第七节第七节 初等函数的连续性初等函数的连续性与与 连续函数的性质连续函数的性质一、连续函数的运算性质一、连续函数的运算性质二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质第一章第一章函数与极限函数与极限 一、连续函数的运算性质一、连续函数的运算性质１．四则运算性质１．四则运算性质定理定理1 若函数若函数f(x),g(x)在点在点x0皆连续，那么函数皆连续，那么函数在点在点x0也是连续的．也是连续的．利用连续函数的定义及函利用连续函数的定义及函数极限的四则运算性质很数极限的四则运算性质很容易得到容易得到例例1 由于函数由于函数y=sinx，，y=cosx在在 整个实数范围内都是连整个实数范围内都是连续的，因此三角函数续的，因此三角函数 在其定义域内都是连续的．在其定义域内都是连续的．所有的三角函数在其定所有的三角函数在其定义域内都是连续的义域内都是连续的. 2．反函数的连续性．反函数的连续性定理定理2 若函数若函数y=f(x)在区间在区间Ix上单调增加上单调增加 且连且连续续,那么它的反函数那么它的反函数x=f-1(y)在区间在区间Iy上单调增加上单调增加 且连续，其中且连续，其中Iy ={y|y=f(x), x∈∈Ix}.由此我们有下面的由此我们有下面的(或单调减少或单调减少)(或单调减少或单调减少) 例例2 由于函数由于函数y=sinx在在 内单调增加且连续，由内单调增加且连续，由定理定理2，它的反函数，它的反函数y=arcsinx在闭区间在闭区间[- -1,1]上也是单调增上也是单调增加且连续的．加且连续的．以此类推以此类推,所有的反三角函数在其所有的反三角函数在其定义域内都是连续的定义域内都是连续的. 由于对任意的由于对任意的x0，， ，即指数函数，即指数函数 在定义域内在定义域内是连续的，同时，它也是单调的．是连续的，同时，它也是单调的．因此，由定理因此，由定理2 2，它的反函数，它的反函数 在在 内也是连续内也是连续的且单调的．的且单调的．所有的指数函数和对数函数在其所有的指数函数和对数函数在其定义域内都是连续的定义域内都是连续的. 3．复合函数的连续性．复合函数的连续性定理定理3 (1)设函数设函数y=f[g(x)]是由函数是由函数y=f(u)与函数与函数u=g(x)复合而复合而成成, 且在且在x0的某邻域的某邻域U(x0)内有定义．内有定义．(2) 函数函数u=g(x)在点在点x0连续连续,(3) 函数函数y=f(u)在点在点u0连续，连续，其中其中g(x0)=u0.则复合函数则复合函数y=f[g(x)]在点在点x0也连续也连续.即有即有 例例3 证函数证函数y=sin(x+1),y=cos[(x-2)2]在实数范围内都是连续的．在实数范围内都是连续的．证明证明 函数函数y=sin(x+1)是由是由y=sinu和和u=x+1复合而成的．复合而成的．函数函数y=cos[(x-2)2]是由是由y=cosu和和u=v2及及v=x-2复合而成的．复合而成的．由复合函数的连续性，它们都是连续的由复合函数的连续性，它们都是连续的.定理定理3的简单表述的简单表述对复合函数对复合函数f[g(x)]，若，若g在在x0点连续，点连续，f在点在点u0=g(x0)连续，则有连续，则有f连续连续g连续连续 该如何利用该如何利用前面的结论前面的结论来说明幂函来说明幂函数的连续性数的连续性？？ 例例4 幂函数幂函数y=xμ在在(0,+∞)是连续的．是连续的．y=xμ=e μlnx由指数函数由指数函数y=eu及对数及对数函数函数u= μlnx复合而成复合而成.证明证明 而而y=eu及及u=μlnx都是连续的都是连续的, 由定理由定理3,幂函数幂函数y=xμ在在区间区间(0,+∞)内连续．内连续．讨论讨论 求极限求极限能利用定理能利用定理3 3吗？吗？该函数由该函数由lnu和和 复合而成，复合而成，lnu是连续的，但是连续的，但 在在x=0处是不连续的，因而不能直接使用定理处是不连续的，因而不能直接使用定理3．