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1、12.1 平稳平稳随机过程的概念随机过程的概念 在实际中在实际中, , 有相当多的随机过程有相当多的随机过程, , 不仅它现在的状态不仅它现在的状态, , 而且它过去的状态而且它过去的状态, , 都对未来状态的发生有着很强的影响都对未来状态的发生有着很强的影响. . 有这样一类随机过程有这样一类随机过程, , 即所谓即所谓平稳过程平稳过程, , 它的特点是它的特点是: : 过程的统计特征不随时间过程的统计特征不随时间的推移而变化的推移而变化. .严格地说严格地说, ,有下面的定义有下面的定义. .1平稳平稳随机过程的定义随机过程的定义n定义定义1 设设X(t), t T 是是随机过程，如果对任
2、随机过程，如果对任意常数意常数 h 和正整数和正整数 n， t1, t2, tn T, t1+h, t2 +h,tn+h T， 若若(X(t1), X(t2), X(tn)与与 (X(t1+h), X(t2 +h), X(tn+h) (1.1) 有相同的分布函数，则称有相同的分布函数，则称X(t)，t T 为为平稳平稳随机过程随机过程，或简称，或简称平稳过程平稳过程.2n在实际问题中在实际问题中, 确定过程的分布函数确定过程的分布函数, 并并用它来判定其平稳性用它来判定其平稳性,一般是很难办到的一般是很难办到的. 但是但是, 对于一个被研究的随机过程对于一个被研究的随机过程, 如果如果前后的环
3、境和主要条件不随时间的推移前后的环境和主要条件不随时间的推移而变化而变化, 则一般就可以认为是平稳的则一般就可以认为是平稳的.n恒温条件下的热噪声电压过程恒温条件下的热噪声电压过程;n强震阶段的地震波幅强震阶段的地震波幅;n船舶的颠簸过程船舶的颠簸过程;n照明电网中电压的波动过程照明电网中电压的波动过程;n各种噪声和干扰等等各种噪声和干扰等等.3n平稳过程数字特征的特点平稳过程数字特征的特点.n设平稳过程设平稳过程X(t)的均值函数的均值函数EX(t)存在存在. 对对n=1, 在在(1.1)式中式中, 令令h= - - t1 , 由平稳性由平稳性定义定义, X(t1)和和X(0) 同分布同分布
4、. 于是于是 EX(t) = EX(0), 记为记为n同样同样, X(t)的均方值函数和方差函数亦为的均方值函数和方差函数亦为常数常数, 分别记为分别记为 和和n依照图依照图10-4的意义的意义, 可以知道可以知道,平稳过程的平稳过程的所有样本曲线都在水平直线所有样本曲线都在水平直线 上下上下波动波动, 平均偏离度为平均偏离度为4n又若平稳过程又若平稳过程X(t)的自相关函数的自相关函数 RX(t1, t2 ) = EX(t1) X(t2) 存在存在. 对对n = 2, 在在(1.1)式中式中, 令令h= - - t1 , 由由平稳性定义平稳性定义, (X(t1), X(t2)与与(X(0),
5、 X(t2 - - t1) 同分布同分布. 于是于是 RX(t1, t2 ) = EX(t1)X(t2) = EX(0)X(t2 - - t1). 记为记为 RX(t1, t2 ) = RX(t2 - - t1) 或或 RX(t, t + ) = EX(t)X(t + ) = RX( ) .n这表明这表明:平稳过程的自相关函数是时间差平稳过程的自相关函数是时间差t2 - - t1 = 的单变量函数的单变量函数. 5n由第十章由第十章(2.7)式式, 协方差函数协方差函数: CX(t1, t2 ) = EX(t1) - - X(t1)X(t2) - - X(t2) = RX(t1, t2 ) -
6、 - X(t1)X(t2). 那么那么, 协方差函数可以表示为协方差函数可以表示为: CX( ) = EX(t) - - XX(t + + ) - - X = RX( ) - - X 特别地特别地, 令令 =0,=0,由上式由上式, ,有有6n定义定义2 给定给定二阶矩过程二阶矩过程X(t), t T , 如果如果 对任意对任意 t, t + + T EX(t) = X (常数常数), EX(t) X(t + ) = RX( ), 则称则称X(t), t T 为为宽平稳过程宽平稳过程, 也称也称广义平稳广义平稳过程过程. 简称简称平稳过程平稳过程. 相对地相对地, 前述按分布函数定义的平稳过程
