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1、粒子滤波算法综述1 引言为解决粒子数匮乏现象和计算量制约等问题，1993年由Gordon等提出了一种新的基于SIS（sequential importance sampling，顺序重要采样）的Bootstrap非线性滤波方法, 从而奠定了粒子滤波算法的基础。粒子滤波是指：通过寻找一组在状态空间中传播的随机样本对概率密度函数 进行近似，以样本均值代替积分运算，从而获得状态最小方差估计的过程， 这些样本即称为“粒子”。采用数学语言描述如下：对于平稳的随机过程, 假定 时刻系统的后验概率密度为 ，依据一定原则选取n个随机样本点，k时刻获得测量信息后，经过状态和时间更新过程，n个粒子的后验概率密度可
2、近似为 。随着粒子数目的增加，粒子的概率密度函数逐渐逼近状态的概率密度函数，粒子滤波估计即达到了最优贝叶斯估计的效果。2 基本粒子滤波算法2.1 最优贝叶斯估计假定动态时变系统描述如下： （1） 若已知状态的初始概率密度函数为 ，则状态预测方程为： （2）状态更新方程为 （3） 其中 （4） 式（2）（4）描述了最优贝叶斯估计的基本思想，但式（2）中的积分项仅对某些动态系统获得解析解，对于非高斯线性系统，始终没较好的解决方法。2 基本粒子滤波算法2.2 SIS算法基于随机采样运算的蒙特卡罗方法可将积分运算转化为有限样本点的求和运算, 即状态概率密度分布可用如下经验概率分布近似表述: （5） 其
3、中 表示Z观测序列下x的概率密度。蒙特卡罗方法的核心是将式( 2) 中的积分问题转化为有限样本点的概率转移累加过程，但在实际中由于 可能是多变量、非标准概率分布，通常需要借助一些采样性算法。重要函数是指概率分布与 相同, 概率密度分布 已知且容易从中采样的分布函数，重要性采样需要得到k 时刻以前所有的观测数据。因此实际中多采用可实现递推估计的SIS算法。2 基本粒子滤波算法2.2 SIS算法若将重要性函数写成如下连乘积形式： （6）并假设状态符合马尔科夫过程，在给定状态下， 观测量条件独立, 则权值递推公式为 （7）利用重采样方法可得N个随机样本点 ，则概率密度函数可表示为 （8）更新概率密度
4、函数为 （9） 其中 （10）样本点 可由k-1时刻的样本点 通过式（1）获得。2 基本粒子滤波算法2.2 SIS算法SIS方法的实现步骤如下：1）从 中随机抽取n个有限样本；2）逐点计算对应的 和 ；3）利用式（10）计算对应样本的重要性权系数；4）对权进行归一化处理，即 （11） 5）利用式（9）对 进行估计。3 粒子滤波算法存在的主要问题对于SIS算法而言， 粒子数匮乏是其主要缺陷。粒子数匮乏是指随着迭代次数增加, 粒子丧失多样性的现象。降低该现象影响的最有效方法：选择重要性函数采用重采样方法3.1 重要性函数选择选取重要性函数的准则是使重要性权重的方差最小。Liu 等证明了最优重要性函
5、数为但采用最优重要性函数需要从 采样并计算积分。从应用角度看，多数重要性函数都采用次优算法容易实现的。次优算法为 。3 粒子滤波算法存在的主要问题3.2 重采样重采样算法是降低粒子匮乏现象的另一种方法，其思想是通过对粒子和相应权表示的概率密度函数重新采样，加权值较大的粒子数。最常用的重采样方法是随机采样方法。随机采样的过程是：首先产生n个在 0,1 上均匀分布的随机 ，然后通过搜索算法找到满足以下条件的整数m，使得 （12）记录样本 ，并将其作为新样本集中的采样，将区间 0, 1 按 分成 n个小区间，当随机数 落在第m个区间 时，对应样本 进行复制。 在采样总数仍保持为n的情况下，权值较大的
6、样本被多次复制，从而实现重采样过程。显然，重采样过程是以牺牲计算量和鲁棒性来降低粒子数匮乏现象。3 粒子滤波算法存在的主要问题4 粒子滤波算法改进为解决粒子滤波的粒子数匮乏，出现了许多针,对状态空间模型的改进算法，如辅助变量粒子滤波算法、局部线性化方法、拒绝采样方法等。在这里我们主要介绍如下采样方法：辅助采样-重采样方法规则化采样方法自适应粒子滤波算法其中辅助变量i表示k-1时刻采样粒子的索引。重要性权值 为 （14） 优点：采样过程较小时，采样粒子可获得比标准粒子滤波更高的滤波精度缺点：过程较大时，滤波效果不如标准粒子滤波算法4 粒子滤波算法改进4.1 辅助采样-重采样方法辅助采样-重采样粒
