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1、第第 3 章章 力学量用算符表达力学量用算符表达1 1 算符的运算规则算符的运算规则算符的运算规则算符的运算规则(a) 线性算符：线性算符：单位算符单位算符I：算符相等：算符相等：(b) 算符之和算符之和: ( c ) 算符之积：算符之积： (d)对易子对易子Note: 一般来说，算符之积不满足交换律一般来说，算符之积不满足交换律对对易易子子的的性性质质2.基本対易关系基本対易关系Levi-Civita 符号符号几个重要公式几个重要公式(1) Baker-Hausdoff公式公式算符算符A,B 不对易，不对易，A,B=C，但，但C,A=C,B=0若若A,B对易，则对易，则（2）设）设A,B是两
2、个不对易的算符，是两个不对易的算符，是参数，则是参数，则(3)设设F(x,p)是是x,p的整函数，则的整函数，则(1)逆算符：逆算符：设设能唯一地解出能唯一地解出，则可定义算符，则可定义算符A的逆算符的逆算符A-1为为说明：说明： (1) 并非所有算符都有逆算符，如投影算符并非所有算符都有逆算符，如投影算符(2) 若算符若算符A有逆，则有有逆，则有(3) 若算符若算符A,B的逆均存在，则有的逆均存在，则有3. 算符的变换算符的变换(2) 转置算符：转置算符： 算符算符A的转置定义为的转置定义为或或例如：例如：(3)复共轭算符和厄米共轭算符复共轭算符和厄米共轭算符算符算符A 的复共轭算符的复共轭
3、算符A* *定义为定义为通常算符通常算符A的复共轭算符的复共轭算符A* 按如下方法求解：按如下方法求解： 把算符把算符A中的中的所有量都换成其复共轭。所有量都换成其复共轭。算符算符A 的的厄米共轭算符厄米共轭算符A+ +定义为定义为性质：性质：(4) 厄米算符厄米算符（自共轭算符（自共轭算符)定理定理1：在体系的任何状态下，厄米算符的平均值必为实数。在体系的任何状态下，厄米算符的平均值必为实数。逆定理：逆定理：在体系的任何状态下，平均值为实数的算符是厄米算符在体系的任何状态下，平均值为实数的算符是厄米算符厄米算符的性质厄米算符的性质定理定理2 厄米算符的本征值必为实数厄米算符的本征值必为实数定
4、理定理3 厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交定理定理4 在一定条件下厄米算符的本征函数具有完备性在一定条件下厄米算符的本征函数具有完备性(5) 算符的函数算符的函数若函数若函数F(x)的各阶导数存在，幂级数展开收敛的各阶导数存在，幂级数展开收敛则可定义算符则可定义算符A的函数的函数F(A)为为如如则则平移算符平移算符标标积积的的性性质质思考题思考题1 若两个厄米算符有共同的本征态，是否它们就彼此对易？若两个厄米算符有共同的本征态，是否它们就彼此对易？ （不一定）（不一定）思考题思考题2 若两个厄米算符不对易，是否就一定没有共同本征态？若两个厄米
5、算符不对易，是否就一定没有共同本征态？ （不一定）（不一定）思考题思考题3 若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有 确定的值确定的值？（不是）？（不是）4 不确定性关系不确定性关系或或思考题思考题4 若若A,B=常数，常数，A和和B能否有共同本征态？（有能否有共同本征态？（有 or没有）没有）思考题思考题5 角动量分量角动量分量思考题思考题6 px和和y可否有共同本征态？（可以）可否有共同本征态？（可以）lx, ly能否有共同的本征态能否有共同的本征态?（可以）（可以）5 (l2,lz)的共同本征函数，球谐函数的共同本征函数，球谐函数在