7、称为前述按分布函数定义的平稳过程称为 严平稳过程严平稳过程或或狭义平稳过程狭义平稳过程. 一个严平稳过程只要二阶矩存在一个严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也则它必定也是宽平稳过程是宽平稳过程. 但反过来但反过来, 一般是不成立的一般是不成立的. 特例特例: 一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳. 泊松过程和维纳过程是非平稳过程泊松过程和维纳过程是非平稳过程. 7n若若T为离散集为离散集, 称称平稳过程平稳过程X(t), t T 为为平稳序列平稳序列.n广义平稳过程广义平稳过程 严平稳过程严平稳过程n严平稳过程严平稳过程 广义平稳过程广义平稳过程n严平稳过程严
8、平稳过程 广义平稳过程广义平稳过程正态过程正态过程二阶矩存在二阶矩存在8n例例1 设设Xk , k = 1,2,是互不相关的随机变量是互不相关的随机变量序列序列, EXk = 0, EXk = , 则有则有n 即相关函数只与即相关函数只与k- -l有关有关, 所以它是宽平稳的随所以它是宽平稳的随机序列机序列. 如果如果X1 , X2 , Xk ,又是独立同分布的又是独立同分布的, 则易证序列也是严平稳的则易证序列也是严平稳的.9n例例2 设设s(t)是一周期为是一周期为T的函数的函数, 是在是在(0,T)上上服从均匀分布的服从均匀分布的随机变量随机变量, 称称X(t) = s(t + )为为随
9、机相位周期过程随机相位周期过程. 试讨论它的平稳性试讨论它的平稳性.n解解 由假设由假设, 的概率密度为的概率密度为n于是于是, X(t)的均值函数为的均值函数为 10n利用利用s()的周期性的周期性, 可知可知n而自相关函数而自相关函数 11n同样同样, 利用利用s() s( + )的周期性的周期性, 可知自可知自相关函数相关函数 仅与仅与有关有关, 即即n所以所以, 随机相位周期过程是平稳的随机相位周期过程是平稳的. 特别特别,随机相位正弦波是平稳的随机相位正弦波是平稳的.(第十章第十章2例例2).12n例例3 X(t) =Ycos( t)+Zsin( t), t 0, Y, Z相互独立相
10、互独立, E(Y) = E(Z) = 0, D(Y) =D(Z) = 2.讨论随机过程讨论随机过程X(t), t 0的平稳性的平稳性.解解 13 所以所以X(t), t T 为宽平稳过程为宽平稳过程. .14n例例4 设设 Xn, n = 0, 1, 2, 是实的互不是实的互不相关随机变量序列，且相关随机变量序列，且E(Xn)=0，D(Xn) = 2 . 讨论随机序列的平稳性讨论随机序列的平稳性. 解解 因为因为E(Xn) = 0， 所以所以, Xn, n = 0, 1, 2,是平稳随机序是平稳随机序列列.15n例例5 设状态连续、时间离散的随机过程设状态连续、时间离散的随机过程X(t) =
11、sin(2 t), 其中其中是是(0, 1)上的均上的均匀分布随机变量匀分布随机变量, t 只取整数值只取整数值1, 2, ，讨论随机过程讨论随机过程 X(t) 的平稳性的平稳性. 解解16 所以所以X(t)是平稳过程是平稳过程. .17联合平稳联合平稳随机过程随机过程n定义定义3 设设X(t), t T 和和Y(t), t T 是两是两个平稳个平稳过程，如果它们的互相关函数过程，如果它们的互相关函数EX(t)Y(t + ) 和和EY(t)X(t + )仅与仅与 有有关关, 而与而与 t 无关，则称无关，则称X(t)和和Y(t)是是平稳相平稳相关关的的, 或称这两个过程是或称这两个过程是联合联
