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1、第二节 线性变换与矩阵运算三年三年6 6考考 高考指数高考指数:1.1.了解矩了解矩阵与矩与矩阵的乘法的意的乘法的意义，了解矩，了解矩阵乘法不乘法不满足交足交换律、律、消去律，会消去律，会验证22矩矩阵乘法乘法满足足结合律合律. .2.2.了解逆矩了解逆矩阵的意的意义，懂得逆矩，懂得逆矩阵能能够不存在不存在. .3.3.了解逆矩了解逆矩阵的独一性和的独一性和(AB)-1=B-1A-1(AB)-1=B-1A-1等等简单性性质，了解其在，了解其在变换中的意中的意义. .4.4.了解行列式的定义，会用行列式求逆矩阵了解行列式的定义，会用行列式求逆矩阵. .5.5.能用变换与映射的观念认识解线性方程组
2、的意义，会用系数能用变换与映射的观念认识解线性方程组的意义，会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组，了解线性方程组解的存在性、独矩阵的逆矩阵解线性方程组，了解线性方程组解的存在性、独一性一性. .1.1.计算算2222矩矩阵的乘法，求的乘法，求2222矩矩阵的逆矩的逆矩阵、逆矩、逆矩阵与与线性性变换及利用逆矩及利用逆矩阵解解线性方程性方程组是高考是高考热点点. .2.2.以解答以解答题方式出方式出现. . 1.1.线性性变换的根本性的根本性质(1)(1)定理定理1:1:设 t,k t,k是是实数，那么数，那么A(tX1)=_A(tX1)=_；AX1+AX2= _AX1+AX2= _；A(tX1+kX
3、2)=_.A(tX1+kX2)=_.t(AX1)t(AX1)A(X1+X2)A(X1+X2)tAX1+kAX2tAX1+kAX2(2)(2)定理定理2 2：可逆的：可逆的线性性变换具有如下性具有如下性质将直将直线变成成_；将将线段段变成成_；将平行四将平行四边形形变成成_._.直直线线段段平行四平行四边形形2.2.复合复合变换与矩与矩阵乘法乘法(1)(1)复合复合变换：普通地，：普通地，设A A，B B是平面上的两个是平面上的两个变换，将平面上，将平面上每个点每个点P P先用先用变换A A变到到PP，再用，再用变换B B将将PP变到到PP，那么从，那么从P P到到PP也是平面上的一个也是平面上
4、的一个变换，称，称为A A，B B的复合的复合变换，也称，也称为B B与与A A的乘的乘积，记作作_._.BABA(2)(2)矩矩阵乘法法那么：乘法法那么：对恣意两个恣意两个2222矩矩阵A=A=和和B= B= ，规定它定它们的乘的乘积BA=BA=矩矩阵的乘法不的乘法不满足足_律与律与_律，律，满足足_律律. .(3)(3)变换的乘法与矩的乘法与矩阵的乘法都不的乘法都不满足足_._.交交换消去消去结合合交交换律律 纯量矩阵纯量矩阵零矩阵零矩阵单位方阵单位方阵对角阵对角阵_(4)(4)特殊矩阵特殊矩阵【即【即时运用】运用】 (1) (1)思索：矩思索：矩阵的乘法与的乘法与实数的乘法能否完全一数的
5、乘法能否完全一样？提示：不完全一提示：不完全一样. .矩矩阵的乘法与的乘法与实数的乘法相比数的乘法相比较，最重要的，最重要的差差别是，矩是，矩阵的乘法不的乘法不满足交足交换律和消去律律和消去律. .(2)(2)知梯形知梯形ABCD, ABCD, 其中其中A(0 , 0), B(3 , 0), C(1 , 2), D(2 , A(0 , 0), B(3 , 0), C(1 , 2), D(2 , 2), 2), 先将梯形作关于先将梯形作关于x x轴的反射的反射变换, , 再将所得再将所得图形形绕原点逆原点逆时针旋旋转90,90,那么延那么延续两次两次变换所所对应的的变换矩矩阵M=_,M=_,它它