下面的定理．下面的定理4是定理是定理3的推广的推广.定理定理4 设有复合函数设有复合函数y=f[g(x)]，函数，函数g(x)在在x0点的某去心邻域点的某去心邻域内有定义，且内有定义，且 ，而函数，而函数f在点在点y0连续．则有连续．则有 定理定理4的简单表述的简单表述 您看出来定理您看出来定理3与与定理定理4的区别了吗的区别了吗?观察两定理的简观察两定理的简述中的式子述中的式子,您看您看它们有什么特点它们有什么特点?您有何考虑您有何考虑?它们的区别在于对内层函它们的区别在于对内层函数的要求不同数的要求不同,定理定理3中要中要求内层函数连续求内层函数连续,而定理而定理4中仅要求内层函数极限存中仅要求内层函数极限存在在.从两个式子可以看出若函从两个式子可以看出若函数连续数连续,则极限号可以移到则极限号可以移到函数符号里面函数符号里面.当当““外外””函数连续时，有函数连续时，有 f连续连续于是于是 g不一定连续不一定连续f连续连续g连续连续 解解 分析分析 函数函数 是是如何复合的如何复合的,它们都连续它们都连续吗吗?例例5 5 求求 显然该函数是由两个连续函数显然该函数是由两个连续函数 与与 复合而成的，复合而成的，这里用的是哪个这里用的是哪个定理？为什么？定理？为什么？因此因此注注 把定理把定理4 4中的中的 换为换为 ，而其他不变，，而其他不变，结论仍成立，结论仍成立， 例例6 6 求求 并求并求 分析分析 第一个式子分母中的第一个式子分母中的x应如何处理应如何处理? 第二题与第一题之间有何联系？第二题与第一题之间有何联系？解解 对对 令令ax-1=t，， 则则x=loga(1+t),并且并且x→0→0时时t→0→0 ,于是于是 这里用的是哪个这里用的是哪个定理？为什么？定理？为什么？ 解解分析分析 该式该式可通过适当可通过适当的变形将其和第二个的变形将其和第二个重要极限联系起来重要极限联系起来.例例7 求求 是由是由 复合而得．复合而得． 因此因此 这里用的是哪个这里用的是哪个定理？为什么？定理？为什么？ 一般地，对形如一般地，对形如 的函数的函数 （通常称为（通常称为幂指函数幂指函数），如果），如果那么那么 其中其中 都是自变量的同都是自变量的同一变化过程中的极限．一变化过程中的极限． 二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性• 基本初等函数在其基本初等函数在其定义域定义域内都是连续的．内都是连续的． •一切一切初等函数在其初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的．内都是连续的． 例如例如 上面的例上面的例5，求，求 ，根据复合函数的连续性，，根据复合函数的连续性，我们知道我们知道 在在 点是连续的，而且点是连续的，而且 ，因此有，因此有利用连续的定义，若利用连续的定义，若y=f(x)在在x0点连续，如果要求函数点连续，如果要求函数y=f(x)在在x→x0时的极限，那么由时的极限，那么由 ,就把求极限的问题就把求极限的问题就转化为求函数值的问题了．就转化为求函数值的问题了． 例例9的整个解题的整个解题过程过程,可以认为可以认为分两步分两步,您看是您看是哪两步哪两步?通过本通过本题的解法题的解法,有何有何体会体会?解解= =第一步第一步 通过变形通过变形“去掉去掉”可去间断点可去间断点;第二步第二步 对连续函数对连续函数求极限求极限.例例9 求求 分析分析 函数在函数在x=0点连续吗？是否可以将其转化为求连续函数的点连续吗？是否可以将其转化为求连续函数的极限？极限？ 三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质１．１．