6、球坐标下，有在球坐标下，有l称为称为轨道角量子数，轨道角量子数， m称为称为轨道磁量子数。轨道磁量子数。对给定的对给定的l，角动量的平方是（，角动量的平方是（2l+1）重简并的，）重简并的，lz是非简并的是非简并的宇称宇称 函数函数定义定义性质性质 函数的函数的FourierFourier展开展开几个证明几个证明(1)证明：证明：(2)证明：证明：(3)证明：证明：例题例题 1 设算符设算符A满足满足A2=1，证明，证明其中其中为实常数为实常数证明：证明：例题例题2 证明空间反演算符证明空间反演算符P是厄米算符是厄米算符证明：任取波函数证明：任取波函数例题例题3 证明平移算符证明平移算符是幺正
7、算符是幺正算符则则则则例题例题4 平面转子的能量本征值与本征态平面转子的能量本征值与本征态解：解： 平面转子的哈密顿为平面转子的哈密顿为能量本征方程能量本征方程归一化的解为归一化的解为能量本征值为能量本征值为显然，除了显然，除了m = 0外，对应一个本征值外，对应一个本征值Em，有两个本征态，有两个本征态，能级二重简并。能级二重简并。例题例题5 求空间转子的本征态与本征值求空间转子的本征态与本征值例题例题6. 已知两力学量算符已知两力学量算符F和和G的对易子的对易子这意味着这意味着(1)F和和G必定是常数；必定是常数； (2)F和和G的本征值必定相同的本征值必定相同(3)F和和G的本征值必定不
8、同；的本征值必定不同；(4)F和和G有共同本征函数有共同本征函数例题例题7. 设厄米算符设厄米算符A在任意态在任意态下的平均值为零，则下的平均值为零，则A为零算符，即为零算符，即证明：证明：在态在态下的平均值也为零，即下的平均值也为零，即即即所以所以例题例题8. 若若A, B是厄米算符，是厄米算符，F=A+iB，则在什么条件下，则在什么条件下F2也是厄米的也是厄米的解：解： 要使要使则必有则必有或写成或写成即即A,B是反对易的是反对易的例题例题9 某波色子得一对互共轭算符某波色子得一对互共轭算符a，a+,满足对易关系满足对易关系a,a+=1. 已知存在某幺正变换使得已知存在某幺正变换使得若若c
9、,c+仍为一对互为共轭的波色型算符（满足波色型对易关系）仍为一对互为共轭的波色型算符（满足波色型对易关系）问四个复系数间应满足什么关系问四个复系数间应满足什么关系解：解：波色型对易关系波色型对易关系费米型对易关系费米型对易关系例题10. 证明： (1)是厄米算符(2)是厄米算符下列算符中哪个算符是厄米的例题例题1111 一维空间反射算符一维空间反射算符B定义为定义为(1)证明证明其中其中为态矢为态矢在动量表象中的表示在动量表象中的表示 (2)(2)某一维系统某一维系统 通过计算找出通过计算找出B,H=0时时V(x)满足的关系满足的关系证明证明： (1)(2)对任意波函数对任意波函数有有由由B,
10、H=0得：得：即即由由的任意性得的任意性得例题例题12 设设为氢原子束缚态能量本征函数为氢原子束缚态能量本征函数( (已归一已归一) )，考虑自旋后，某态表示为，考虑自旋后，某态表示为。在该态下计算。在该态下计算(1)在薄球壳在薄球壳(r,r+dr)内找到粒子的概率。内找到粒子的概率。(2)在薄球壳在薄球壳(r,r+dr)内找到粒子且自旋沿内找到粒子且自旋沿+x的概率的概率(3)j =L+s为总角动量，计算为总角动量，计算jz在该态下的平均值。在该态下的平均值。解：解： (1)(2) Sx的两个本征态为的两个本征态为(3)波函数波函数可写为可写为则则例题例题13 设设是一个小量，算符是一个小量
11、，算符A的逆算符的逆算符A-1存在，证明存在，证明证明：证明：则则例题例题14 给定算符给定算符A和和B，令，令C0=B,C1=A,B,C2=A,C115. 一维情况下，宇称算符一维情况下，宇称算符P的定义为的定义为试证明：试证明： (a) P是厄米算符；是厄米算符； (b)P的本征值为的本征值为+1和和-1 P的属于的属于+1和和-1的本征函数的本征函数+、-正交正交 (d) P是幺正算符是幺正算符证明证明： (a)(B) 令令则则所以所以( c )上述第二式两边取复共轭，并右乘上述第二式两边取复共轭，并右乘+(x)，在全空间积分，在全空间积分利用利用P的厄米性可得的厄米性可得所以所以即即(
