数原理，注意以下几点：分步时还要注意满足完成一件事必须并分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成且只需连续完成 n 个步骤后这件事才算完个步骤后这件事才算完成成分步时首先要根据问题的特点确定一个分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；分步的标准；讲授新课讲授新课两个原理的相同之处：两个原理
10、的相同之处：讲授新课讲授新课两个原理的相同之处：两个原理的相同之处：目的相同：都要目的相同：都要“做一件事并完成它做一件事并完成它”讲授新课讲授新课两个原理的相同之处：两个原理的相同之处：目的相同：都要目的相同：都要“做一件事并完成它做一件事并完成它”所问相同：即问所问相同：即问“共有几种不同方法共有几种不同方法”讲授新课讲授新课两个原理的相同之处：两个原理的相同之处：目的相同：都要目的相同：都要“做一件事并完成它做一件事并完成它”所问相同：即问所问相同：即问“共有几种不同方法共有几种不同方法”两个原理的不同之处：两个原理的不同之处：讲授新课讲授新课分类计数原理分类计数原理 分步计数原理分步计
11、数原理完成一件事，共有完成一件事，共有n类办法，关键词类办法，关键词“分类分类”区别区别1完成一件事，共分完成一件事，共分n个步骤，关键词个步骤，关键词“分步分步”区别区别2区别区别3每类办法都能独立地每类办法都能独立地完成这件事情，它是完成这件事情，它是独立的、一次的、且独立的、一次的、且每次得到的是最后结每次得到的是最后结果，果，只须一种方法就只须一种方法就可完成这件事。可完成这件事。每一步得到的只是中间结每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，步也不能完成这件事，只只有各个步骤都完成了，才有各个步骤
12、都完成了，才能完成这件事。能完成这件事。各类办法是各类办法是互相独立互相独立的。的。 各步之间是各步之间是互相互相关联的。关联的。即：即：类类独立，步步关联类类独立，步步关联。例例1 书架的第书架的第1层放有层放有4本不同的计算机书，本不同的计算机书，第第2层放有层放有3本不同的文艺书，第三层放有本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书本不同的体育书从书架上任取从书架上任取1本书，有多少种不同的本书，有多少种不同的取法？取法？从书架的第从书架的第1、2、3层各取层各取1本书，有多本书，有多少种不同的取法？少种不同的取法？讲授新课讲授新课例例1 书架的第书架的第1层放有层放有4本不同的计算机书
13、，本不同的计算机书，第第2层放有层放有3本不同的文艺书，第三层放有本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书本不同的体育书从书架上任取从书架上任取1本书，有多少种不同的本书，有多少种不同的取法？取法？从书架的第从书架的第1、2、3层各取层各取1本书，有多本书，有多少种不同的取法？少种不同的取法？(分类计数原理分类计数原理) 讲授新课讲授新课例例1 书架的第书架的第1层放有层放有4本不同的计算机书，本不同的计算机书，第第2层放有层放有3本不同的文艺书，第三层放有本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书本不同的体育书从书架上任取从书架上任取1本书，有多少种不同的本书，有多少种不同的取法？取法？从
14、书架的第从书架的第1、2、3层各取层各取1本书，有多本书，有多少种不同的取法？少种不同的取法？(分类计数原理分类计数原理) (分步计数原理分步计数原理) 讲授新课讲授新课例例1 书架的第书架的第1层放有层放有4本不同的计算机书，本不同的计算机书，第第2层放有层放有3本不同的文艺书，第三层放有本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书本不同的体育书从书架上任取从书架上任取1本书，有多少种不同的本书，有多少种不同的取法？取法？从书架的第从书架的第1、2、3层各取层各取1本书，有多本书，有多少种不同的取法？少种不同的取法？解：解：Nm1m2m34329(分类计数原理分类计数原理) (分步计数原理分步