12、合(宽宽)平稳平稳的的. RXY(t, t + ) = EX(t)Y(t + ) = RXY( ), RYX(t, t + ) = EY(t)X(t + ) = RYX( ). 当当X(t)和和Y(t)是联合平稳随机过程时是联合平稳随机过程时, W(t) = X(t) +Y(t)是平稳随机过程是平稳随机过程.18n事实上事实上, EW(t)= EX(t) + EY(t) = 常数常数.19n例例6 设设X(t)=Asin( t+)， Y(t)=Bsin( t + - - )为两个平稳过程，为两个平稳过程，其中其中A, B, 是常数是常数, 是是(0, 2 )上的均匀上的均匀分布随机变量分布随机
13、变量, 证明证明X(t)和和Y(t)是联合平稳是联合平稳随机过程随机过程. 解解2021所以所以X(t)和和Y(t)是联合平稳随机过程是联合平稳随机过程.2212.2 各态历经性各态历经性n本节主要讨论本节主要讨论,根据实验记录确定平稳过程根据实验记录确定平稳过程的均值和自相关函数的理论依据和方法的均值和自相关函数的理论依据和方法.n按照数学期望的定义来计算平稳过程按照数学期望的定义来计算平稳过程X(t)的数字特征的数字特征, 不易办到不易办到.n若用统计实验的方法作近似计算若用统计实验的方法作近似计算:n需要对一个平稳过程重复进行大量观测需要对一个平稳过程重复进行大量观测.23n随机过程积分
14、的概念随机过程积分的概念n给定二阶矩过程给定二阶矩过程X(t), t T , 如果如果X(t), t T 它的每一个样本函数在它的每一个样本函数在a, b上的积上的积分都存在分都存在, 则说随机过程则说随机过程X(t)在在a, b上的上的积分存在积分存在, 并记为并记为n显然显然, Y是一随机变量是一随机变量.n在某些情况下在某些情况下, 对于随机过程的所有样本对于随机过程的所有样本函数来说函数来说, 在在a, b上的积分未必全都存在上的积分未必全都存在. 此时此时, 引入所谓均方意义下的积分引入所谓均方意义下的积分.24n均方意义下的积分均方意义下的积分n考虑考虑a, b内的一组分点内的一组
15、分点: 的随机变量的随机变量Y存在存在, 则称则称Y为为X(t)在在a, b上上的均方积分的均方积分, 并记为并记为25n可以证明可以证明: 二阶矩过程二阶矩过程X(t)在在a, b上均方积分存在的上均方积分存在的充分条件是相关函数的二重积分充分条件是相关函数的二重积分 存在存在. 而且此时还成立有而且此时还成立有n就是说就是说,过程过程X(t)的积分的均值等于过程的的积分的均值等于过程的均值函数的积分均值函数的积分.26n定义定义1 1 设设X(t), t T是均方连续的平稳过是均方连续的平稳过程，则程，则时间均值时间均值: : 时间相关函数时间相关函数: : 可以沿用高等数学中的方法求积分
16、和求可以沿用高等数学中的方法求积分和求极限极限, , 其结果一般来说是随机的其结果一般来说是随机的. . 时间均值和时间相关函数时间均值和时间相关函数27n例例1 1 计算随机相位正弦波计算随机相位正弦波X(t) = acos(t+)的的时间平均时间平均 和和 . n解解28n将例将例1 1的结果与第十章的结果与第十章2例例2算得的结果比算得的结果比较较, 可知可知 X = E X(t) = , RX () = E X(t)X(t+) = . . n这表明这表明: 对于随机相位正弦波对于随机相位正弦波, 用时间平均用时间平均和集中平均分别算的均值和自相关函数是和集中平均分别算的均值和自相关函数
17、是相等的相等的. 这一特征并不是随机相位正弦波这一特征并不是随机相位正弦波所独有的所独有的. 下面引入一般概念下面引入一般概念.29 定义定义2 2 设设X(t), t T是是一平稳过程，一平稳过程，n11如果如果 = E X(t) = X 以概率以概率1 1成立成立, ,则称过程则称过程X(t)的的均值具有各态历经性均值具有各态历经性.n22如果对任意实数如果对任意实数, = E X(t)X(t+) = RX () 以概率以概率1 1成立成立, ,则称过程则称过程X(t)的的自相关函数具有各态自相关函数具有各态历经性历经性. 特别当特别当 = 0 时时, 称称均方值具有各态历经性均方值具有各