12、d)因为因为则则16. 两个质量为两个质量为m的粒子固定在一根长为的粒子固定在一根长为a的轻质刚性杆两端，整个的轻质刚性杆两端，整个刚性杆可绕中心自由转动（中心固定）。刚性杆可绕中心自由转动（中心固定）。(1)证明刚性转子的能级为证明刚性转子的能级为(2) 求该系统归一化的本征函数，并计算第求该系统归一化的本征函数，并计算第n个能级的简并度个能级的简并度解：解： (1)系统的哈密顿为系统的哈密顿为因此刚性转子的能级是因此刚性转子的能级是(2)归一化的本征函数是归一化的本征函数是简并度为简并度为17. 一个系统处于用轨道角动量一个系统处于用轨道角动量描述的状态，其中描述的状态，其中Y00,Y11
13、是角动量的平方与其是角动量的平方与其z分量的共同分量的共同本征函数，本征函数，b是常数。求在此态下测量角动量是常数。求在此态下测量角动量x分量的可能值分量的可能值和相应概率。和相应概率。解：解：体系处于体系处于Y00态的概率是态的概率是 在在Y00态，总角动量平方为零，因此态，总角动量平方为零，因此Lx也为零（本征态）也为零（本征态）体系处于体系处于Y11态的概率是态的概率是 在在Y11态态Lx的可能取值是的可能取值是,0,-,0,-, , 设取这三个值的概率分别设取这三个值的概率分别是是a1, , a0, , a-1-1。则由归一性知。则由归一性知由于由于Y11是是Lz的本征态，则的本征态，
14、则 Lx的平均值为零，所以的平均值为零，所以考虑到考虑到x,y方向的对称性，在方向的对称性，在Y11态下有态下有则则由由(1)(3)得得因此在态因此在态下，下，Lx的可能取值为的可能取值为,0, -,0, -取零的概率是取零的概率是取取的概率是的概率是18. 在在(L2,Lz)的共同本征态的共同本征态Y20中，中，Lx的可能取值及相应概率的可能取值及相应概率解：求出解：求出Lx在在Y22,Y21,Y20,Y2-1,Y2-2中的矩阵表示中的矩阵表示求出求出Lx的本征函数的本征函数(矩阵表示矩阵表示)将将Y20用用Lx的本征函数展开的本征函数展开令令则在上述完备基下，利用上述公式，可求则在上述完备
15、基下，利用上述公式，可求lx的矩阵表示为的矩阵表示为其本征方程为其本征方程为对应的久期方程为对应的久期方程为则则lx的本征值是的本征值是可解得：可解得：相应的本征函数是相应的本征函数是将将Y20用用lx的本征态展开的本征态展开其展开系数是其展开系数是因此因此Lx的可能取值及相应概率是的可能取值及相应概率是相应概率是相应概率是3/8相应概率是相应概率是3/8相应概率是相应概率是1/419. 粒子被约束在半径为粒子被约束在半径为r的圆周上运动的圆周上运动 (a)设立路障进一步限制粒子在设立路障进一步限制粒子在0 中，中，F的平均值与量子数的平均值与量子数m无关。无关。证明：证明： 23. 力学量之
16、间的对易关系是否具有传递性，即如力学量之间的对易关系是否具有传递性，即如A和和B对易，对易，B 和和C对易，是否必有对易，是否必有A和和C对易？简单举例说明你的判断对易？简单举例说明你的判断答：答：不一定不一定例如：例如：24. 氢原子的基态波函数是氢原子的基态波函数是试对坐标试对坐标x和动量和动量px求求由此验证不确定性关系由此验证不确定性关系解：解： 在动量表象中求动量的涨落。在动量表象中求动量的涨落。25.算符算符A=px，其中，其中x是位置算符，是位置算符，p是其共轭动量，问是其共轭动量，问A是否可以是否可以是某个可观测量的算符？为什么？是某个可观测量的算符？为什么？答：答： 不是。不
17、是。 量子力学中可观测量得算符是厄米算符，显然算符量子力学中可观测量得算符是厄米算符，显然算符A不是不是 厄米的，因此不能表述某个可观测量。厄米的，因此不能表述某个可观测量。26. 何为正则量子化？何为正则量子化？答：所谓正则量子化就是把正则坐标和正则动量都看作算符，并答：所谓正则量子化就是把正则坐标和正则动量都看作算符，并 满足正则对易关系满足正则对易关系27. 厄米算符有哪些特性？为什么描述力学量的算符必须是厄米的厄米算符有哪些特性？为什么描述力学量的算符必须是厄米的答：答： 厄米算符的特性：线性算符、本征态是完备的、本征值是实数、厄米算符的特性：线性算符、本征态是完备的、本征值是实数、