15、计数原理) 讲授新课讲授新课例例1 书架的第书架的第1层放有层放有4本不同的计算机书，本不同的计算机书，第第2层放有层放有3本不同的文艺书，第三层放有本不同的文艺书，第三层放有2本不同的体育书本不同的体育书从书架上任取从书架上任取1本书，有多少种不同的本书，有多少种不同的取法？取法？从书架的第从书架的第1、2、3层各取层各取1本书，有多本书，有多少种不同的取法？少种不同的取法？解：解：Nm1m2m34329 Nm1m2m343224(分类计数原理分类计数原理) (分步计数原理分步计数原理) 讲授新课讲授新课一件工作可以用一件工作可以用2种方法完成，有种方法完成，有5人会人会用第用第1种方法完成
16、，另有种方法完成，另有4人会用第人会用第2种方法种方法完成，从中选出完成，从中选出1人来完成这件工作，不同人来完成这件工作，不同选法的种数是有选法的种数是有 课堂练习课堂练习1填空：填空：从从A村去村去B村的道路有村的道路有3条，从条，从B村去村去C村村的道路有的道路有2条，从条，从A村经村经B村去村去C村，不同走村，不同走法的种数是法的种数是 讲授新课讲授新课一件工作可以用一件工作可以用2种方法完成，有种方法完成，有5人会人会用第用第1种方法完成，另有种方法完成，另有4人会用第人会用第2种方法种方法完成，从中选出完成，从中选出1人来完成这件工作，不同人来完成这件工作，不同选法的种数是有选法的
17、种数是有 1填空：填空：9 种种从从A村去村去B村的道路有村的道路有3条，从条，从B村去村去C村村的道路有的道路有2条，从条，从A村经村经B村去村去C村，不同走村，不同走法的种数是法的种数是 讲授新课讲授新课课堂练习课堂练习一件工作可以用一件工作可以用2种方法完成，有种方法完成，有5人会人会用第用第1种方法完成，另有种方法完成，另有4人会用第人会用第2种方法种方法完成，从中选出完成，从中选出1人来完成这件工作，不同人来完成这件工作，不同选法的种数是有选法的种数是有 1填空：填空：9 种种(分类计数原理分类计数原理) 54=9从从A村去村去B村的道路有村的道路有3条，从条，从B村去村去C村村的道
18、路有的道路有2条，从条，从A村经村经B村去村去C村，不同走村，不同走法的种数是法的种数是 讲授新课讲授新课课堂练习课堂练习一件工作可以用一件工作可以用2种方法完成，有种方法完成，有5人会人会用第用第1种方法完成，另有种方法完成，另有4人会用第人会用第2种方法种方法完成，从中选出完成，从中选出1人来完成这件工作，不同人来完成这件工作，不同选法的种数是有选法的种数是有 1填空：填空：9 种种(分类计数原理分类计数原理) 54=9从从A村去村去B村的道路有村的道路有3条，从条，从B村去村去C村村的道路有的道路有2条，从条，从A村经村经B村去村去C村，不同走村，不同走法的种数是法的种数是 6 种种讲授
19、新课讲授新课课堂练习课堂练习一件工作可以用一件工作可以用2种方法完成，有种方法完成，有5人会人会用第用第1种方法完成，另有种方法完成，另有4人会用第人会用第2种方法种方法完成，从中选出完成，从中选出1人来完成这件工作，不同人来完成这件工作，不同选法的种数是有选法的种数是有 1填空：填空：9 种种(分类计数原理分类计数原理) 54=9从从A村去村去B村的道路有村的道路有3条，从条，从B村去村去C村村的道路有的道路有2条，从条，从A村经村经B村去村去C村，不同走村，不同走法的种数是法的种数是 6 种种(分步计数原理分步计数原理) 32=6讲授新课讲授新课课堂练习课堂练习2现有高中一年级的学生现有高
20、中一年级的学生3名，高中二名，高中二年级的学生年级的学生5名，高中三年级的学生名，高中三年级的学生4名名从中任选从中任选1人参加接待外宾的活动，有人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？多少种不同的选法？从三个年级的学生中各选从三个年级的学生中各选1人参加外宾人参加外宾的活动，有多少种不同的选法？的活动，有多少种不同的选法？讲授新课讲授新课课堂练习课堂练习练习练习: 某班共有男生某班共有男生28名名,女生女生20名名,从该班选出学生代表参加校学从该班选出学生代表参加校学代会代会.(1)若学校分配给该班若学校分配给该班1名代表名代表,有多少有多少种不同的选法种不同的选法?(2)若学校分配给该班
21、若学校分配给该班2名代表名代表,且男女且男女生代表各生代表各1名名,有多少种不同的选法有多少种不同的选法?例例2: (1) 在图在图 (1)的电路中要接通电路的电路中要接通电路,有多少种不同的方法有多少种不同的方法? (2) 在图在图(2)的电路中要接通电路的电路中要接通电路,有有多少种不同的方法多少种不同的方法?(1) 在图在图 (1)的电路中要接通电路的电路中要接通电路,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?(1)在图在图(1)中按要求接通电路中按要求接通电路,只要只要在在A中的两个开关或中的两个开关或B中的三个开中的三个开关中合上一只即可关中合上一只即可,故有故有(2) 2+3=5(3)