18、态历经性.n33如果如果X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性的均值和自相关函数都具有各态历经性, 则称则称X(t)是是(宽宽)各态历经过程各态历经过程, 或者说或者说X(t)是各态历是各态历经的经的. 30例例2 讨论讨论随机过程随机过程 X(t) = Y 的的各态历经性各态历经性, 其中其中Y 是方差不为零的随机变量是方差不为零的随机变量.解解 X(t) = Y 是平稳过程是平稳过程, EX(t)=EY=常数常数31 32n定理一定理一 （均值各态历经定理）均值各态历经定理）平稳过平稳过程程 X(t) 的均值具有各态历经性的充要条的均值具有各态历经性的充要条件是件是33n推论推论 在在
19、 存在的条件下存在的条件下, 若若 则则(2.1)式成立式成立, 均值具有均值具有各态历经性各态历经性; 若若 则则(2.1)式式不成立不成立, 均值不具有各态历经性均值不具有各态历经性. 注意注意 对例对例1中的随机相位正弦波而言中的随机相位正弦波而言, 不存在不存在, 但它的均值是各态历经的但它的均值是各态历经的.34n定理二定理二 ( (自相关函数各态历经定理自相关函数各态历经定理）平稳过程平稳过程 X(t) 的自相关函数的自相关函数RX ()具有各态历经的充要条件具有各态历经的充要条件是是 其中其中n在在(2.2)式中令式中令 = 0, 就可得到均方值具有各态历就可得到均方值具有各态历
20、经的充要条件经的充要条件.n如若在定理二中以如若在定理二中以X(t)Y(t+ )代替代替 X(t)X(t+ ), RX ()代替代替RX Y()来进行讨论来进行讨论, 那么还可以相应地得到那么还可以相应地得到互相关函数的各态历经定理互相关函数的各态历经定理.35n在实际应用中通常只考虑定义在在实际应用中通常只考虑定义在0 t + 上上的平稳过程的平稳过程. 此时上面的所有时间平均都以此时上面的所有时间平均都以0 t + 上的时间平均来代替上的时间平均来代替. 而而相应的各态历经相应的各态历经定理可以表示为下述的形式定理可以表示为下述的形式:n定理三定理三 36n定理四定理四 37n各态历经定理
21、的重要价值在于它从理论上给出各态历经定理的重要价值在于它从理论上给出了如下保证了如下保证: 一个平稳过程一个平稳过程 X(t), 若若0 t + , 只要它满足条件只要它满足条件(2.1)和和(2.2), 便可以根据便可以根据“以以概率概率1成立成立”的含义的含义, 从一次试验所得到的样本从一次试验所得到的样本函数函数x(t)来确定出该过程的均值和自相关函数来确定出该过程的均值和自相关函数, 即即38n如果记录数据如果记录数据 x(t) 只在时间区间只在时间区间0, T上给出上给出, 则相应于则相应于(2.3)和和(2.4)式式, 有以下无偏估计式有以下无偏估计式:39n在实际中一般不可能给出
22、在实际中一般不可能给出x(t)的表达式的表达式, 因此通因此通常通过模拟方法或数字方法来测量或计算估计常通过模拟方法或数字方法来测量或计算估计式式(2.5)和和(2.6).n1 模拟自相关分析仪模拟自相关分析仪. 这种仪器的功能是当输这种仪器的功能是当输入样本函数入样本函数x(t)时时, X-Y记录仪自动描绘出自相记录仪自动描绘出自相关函数的曲线关函数的曲线. 它的方框图如下图所示它的方框图如下图所示.40n2 数字方法数字方法 如下图如下图, 把把0, T等分为等分为N个长为个长为n 的小区间的小区间, 然后在时刻然后在时刻 对对x(t)取样取样, 得得N个函数值个函数值xk = x(tk)
23、, k = 1,2,N. 把积分把积分(2.5)近似表示为基本区间近似表示为基本区间t上的和上的和, 就有就有无偏估计无偏估计:41n相应于相应于(2.6)式式, 我们可以写出在我们可以写出在r= rt时时, 自相自相关函数的无偏估计关函数的无偏估计: 由这个估计式算出自相关函数的一系列近似值由这个估计式算出自相关函数的一系列近似值, 从而拟合出自相关函数的近似图形从而拟合出自相关函数的近似图形.4212.3 相关函数的性质相关函数的性质 n假设假设X(t)和和Y(t)是平稳过程是平稳过程, RX (), RY ()和和RXY ()分别是它们的自相关函数和互相关函数分别是它们的自相关函数和互相