18、在任何态下的平均值是实数、属于不同本征值的本征函数彼此在任何态下的平均值是实数、属于不同本征值的本征函数彼此 正交。正交。 量子体系中的可观测量（力学量）用线性厄米算符来量子体系中的可观测量（力学量）用线性厄米算符来描述是量子力学的一个基本假设，其正确性应该由实描述是量子力学的一个基本假设，其正确性应该由实验来判定。验来判定。“量子体系中的力学量用相应的线性厄米量子体系中的力学量用相应的线性厄米算符来描述算符来描述”具有多方面的含义：具有多方面的含义：其一，算符的线性是状态叠加原理所要求的；其一，算符的线性是状态叠加原理所要求的； 其二，实验上的可观测的力学量总是实数，力学量相应的算符其二，实
19、验上的可观测的力学量总是实数，力学量相应的算符必须是厄米算符；实际上，这种要求是有些过分了，即使某个必须是厄米算符；实际上，这种要求是有些过分了，即使某个力学量的算符不是厄米算符，只要它的本征值是实数即可，但是力学量的算符不是厄米算符，只要它的本征值是实数即可，但是这样做的结果会使本征矢变成超完备的，以致不便于使用。这样做的结果会使本征矢变成超完备的，以致不便于使用。 其三，量子力学里测量值通常不是唯一确定的值，而是具有一其三，量子力学里测量值通常不是唯一确定的值，而是具有一定概率分布的一系列的值，这些测量值的平均值可用定概率分布的一系列的值，这些测量值的平均值可用 其四，力学量之间的关系也可
20、通过相应算符之间的关系其四，力学量之间的关系也可通过相应算符之间的关系（如对易关系）来反映出来。基于以上四点，（如对易关系）来反映出来。基于以上四点， 量子力学中的力学量用厄米算符来描述量子力学中的力学量用厄米算符来描述 （ 已经归一化）来表示；已经归一化）来表示；28.如果如果是线性算符是线性算符A的一个本征值，那么的一个本征值，那么2是是A2的本征值。在的本征值。在一般情况下，设一般情况下，设f()是是的多项式，证明的多项式，证明f()是是f(A)的一个本征值。的一个本征值。证明：证明： 若若则则所以所以29. 设设是归一化的波函数，是归一化的波函数，F是算符，证明在是算符，证明在态下态下
21、并求等号成立的条件并求等号成立的条件证明：证明：要使得等号成立，必须有要使得等号成立，必须有即即F是零算符。是零算符。30. 一维问题的能级简并度最大是多少？一维问题的能级简并度最大是多少？答：答：最大简并度是最大简并度是2，解答见试题解答，解答见试题解答设设，两边取厄米共轭得：，两边取厄米共轭得：由由得得即即所以所以即即证明：证明：31. 若若A是是Hermite算符，且算符，且AB+BA=0，问在，问在A的分离谱本征态的分离谱本征态 下，下，B的平均值是多少？的平均值是多少？32.在三维体系中粒子的径向动量算符是在三维体系中粒子的径向动量算符是(1)pr是否是厄米算符？为什么是否是厄米算符
22、？为什么(2)(2)写出在球坐标下写出在球坐标下pr的表达式的表达式(3)(3)计算计算r,pr解：解： (1) pr是厄米算符是厄米算符(2) 任取一波函数任取一波函数，则，则而而所以所以因为因为(3)33. 两个非全同粒子处于态两个非全同粒子处于态34.在经典力学中有在经典力学中有在量子力学中是否也有在量子力学中是否也有成立？为什么？成立？为什么？答：答：成立，因为成立，因为35. 表示沿表示沿x方向的平移算符，设方向的平移算符，设f(x) 与与Da(x)对易，求对易，求f(x)的一般形式的一般形式解：解： f(x)与与Da(x)对易，则有对易，则有或另解或另解36. 设设U是一个幺正算符，且对任意态矢量是一个幺正算符，且对任意态矢量| |和线性算符和线性算符A 有有证明：证明： (1)(2)若若|n|n和和|n|n,(n=1,2,)均为正交、归一的本征函数系，均为正交、归一的本征函数系，则则证明：证明： (1)(2) 由题意知，对任意的由题意知，对任意的| n| n，|n有有两边右乘两边右乘n| |得得两边对所有两边对所有n求和得求和得即即则则