22、种不同的方法种不同的方法.(2) 在图在图(2)的电路中要接通电的电路中要接通电路路,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?(2)在图在图(2)中中,按要求接通电路必须分两按要求接通电路必须分两步进行步进行:第一步第一步,合上合上A中的一只开关中的一只开关;第二步第二步,合上合上B中的一只开关。故有中的一只开关。故有 (3) 23=6 种不同方法。种不同方法。 答答:在图在图 (1)的电路中的电路中,只合上一只开关以接通电路只合上一只开关以接通电路,有有5种不同的方法；图种不同的方法；图(2)的电路中的电路中,合上两只开关以接通电路合上两只开关以接通电路,有有6种不同的方法种不同的方法.ABA
23、Bm1m1m2m2mnmn点评点评: : 我们可以把我们可以把分类分类记数原理记数原理看成看成“并联并联电路电路”; ;分步记数原分步记数原理理看成看成“串联电路串联电路”。如图。如图: : 3.如图如图,该该电路电路,从从A到到B共有多少条共有多少条不同的线路不同的线路可通电？可通电？AB课堂练习课堂练习所以所以, 根据分类原理根据分类原理, 从从A到到B共有共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 条不同的线路可通电。条不同的线路可通电。在解题有时既要分类又要分步。在解题有时既要分类又要分步。解解: 从总体上看由从总体上看由A到到B的通电线路可分三类的通电线路可分三类,第一类第一类, m1
24、 = 3 条条第二类第二类, m2 = 1 条条第三类第三类, m3 = 22 = 4, 条条小结小结: : 1.1.分类记数原理分类记数原理中的中的“分类分类”要全面要全面, ,不能不能遗漏遗漏; ; 但也不能重复、交叉但也不能重复、交叉; ;“类类”与与“类类之间之间是并列的、互斥的、独立的是并列的、互斥的、独立的, ,也就是说也就是说, ,完成一件完成一件事情事情, ,每次只能选择其中的一类办法中的某一种每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。若完成某件事情有方法。若完成某件事情有n n类办法类办法, , 即它们两两即它们两两的交为空集的交为空集,n,n类的并为全集。类的并为全集。 2
25、.分步记数原理分步记数原理中的中的“分步分步”程序要正确。程序要正确。“步步”与与“步步”之间是连续的之间是连续的,不间断的不间断的,缺一不缺一不可可;但也不能重复、交叉但也不能重复、交叉;若完成某件事情需若完成某件事情需n步步, 则必须且只需依次完成这则必须且只需依次完成这n个步骤后个步骤后,这件事情才这件事情才算完成算完成 3.在运用在运用“分类记数原理分类记数原理、分步记数原理分步记数原理”处理具体应用题时处理具体应用题时,除要弄清是除要弄清是“分类分类”还是还是“分步分步”外外,还要搞清楚还要搞清楚“分类分类”或或“分步分步”的具的具体标准。在体标准。在“分类分类”或或“分步分步”过程
26、中过程中,标准必标准必须一致须一致,才能保证不重复、不遗漏。才能保证不重复、不遗漏。例例2 一种号码锁有一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘个拨号盘，每个拨号盘上有从上有从0到到9这这10个数字，这个数字，这4个拨号盘可以个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？组成多少个四位数字号码？讲授新课讲授新课例例例例2. 2.给程序模块命名，需要用给程序模块命名，需要用给程序模块命名，需要用给程序模块命名，需要用3 3个字符，其中首个字个字符，其中首个字个字符，其中首个字个字符，其中首个字符要求用字母符要求用字母符要求用字母符要求用字母AGAG或或或或UZUZ，后两个要求用数字后两个要求用数字后两个要求用数
27、字后两个要求用数字1 19 9，问最多可以给多少个程序命名？，问最多可以给多少个程序命名？，问最多可以给多少个程序命名？，问最多可以给多少个程序命名？分析分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。解解：首字符共有首字符共有7+613种不同的选法，种不同的选法，答答：最多可以给：最多可以给10531053个程序命名。个程序命名。中间字符和末位字符各有中间字符和末位字符各有9种不同的选法种不同的选法根据分步计数原理，最多可以有根据分步计数原理