24、关函数.n1 因为因为 RX () = EX(t) X(t + ) n2 RX (- -) = RX (), 即即RX (- -)是是 的偶函数的偶函数. 而而互相关函数既不是奇函数互相关函数既不是奇函数, 也不是偶函数也不是偶函数, 但但满足满足 RXY (- -) = RYX () 43n3 关于自相关函数和自协方差函数有不等式关于自相关函数和自协方差函数有不等式: |RX ()| RX (0) 和和 |CX ()| CX (0) = X n此不等式表明此不等式表明: 自相关自相关 (自协方差自协方差) 函数在函数在 = 0处处取到最大值取到最大值.n类似地类似地, 可以得到可以得到: |
25、RXY ()| RX (0)RY (0) 和和 |CXY ()| CX (0)CY (0)n标准自协方差函数和标准互协方差函数标准自协方差函数和标准互协方差函数:44n4 RX ()是非负定的是非负定的, 即对任意即对任意t1 , t2 , , tn T和和任意实值函数任意实值函数g(t), 都有都有n事实上事实上, 根据自相关函数的定义和运算性质根据自相关函数的定义和运算性质, 有有45n5 如果平稳过程如果平稳过程X(t)满足满足 PX(t+T0) = X(t) = 1, 则称它为周期则称它为周期 T0 的平稳过程的平稳过程. 周期平稳过程的周期平稳过程的自相关函数必是周期函数自相关函数必
26、是周期函数, 且其周期也是且其周期也是T0.n事实上事实上, 由平稳性由平稳性, EX(t) X(t+T0) = 0. 又根又根据第四章据第四章2方差的性质方差的性质, 条件条件 PX(t+T0) = X(t) = 1 与与 EX(t+T0) X(t) = 0 等价等价. 于是于是, 由柯由柯西施瓦兹不等式西施瓦兹不等式, 得得 EX(t)(X(t + T0) X(t + ) EX(t)EX(t + T0) X(t +) 右端为零右端为零, 推知推知 EX(t)X(t + T0) X(t +) = 0. 展开即得展开即得 RX(+ T0) = RX().46n一个应用例子一个应用例子.n设某接
27、受机的电压设某接受机的电压 V(t) 是周期信号是周期信号 S(t) 和和噪声噪声电压电压 N(t) 之和之和, 即即 V(t) = S(t) + N(t) .n又又设设 S(t) 和和 N(t) 是是互不相关的各态历经过程互不相关的各态历经过程, 且且 EN(t) = 0. 根据第十章根据第十章(2.12)式式, V(t) 的自的自相关函数应为相关函数应为 RV() = RS() + RN().n由由性质性质5, RS()是周期函数是周期函数, 又因为一般又因为一般噪声噪声电压当电压当 | | 值适当增大时值适当增大时, X(t + ) 和和 X(t)呈现呈现独立或不相关独立或不相关, 即有
28、即有 于是于是, 对于对于充分大的充分大的 值值, 我们有我们有47n如果现在将如果现在将V(t)作为自相关分析仪作为自相关分析仪(如下图如下图)的输的输入入, 则对于充分大的则对于充分大的 值值, 分析仪记录到的是分析仪记录到的是周期函数周期函数RS() 的的曲线曲线. 如果只有噪声而无信如果只有噪声而无信号号, 则对充分大的则对充分大的 值值,分析仪记录到的是分析仪记录到的是 所以从分析仪记录到的曲线有无明显的周期成所以从分析仪记录到的曲线有无明显的周期成分就可以判断接收机的输出有无周期信号分就可以判断接收机的输出有无周期信号. 这这种探查信号的方法称为种探查信号的方法称为相关接收法相关接收法.48n例如例如, 特别假设接受机输出电压中的信号和噪特别假设接受机输出电压中的信号和噪声过程的自相关函数分别为声过程的自相关函数分别为n且噪声平均功率且噪声平均功率(见下节见下节) RN(0) = b 远大于信远大于信号平均功率号平均功率 RS(0) = a/2. 此时此时, 依关系式依关系式n可知可知, 自相关分析仪记录到的自相关分析仪记录到的 RV() 的的图形当图形当 充分大后呈现正弦曲线充分大后呈现正弦曲线, 亦即从强噪声中检测亦即从强噪声中检测到微弱的正弦信号到微弱的正弦信号. 如图如图.4950