有界性与最大值、最小值定理有界性与最大值、最小值定理 从这个图形可以看从这个图形可以看到到,在闭区间上连在闭区间上连续的函数是有界的续的函数是有界的,而且能够取到最大而且能够取到最大和最小值，这就是和最小值，这就是定理定理5.定理定理1中的中的“闭区间闭区间”,“连连续续”两个条件能不能缺少两个条件能不能缺少?缺一不可缺一不可!定理定理1 在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函数在该区间上有界，并且在该区在该区间上有界，并且在该区间上，它取得最大值与最小值间上，它取得最大值与最小值. 再如，函数再如，函数该函数在该函数在 x=1 处处不连续不连续,在定义区在定义区间间[0, 2]上虽有界上虽有界,但取不到最大值但取不到最大值和最小值和最小值.定理定理1 在闭区间上连续的函数在该区间上有界，并且在在闭区间上连续的函数在该区间上有界，并且在该区间上，它取得最大值与最小值该区间上，它取得最大值与最小值. 注：若注：若f(x0)=0，称，称x0为函数为函数 f(x) 的的零点零点.定理定理2(零点定理零点定理) 设函数设函数y=f(x)在闭区间在闭区间[a,b]上连续，上连续， 在区在区间两端点上的函数值分别间两端点上的函数值分别f(a)为和为和f(b)，且，且f(a)·f(b)<0.那么，在区间那么，在区间(a,b)内至少存在一点内至少存在一点ξ ，使得，使得f(ξ)=02．零点定理与介值．零点定理与介值定理定理 证证 要证方程要证方程f(x)=0在一个区间在一个区间上有实根相当于求函数上有实根相当于求函数f(x)在这个区间上有零点。
因此在这个区间上有零点因此利用零点定理，关键是要找利用零点定理，关键是要找到函数到函数f(x)和相应的和相应的(闭闭)区区间间.例例10 证明证明x3-x2-1=0在区间在区间(0,2)内至少有一个根．内至少有一个根． 令令f(x)=x3-x2-1 ,它在它在 [0,2]上连续上连续,且且 f(0)=-1<0, f(2)=3>0.由推论由推论2,在区间在区间(0,2)内至少存内至少存在一点在一点ξ,使得使得f(ξ)=0也就是也就是这说明方程这说明方程x3-x2-1=0在区间在区间(0,2)内至少有一个根．内至少有一个根． 讨论：讨论：方程的根与零方程的根与零点有点有关系吗？利用零点定理，关系吗？利用零点定理，我们需要做是什么？我们需要做是什么？ 函数和区间应该函数和区间应该怎么找怎么找?您有何考您有何考虑虑?证明方程证明方程有一小于有一小于2 2的正根的正根””．．即要证明函数即要证明函数f(x)=x3-x2-1有有一小于一小于2的正零点的正零点,这个闭这个闭区区间可以考虑间可以考虑[0,2]. 定理定理3 （介值定理）（介值定理） 设函数设函数y=f(x)在闭区间在闭区间[a,b]上连续，在上连续，在该区间的两端点处分别取值该区间的两端点处分别取值A,B(A≠B)，那么对，那么对A,B之间的任意之间的任意一个数一个数C，在开区间，在开区间(a,b)内至少存在一点内至少存在一点ξ，使得，使得f (ξ)=C.x x 不仅如此，如果把区间两端点改为最大最小值点，有不仅如此，如果把区间两端点改为最大最小值点，有推论与定理推论与定理3，两，两者的区别是什么者的区别是什么?推论推论 闭区间上的连续函数必取得介于闭区间上的连续函数必取得介于其最大值与最小值之间的任意一个值．其最大值与最小值之间的任意一个值．一个是取得介于一个是取得介于两端点两端点处处函数值之间的任意值函数值之间的任意值,另另一个是取得介于一个是取得介于最大值和最大值和最小值之间最小值之间的任意值的任意值. 定理定理3 （介值定理）（介值定理） 设函数设函数y=f(x)在闭区间在闭区间[a,b]上连续，在上连续，在该区间的两端点处分别取值该区间的两端点处分别取值A,B(A≠B)，那么对，那么对A,B之间的任意之间的任意一个数一个数C，在开区间，在开区间(a,b)内至少存在一点内至少存在一点ξ，使得，使得f (ξ)=C. 。