28、，最多可以有13991053种不同的选法种不同的选法例例3.3.在所有的两位数中在所有的两位数中, ,个位数字大于十位数字的个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？两位数共有多少个？ 分析分析1:1:按个位数字是按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,92,3,4,5,6,7,8,9分成分成8 8类类, ,在每一在每一类中满足条件的两位数分别是类中满足条件的两位数分别是 1 1个个,2,2个个,3,3个个,4,4个个,5,5个个,6,6个个,7 ,7 个个,8 ,8 个个. . 则根据分类记数原理共有则根据分类记数原理共有 1 +2 +3 +4 + 5 + 6 + 1 +2 +3 +4 + 5
29、 + 6 + 7 + 8 =36 (7 + 8 =36 (个个).).分析分析2:2:按十位数字是按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,81,2,3,4,5,6,7,8分成分成8 8类类, ,在每一在每一类中满足条件的两位数分别是类中满足条件的两位数分别是 8 8个个,7,7个个,6,6个个,5,5个个,4,4个个,3,3个个,2,2个个,1,1个个. . 则根据分类记数原理共有则根据分类记数原理共有 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 (3 + 2 + 1 = 36 (个个) )例例4.4.一个三位密码锁一个三位密码
30、锁, ,各位上数字由各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,90,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成十个数字组成, ,可以设置多少种三位数的密码可以设置多少种三位数的密码( (各位上的数各位上的数字允许重复字允许重复) )？首位数字不为？首位数字不为0 0的密码数是多少？首位数字的密码数是多少？首位数字是是0 0的密码数又是多少？的密码数又是多少？分析分析（1 1） 按密码位数按密码位数, ,从左到右依次设置第一位、第二位、第从左到右依次设置第一位、第二位、第三位三位, , 需分为三步完成需分为三步完成; ; 第一步第一步: m: m1 1 = 10; = 10; 第二步第
31、二步: m: m2 2 = 10; = 10; 第三步第三步: : m m2 2 = 10. = 10. 根据分步记数原理根据分步记数原理, , 共可以设置共可以设置 N = 10N = 10101010 = 1010 = 103 3 种三位数的密码。种三位数的密码。（2 2）首位数字不为首位数字不为0 0的密码数是的密码数是 N =9N =9101010 = 910 = 910102 2 种种, , 首位数字是首位数字是0 0的密码数是的密码数是 N = 1N = 1101010 = 1010 = 102 2 种。种。 由此可以看出由此可以看出, , 首位数字不为首位数字不为0 0的密码数与
32、首位数字是的密码数与首位数字是0 0的密的密码数之和等于密码总数。码数之和等于密码总数。1.1.本节课学习了哪些主要内容？本节课学习了哪些主要内容？ 分类记数原理和分步记数原理。 2.2.分类记数原理和分步记数原理的共同点是什么？分类记数原理和分步记数原理的共同点是什么？不同点什么？不同点什么？ 答答: : 共同点是, 它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法。 不同点是, 它们研究完成一件事情的方式不同,分类记数原理是“分类完成”, 即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事。分步记数原理是“分步完成”, 即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重点。3.3.何时用分类记数原理、分步记数原理呢何时用分类记数原理、分步记数原理呢? ? 完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完成这件事情的方法总数用分类记数原理。 完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事,则计算完成这件事的方法总数用分步记数原理。