6、的几何意的几何意义是是_._.【解析】由条件得【解析】由条件得 这个复合个复合变换的几何意的几何意义表示将原表示将原图形沿直形沿直线y=xy=x翻折翻折变换. .答案：答案： 表示将原表示将原图形沿直形沿直线y=xy=x翻折翻折变换(3) =_.(3) =_.【解析】【解析】 答案：答案：(4)(4)设 假假设ABABBABA，那么，那么k k的的值为_._.【解析】【解析】 由由ABABBABA，得，得k k3.3.答案：答案：3 33.3.逆逆变换与逆矩与逆矩阵(1)(1)假假设矩矩阵A A，B B满足足_,_,那么称那么称A A，B B是可逆矩是可逆矩阵，B B是是A A的的逆，逆，记为
7、B=_B=_，反，反过来来A=_.A=_.(2)(2)定理定理1 1：设A= ,A= ,记=ad-bc,=ad-bc,那么那么AA可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是_；AB=BA=EAB=BA=EA-1A-1B-1B-100当当00时，A-1= =ad-bcA-1= =ad-bc称称为矩矩阵A A的行列式，的行列式，记作作 , ,且且 =_. =_.矩矩阵A A的行列式的行列式记作作|A|A|，也，也记作作detA.detA.(3)(3)定理定理2:2:假假设_，那么，那么ABAB可逆，且可逆，且(AB)-1=_.(AB)-1=_.4.4.逆矩逆矩阵与二元一次方程与二元一次方程组记 假假
8、设A A可逆，那么方程可逆，那么方程AX=BAX=B的解的解X=_.X=_.ad-bcad-bcA,BA,B都可逆都可逆A-1BA-1BB-1A-1B-1A-1【即【即时运用】运用】根据根据变换的几何意的几何意义，矩，矩阵A= A= 的逆矩的逆矩阵为_._.【解析】矩【解析】矩阵A A表示的表示的变换是是绕原点逆原点逆时针旋旋转 ，其逆，其逆变换是是绕原点逆原点逆时针旋旋转- - ，它的矩，它的矩阵就是所求的逆矩就是所求的逆矩阵，即，即答案：答案： 矩阵乘法及其运用矩阵乘法及其运用【方法点睛】【方法点睛】关于矩阵的乘法运算留意的问题关于矩阵的乘法运算留意的问题(1)(1)矩阵的乘法要严厉按照乘
9、法法那么进展，特别留意位置的对矩阵的乘法要严厉按照乘法法那么进展，特别留意位置的对应要准确应要准确. .(2)(2)对于某一向量进展多次矩阵变换时，通常先进展矩阵乘法运对于某一向量进展多次矩阵变换时，通常先进展矩阵乘法运算，使多次变换转化为一次变换，再利用矩阵与向量的乘法运算，使多次变换转化为一次变换，再利用矩阵与向量的乘法运算求向量算求向量. . 【例【例1 1】(2021(2021江江苏高考高考) )知矩知矩阵A= A= ，向量，向量求向量求向量 ，使得，使得【解【解题指南】此指南】此题是知向量是知向量进展两次矩展两次矩阵变换A A后后, ,变为向量向量 , ,故先故先进展矩展矩阵的乘法的
10、乘法, ,得得A2,A2,再利用待定系数法求向量再利用待定系数法求向量 . .【规范解答】因【规范解答】因 故设故设 = =由由 得：得：【反思【反思感悟】感悟】1.1.解答此解答此题的关的关键是是计算算A2.A2.2.2.矩矩阵的乘法是矩的乘法是矩阵的根本运算，在解的根本运算，在解题中作中作为根底工具广泛根底工具广泛运用于矩运用于矩阵相关知相关知识中中. . 矩阵的乘法与线性变换矩阵的乘法与线性变换【方法点睛】【方法点睛】1.1.矩阵乘法与复合变换矩阵乘法与复合变换矩阵矩阵MNMN对应的变换是一个复合变换，变换的顺序是先进展右边对应的变换是一个复合变换，变换的顺序是先进展右边的矩阵的矩阵N