7、子滤波的实现方法是: 选择重要性函数, 满足 （13）4.2 规则化采样方法在重采样过程中，标准粒子滤波算法采用离散形式计算 ，规则化方法则采用连续形式计算 ： （15）其中K（）和h分别是满足 MISE（ ）= （16）的核密度函数和核带宽系数。优点：规则化采样方法可有效缓解重采样过程造成的粒子多样性匮乏问题，在过程噪声较小时可获得较好的滤波精度缺点：不能保证样本粒子都近似表示状态后验概率，且对非高斯情况核函数和核带宽系数不能达到最优，它只是一种次优滤波方法 4 粒子滤波算法改进4.3 自适应粒子滤波算法自适应粒子滤波算法可有效解决粒子滤波的计算量问题，其基本思想是基本思想是在估计过程中采样
8、粒子数不在保持固定值，而是根据滤波性能动态改变。其核心步骤：引入Kullback-Leibler 距离描述粒子滤波的近似误差，K-L距离表示不同概率分布p和q的差异，即 （17）自适应粒子滤波算法通过不断计算粒子滤波，得到估计后验概率密度与真实后验概率密度的K-L距离，确定粒子滤波性能的高低。当概率密度集中在状态空间中的某部分时， 可采用较少的粒子数，而概率密度分散在状态空间中的绝大部分时， 需采用较多的粒子数，这也符合贝叶斯估计的思想。4 粒子滤波算法改进5 与其他非线性滤波方法的比较随着粒子滤波方法在许多领域中的成功应用,研究人员认为在解决所有状态估计的滤波问题时，获得滤波性能最好的方法就
9、是粒子滤波算法，它甚至优于卡尔曼滤波方法。实际上，粒子滤波作为处理非线性系统状态估计问题的方法之一，也存在着算法适应性和估计精度问题。5.1 扩展卡尔曼滤波扩展卡尔曼滤波( EKF) 方法作的思想是将非线性函数在估计点附近进行泰勒级数展开该方法有两个弱点: 1）未考虑误差的分布情况；2）认为状态误差可通过一个独立的线性系统产生。5 与其他非线性滤波方法的比较5.2 Unscented卡尔曼滤波Unscented卡尔曼滤波(UKF) 算法的核心思想是变换(UT) 。扩展卡尔曼滤波算法是通过线性化方法来逼近非线性状态状态方程和测量方程。UT 方法认为状态的概率密度分布， 可通过能完全表述密度函数的
10、均值和方差有限个样本点来描述, 通过直接使用状态或测量的非线性方程映射这些样本点, 加权求和得到更新的均值和方差。若将非线性方程采用泰勒级数展开式表示，可看出 UKF 方法将精确到与三阶泰勒级数展开式相当的均值和方差。采用UKF可得到比EKF更好的滤波性能。5 与其他非线性滤波方法的比较5.3 EKF，UKF，PF3种算法的比较EKF和UKF都是针对非线性系统的线性卡尔曼滤波方法的变形和改进形式，因此受到线性卡尔曼滤波算法的条件制约, 即系统状态应满足高斯分布。表1给出了不同状态方程和观测方程的概率分布特性时的不同滤波方法表1 各种滤波算法的适应性范围5 与其他非线性滤波方法的比较状态方程观测
11、方程线性高斯线性非高斯非线性高斯非线性非高斯线性高斯KFPFEKF/UKF/PFPF线性非高斯PFPFPFPF非线性高斯EKF/UKF/PFPFEKF/UKF/PFPF非线性非高斯PFPFPFPF5.3 EKF，UKF，PF3种算法的比较由贝叶斯估计方法看出，卡尔曼滤波方法是线性高斯系统的最优滤波器，而粒子滤波作为采样贝叶斯估计算法，只是随着采样粒子数的不断增大，逐渐趋向状态的后验概率密度。粒子滤波算法与其他非线性滤波方法一样，也是一种次优的滤波方法。粒子滤波在解决非高斯分布系统时具有明显的优势。5 与其他非线性滤波方法的比较6粒子滤波的应用粒子滤波的应用有以下几方面：1）机动目标跟踪2）金融领域数据分析3）计算机视觉4）状态监视与故障诊断7 展望与结论由于粒子滤波是近年来出现的新算法, 算法本身还不很成熟, 仍有大量的问题亟待解决, 主要体现在以下几个方面:1）重要性函数的选取直接影响粒子滤波性能的高低2）计算量的扩张随着粒子数的增加而成级数增加,对有实时性要求的系统3）从粒子滤波的数学基础上看, 粒子滤波的收敛性尚未解决4）多种非线性滤波方法的结合5）粒子滤波算法的硬件实现6）拓展粒子滤波新的应用领域
