本章学习目标1、了解复变函数积分的概念;2、了解复变函数积分的性质;3、掌握积分与路经无关的相关知识;4、熟练掌握柯西—古萨基本定理;5、会用复合闭路定理解决一些问题;6、会用柯西积分公式;7、会求解析函数的高阶导数. 3.1 复变函数积分的概念 本章中,我们将给出复变函数积分的概念,然后讨论解析函数积分的性质,其中最重要的就是解析函数积分的基本定理与基本公式这些性质是解析函数积分的基础,借助于这些性质,我们将得出解析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论 同高等数学一样，也采用“分割”、“作和”、“取极限”的步骤定义复变函数的积分 1) 当是连续函数且是光滑(或按段光滑)曲线时，积分是一定存在的2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算 从积分的定义我们可以推得积分有下列一些简单性质，它们是与实变函数中曲线积分的性质相类似的.我们把简单闭曲线的两个方向规定为正向和负向.所谓简单闭曲线的正向是指当顺此方向沿该曲线前进时，曲线的内部始终位于曲线的左方，相反的方向规定为简单闭曲线的负向.以后遇到积分路线为简单闭曲线的情形，如无特别声明，总是指曲线的正向. 1、（为复常数）2、3、4 、（由与首尾相接而成） 5、设为的长度,若沿可积,且在上满足,则这个性质提供了一种估计复变函数积分的模的方法 解直线的方程可写成又因为容易验证，右边两个线积分都与路线无关，所以的值无论是怎样的曲线都等于 解: 的方程可写成所以因此 解 解: 3.2 积分基本定理 积分的值与路经无关，或沿封闭的曲线的积分值为零的条件，可能与被积分函数的解析性及区域的单连通性有关.柯柯西西—古古萨（（Cauchy—Goursat））基基本本定定理理 如果函数在单连通域内处处解析，那末函数沿其内的任何一条简单闭曲线的积分值为零。
即 定理一如果函数在单连通域内处处解析，那末积分与连结从起点到终点的路线无关.定理二如果函数在单通连域内处处解析，那末函数必为内的解析函数,并且 复合复合闭路定理路定理设有围线，其中的每一条均在其余各条的外部，而它们又全部在的内部；设为由的内部与的外部相交部分组成的复连通区域，若在内解析且在上连续，则在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，这一重要事实，称为闭路路变形原理形原理. 解解: 3.3 积分基本公式与高阶导数公式 定理(柯西积分公式) 如果函数在区域内处处解析，为内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于, 为内部的任一点,那末公式称为柯西积分公式.通过这个公式就可以把一个函数在内部任何一点的值,用它在边界上的值来表示. 解由柯西积分公式得 解由柯西积分公式得 柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式,是研究解析函数的有力工具. (见解析函数的高阶导数).一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值. 一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数.这一点与实变函数完全不同,因为一个实变函数的可导性不保证导数的连续性,因而不能保证高阶导数的存在,关于解析函数的高阶导数我们有下面的定理 定理解析函数的导数仍为解析函数,它的阶导数为:其中为在函数的解析区域内围绕的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于. 解:由公式得 3.4 原函数与不定积分 下面，我们再来讨论解析函数积分的计算。
首先引入原函数的概念：结论：的任何两个原函数相差一个常数利用原函数的这个关系，我们可以推得与牛顿—莱布尼兹公式类似的解析函数积分的计算公式 定理如果函数在单连通域内处处解析，为的一个原函数，那么这里为区域內的两点 解： 解： 解： 解： 。