11、N对应的变换，再进展左边的矩阵对应的变换，再进展左边的矩阵M M对应的变换，留意变对应的变换，留意变换顺序不能颠倒换顺序不能颠倒. .2.2.矩阵的乘法在线性变换中的运用矩阵的乘法在线性变换中的运用当对曲线延续进展变换时，可以先进展矩阵的乘法运算，从而当对曲线延续进展变换时，可以先进展矩阵的乘法运算，从而简化变换过程简化变换过程. . 【例【例2 2】(2021(2021莆田模莆田模拟) )直直线l1:x=-4l1:x=-4先先经过矩矩阵A= A= 作作用，再用，再经过矩矩阵B= B= 作用，作用，变为直直线l2:2x-y=4l2:2x-y=4，求矩，求矩阵A.A.【解【解题指南】此指南】此题
12、知知变换前后的直前后的直线l1l1、l2l2，矩，矩阵B B，故可先表，故可先表示出示出BABA，再利用待定系数法列方程，再利用待定系数法列方程组求求m m，n.n.【规范解答】范解答】设C=BA= C=BA= 那么直那么直线l1l1上的点上的点(x,y)(x,y)经矩矩阵C C变换为直直线l2l2上的点上的点(x,y)(x,y)，那么，那么x=(n+4)x+(m-4)y,x=(n+4)x+(m-4)y,y=-nx+4yy=-nx+4y，代入，代入2x-y=42x-y=4，得，得(3n+8)x+(2m-12)y=4(3n+8)x+(2m-12)y=4与与l1:x=-4l1:x=-4比比较系数得
13、，系数得，m=6,n=-3,A=m=6,n=-3,A= 逆矩逆矩阵的求法及其运用的求法及其运用【方法点睛】【方法点睛】1.1.逆矩逆矩阵的求法的求法(1)(1)定定义法：利用法：利用AA-1=E,AA-1=E,待定系数法求待定系数法求A-1A-1；(2)(2)行列式法：利用公式行列式法：利用公式A-1=A-1=(3)(3)逆逆变换法：找出矩法：找出矩阵A A对应的的变换的逆的逆变换，从，从变换的角度求的角度求A-1.A-1.2.2.逆矩逆矩阵在在线性性变换中的运用中的运用逆矩逆矩阵作作为矩矩阵在在线性性变换中可以中可以对曲曲线进展展变换，而逆矩，而逆矩阵又又对应特殊的特殊的变换逆逆变换，因此留
14、意逆，因此留意逆变换在解在解题中的运用中的运用. . 【例【例3 3】 知知A= A= 求求圆x2+y2=1x2+y2=1在在(AB)-1(AB)-1变换作用下的作用下的图形形. .【解【解题指南】此指南】此题可利用几何可利用几何变换的方法来求的方法来求(AB)-1(AB)-1，再求知，再求知曲曲线经其其变换后的方程，从而判后的方程，从而判别其外形其外形. .【规范解答】根据范解答】根据题意可知，矩意可知，矩阵A A表示逆表示逆时针旋旋转6060的旋的旋转变换，矩，矩阵B B表示沿表示沿x x轴方向伸方向伸长2 2倍的伸倍的伸缩变换，从而，从而于是于是设(x,y)(x,y)为x2+y2=1x2
15、+y2=1上恣意一点上恣意一点,(x,y),(x,y)为变换后后对应的点的点, ,坐坐标变换公式公式为解得解得 ，代入方程，代入方程x2+y2=1,x2+y2=1,化化简得得4x2+y2=1,4x2+y2=1,即即 ，它是一个焦点在，它是一个焦点在y y轴上的上的椭圆. .【反思【反思感悟】从此感悟】从此题可知可知(AB)-1=B-1A-1(AB)-1=B-1A-1变换是第一步是第一步实施施A-1A-1变换，此，此为旋旋转变换，而，而圆是中心是中心对称称图形，所以曲形，所以曲线没有没有变化；化；第二步第二步实施施B-1B-1变换, , 此此为伸伸缩变换, ,即将横坐即将横坐标紧缩为原来的一原来的一半，从而半，从而变为焦点在焦点在y y轴上的上的椭圆. .
